滿足增益相位裕度的自動駕駛儀結(jié)構(gòu)化H∞綜合

馬曉川, 閆杰, 符文星, 陳康

(西北工業(yè)大學 航天學院, 陜西 西安 710072)

乘波體氣動布局的高超聲速飛行器通常沒有翼面,升力主要由機體產(chǎn)生。由于乘波體布局頭部的傾斜面設計結(jié)構(gòu),飛行器的氣動壓心相對于傳統(tǒng)飛行器更靠機身頭部,降低了飛行器的靜穩(wěn)定性,所以乘波體構(gòu)型的高超聲速飛行器一般具有靜不穩(wěn)定特性[1-2]。尤其高超聲速飛行器進行大過載機動時,隨著攻角增大,飛行器靜不穩(wěn)定度進一步降低[3-4]。對于靜不穩(wěn)定的高超聲速飛行器,過大或過小的控制器增益都會引起飛行控制系統(tǒng)發(fā)散。因此在設計飛行控制器時,控制系統(tǒng)幅值增益在增大和減小2個方向上都要留有充分的穩(wěn)定裕度,增加了控制系統(tǒng)的設計難度。

在復平面內(nèi)考慮一個以實軸對稱且包含(-1,j0)的圓,圓心和半徑由控制系統(tǒng)期望的開環(huán)幅值裕度和相位裕度決定。當控制系統(tǒng)開環(huán)Nyquist曲線與圓沒有交點時則認為控制系統(tǒng)滿足期望的穩(wěn)定裕度[5]。對于靜不穩(wěn)定被控對象,滿足穩(wěn)定裕度的控制器使開環(huán)控制系統(tǒng)的Nyquist曲線圍繞圓一周或者多周且與圓沒有交點,保證了控制器開環(huán)增益在增大和減小2個方向上都可以滿足期望的裕度?；诖怂枷?文獻[6]給出了一種基于H∞綜合求解滿足穩(wěn)定裕度控制器的方法。此方法中控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度是通過約束標稱系統(tǒng)增益放大后補靈敏度函數(shù)的H∞范數(shù)而實現(xiàn)的,求解控制器過程比較復雜,并且求解的控制器階次比較高[7]。為了解決這些問題,本文使用結(jié)構(gòu)化H∞綜合方法,求解滿足穩(wěn)定裕度約束的控制器。

結(jié)構(gòu)化H∞和H∞綜合的區(qū)別在于使用結(jié)構(gòu)化H∞綜合算法求解控制器時,需要先定義控制器結(jié)構(gòu),例如PID控制器、三回路過載跟蹤自動駕駛儀等[8-9]?？刂破鹘Y(jié)構(gòu)確定后,控制器中未知的部分只有控制器參數(shù)。控制器參數(shù)優(yōu)化時與傳統(tǒng)H∞綜合相似,需要根據(jù)控制目標建立性能指標,并求解使性能指標H∞范數(shù)最小的控制器參數(shù)。因為控制器結(jié)構(gòu)可以事先定義,結(jié)構(gòu)化H∞綜合算法使H∞控制理論具有了更好的實用性[10-14]。

本文以三回路過載自動駕駛儀為控制器結(jié)構(gòu),使用結(jié)構(gòu)化H∞綜合算法求解滿足性能指標H∞范數(shù)最優(yōu)的控制器參數(shù),而且保證開環(huán)系統(tǒng)滿足給定的幅值裕度和相位裕度。

1 結(jié)構(gòu)化H∞控制

標準的H∞控制模型:

(1)

Z(s)表示評價系統(tǒng)性能的輸出,Y(s)表示傳感器測量輸出量,W(s)為外部輸入,U(s)是控制輸入。假設存在反饋控制器C(s),系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可以表示為控制器C(s)的線性分式變換:

Tzω=Fl(P,C)=P11+P21(I+CP22)P12

(2)

標準的H∞控制問題是求解使系統(tǒng)(1)內(nèi)穩(wěn)定且保證Tzω(s)的H∞范數(shù)最小的控制器C(s)。與標準H∞控制不同的是結(jié)構(gòu)化H∞綜合需要預先設計好控制器C(s)的結(jié)構(gòu),例如PID控制器、校正網(wǎng)絡、多回路自動駕駛儀等或者其他任意形式的控制器?？刂破鞯慕Y(jié)構(gòu)具有任意無限多個,此處用PID控制器為例進行解釋,典型的PID控制器為

(3)

PID控制器可以表示成控制器參數(shù)kp,kd,ki的線性下分式變換

CPID(s)=Fl(Q(s),K)

(4)

Q(s)是控制器中除去控制器參數(shù)的部分,K是由控制器參數(shù)組成的矩陣。把(4)式代入(2)式中,可得到閉環(huán)系統(tǒng)關(guān)于控制器參數(shù)的下分式變換

(5)

M(s)是被控對象和控制器開環(huán)傳遞函數(shù)除去控制器參數(shù)的部分。在結(jié)構(gòu)化H∞綜合中,控制問題就轉(zhuǎn)換成求解使系統(tǒng)(1)內(nèi)穩(wěn)定且‖Tzω(s)‖∞最小的一組控制器參數(shù)。結(jié)構(gòu)化H∞控制把經(jīng)典H∞控制器求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)榭刂破鲄?shù)優(yōu)化問題[15-17]。另外與H∞綜合不同,在結(jié)構(gòu)化H∞綜合中,性能指標可以是相互獨立的,即性能指標可以表示為[8-9]:

H(s)=diag([T1(s),T2(s),…]T)

(6)

diag(T)表示由向量T中元素組成的對角矩陣。這一特性使得結(jié)構(gòu)化H∞綜合算處理多目標約束優(yōu)化問題更為方便。

2 增益裕度和相位裕度

在復平面內(nèi)考慮一個包圍點(-1,j0),以(-a,j0)為圓心,r為半徑的圓O,如圖1。當控制系統(tǒng)開環(huán)Nyquist曲線不與圓O相交時,控制系統(tǒng)至少具有幅值裕度

Gm1=-20lg(a-r)

(7)

Gm2=-20lg(a+r)

(8)

相位裕度:

(9)

公式(7)Gm1由點A到(-1,j0)的距離計算得出,若系統(tǒng)開環(huán)增益放大倍數(shù)小于Gm1dB,閉環(huán)系統(tǒng)依然穩(wěn)定;公式(8)Gm2由點B到(-1,j0)的距離計算得出,若系統(tǒng)開環(huán)增益減小倍數(shù)小于Gm2dB,閉環(huán)系統(tǒng)依然穩(wěn)定。公式(9)表示圓O與單位元交點C與原點的連線和實軸的夾角,表示開環(huán)系統(tǒng)的相位裕度。圖1以圓心在(-1,j0),半徑r為0.5的圓O為例進行解釋說明。圓O與實軸相交于點A(-0.5,j0)與點B(-1.5,j0),圓O與單位圓交點連線和實軸夾角為29°。系統(tǒng)開環(huán)Nyquist曲線與圓O沒有交點時,對于靜穩(wěn)定被控對象系統(tǒng)至少具有6 dB的幅值裕度和29°的相位裕度。對于靜不穩(wěn)定被控對象,系統(tǒng)至少具有±6 dB的幅值裕度和29°的相位裕度。

圖1 系統(tǒng)增益裕度和相位裕度

控制系統(tǒng)開環(huán)Nyquist曲線不與圓O相交等價于

P(jω)C(jω)≠(-a+rexp(jθ))

(10)

方程(10)中C(jω)是控制器,P(jω)為被控對象。對方程(10)進行變換

(11)

方程(11)可以表示成如下形式[6]

[A+Rexp(jψ)]P(jω)C(jω)≠1

(12)

式中

(13)

A+Rexp(jψ)可以看作標稱被控對象P(jω)的乘性不確定性加權(quán)(A+ΔR),其中‖ΔR‖∞=R。

根據(jù)小增益定理,使圖2表示的閉環(huán)控制系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的充要條件是

(14)

不等式(14)等價于

(15)

不等(15)式左邊括號中的部分可以看作標稱系統(tǒng)P(s)乘以放大系數(shù)A后的閉環(huán)補靈敏度傳遞函數(shù)。當不等式(15)成立時,系統(tǒng)P(s)C(s)的Nyquist曲線不與圓O相交,即開環(huán)控制系統(tǒng)P(s)C(s)滿足至少由(7)～(9)式表示的穩(wěn)定裕度。

圖2 帶有乘性不確定性的閉環(huán)控制系統(tǒng)

對被控對象P(s)設計滿足預定穩(wěn)定裕度的控制器問題可以表示為在AP(s)加權(quán)補靈敏度函數(shù)的H∞范數(shù)小于1的條件約束下,求解穩(wěn)定控制器C(s),使性能指標的H∞范數(shù)最小:

(16)

式中

Tn(s)=[T1(s),T2(s),…]T

(17)

表示對閉環(huán)系統(tǒng)性能約束的傳遞函數(shù)。

Wn(s)=diag([W1(s),W2(s),…])T

(18)

是相應的加權(quán)傳遞函數(shù)。

(19)

(20)

上述是帶有不等式約束的H∞優(yōu)化問題,直接求解比較困難。因為結(jié)構(gòu)化H∞綜合可以解決性能指標相互獨立的約束問題,所以在Wn(s)中加入調(diào)節(jié)參數(shù)η,此時求解滿足穩(wěn)定裕度控制器的性能指標傳遞函數(shù)可表示為

(21)

當使用結(jié)構(gòu)化H∞綜合求解出使(21)式H∞范數(shù)最小的控制器參數(shù)不滿足(16)式中的不等式約束時,可通過調(diào)節(jié)參數(shù)η使其滿足小于1的約束。

3 控制器設計及仿真

以文獻[18]給出的COM高超聲速飛行器模型為被控對象,使用結(jié)構(gòu)化H∞綜合設計過載跟蹤自動駕駛儀,并保證自動駕駛儀穩(wěn)定裕度滿足給定要求。(22)式給出了COM在高度20 km,飛行速度10馬赫時的線性化模型。

(22)

圖3給出了閉環(huán)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖,圖中控制器結(jié)構(gòu)是典型的三回路過載跟蹤自動駕駛儀。

圖3 閉環(huán)系統(tǒng)

其中KAz,Kθ,Kω是待優(yōu)化的參數(shù)。r,e,u分別是參考輸入、跟蹤誤差和控制器輸出。z1和z2是描述系統(tǒng)性能的輸出。

權(quán)函數(shù)W1用于約束系統(tǒng)跟蹤誤差和動態(tài)響應

(23)

權(quán)函數(shù)W2(s)對控制器指令輸出進行約束

(24)

控制器要求至少有6 dB幅值裕度和36.9°的相位裕度。對應于復平面上約束穩(wěn)定裕度的圓O,圓心在(-1.25,j0),半徑r等于0.75。根據(jù)(13)式和(19)式得加權(quán)函數(shù)為

WA=0.6

(25)

控制器綜合時使用的優(yōu)化指標為

He=diag(W1T1,W2T2,WATA)

(26)

式中，T1是系統(tǒng)的靈敏度函數(shù),T2是參數(shù)輸入到控制器指令輸出的傳遞函數(shù),TA是開環(huán)系統(tǒng)增益放大補靈敏度函數(shù),由(20)式給出。W2中的參數(shù)η用于調(diào)節(jié)‖WATA‖∞,使其滿足(16)式的不等式條件。仿真中使用的是Matlab 2014中的hinfstruct()函數(shù)進行控制器綜合。

表1 控制器優(yōu)化結(jié)果

圖4 開環(huán)Nyquist曲線

表1中給出了選取不同η時使用結(jié)構(gòu)化H∞綜合的結(jié)果。圖4給出了相應η值時系統(tǒng)的Nyquist曲線。系統(tǒng)的斷開點選取在控制器輸出端,即圖3中舵機與鄰近的求和點中間。為了能更清晰地表明系統(tǒng)Nyquist曲線與圓O的關(guān)系,圖中省略了低頻部分的Nyquist曲線。表1中的結(jié)果顯示,不同的η會影響綜合后的‖WATA‖∞。而圖4表示了‖WATA‖∞數(shù)值與圓O的位置關(guān)系。當‖WATA‖∞大于1時,系統(tǒng)的Nyquist曲線與圓O相交,此時不能保證系統(tǒng)具有要求幅值與相位裕度。需要強調(diào)的是系統(tǒng)Nyquist曲線不與圓O相交是滿足增益與相位裕度的充分條件,而非必要條件。所以當‖WATA‖∞大于1時系統(tǒng)仍有可能滿足增益相位裕度要求。因為增益相位裕度定義中要系統(tǒng)開環(huán)Nyquist曲線上相位為180°和幅值為1的2個點到點(-1,j0)的距離大于裕度要求。而本文通過限制Nyquist曲線到描述穩(wěn)定裕度圓的距離方法來使控制系統(tǒng)達到增益相位裕度。這不僅要求Nyquist曲線上相位為180°和幅值為1的2個點到點(-1,j0)的距離要滿足預定條件,而且其他的點到點(-1,j0)距離也需要滿足預定條件。這種限制條件比穩(wěn)定裕度定義更苛刻。但當‖WATA‖∞小于1時,系統(tǒng)Nyquist曲線與圓O相切或不相交,此時一定可以保證系統(tǒng)滿足穩(wěn)定裕度要求。表1中穩(wěn)定裕度計算結(jié)果表明系統(tǒng)增益裕度大于6 dB,相位裕度大于36.9°,控制器的穩(wěn)定裕度滿足預定條件。另外,表1中增益裕度-9.83 dB表示當開環(huán)增益減小9.83 dB會引起閉環(huán)系統(tǒng)發(fā)散。

圖5和圖6給出‖WATA‖∞不同時系統(tǒng)的過載跟蹤響應。當‖WATA‖∞大于1時系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度較低,響應過程中發(fā)生輕微的震蕩。當‖WATA‖∞小于1時系統(tǒng)響應比較平穩(wěn)。從響應速度上分析,當滿足穩(wěn)定裕度要求時,‖WATA‖∞越接近1系統(tǒng)的響應速度越快,保守性越小。所以需要確定η使‖WATA‖∞等于1。從圖7中可以看出隨η增加的過程中‖WATA‖∞單調(diào)減變化且‖WATA‖∞與1有一個交點。所以可以使用二分算法確定使‖WATA‖∞等于1的η。

1)η=ηl

2) 使用結(jié)構(gòu)化H∞求解使(22)式最小的控制器參數(shù)

3) if ‖WATA(s)‖∞=1

迭代結(jié)束

else

if ‖WATA(s)‖∞<1

else

返回執(zhí)行步驟2)

圖5 單位過載響應 圖6 舵響應圖7 ‖WATA‖∞曲線

表2 迭代計算結(jié)果

表2給出了迭代計算中部分結(jié)果,當η等于0.871 9時,‖WATA‖∞為1.009 0。如圖8所示,系統(tǒng)的Nyquist曲線與圓O相切,此時系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度為9.18 dB和36.9°,滿足預先設定的要求。

圖8 Nyquist曲線

圖9 氣動參數(shù)擾動條件下過載跟蹤響應

為了驗證控制方法對非線性系統(tǒng)的適應性和魯棒性。在仿真中使用文獻[18]提供的非線性高超聲速飛行器模型數(shù)據(jù)進行計算。計算過程中考慮氣動力系數(shù)和氣動力矩系數(shù)±10%以內(nèi)的隨機擾動。使用非線性模型在氣動參數(shù)擾動的條件下,進行了100次的單位過載跟蹤仿真實驗。圖9中的曲線是仿真計算結(jié)果。結(jié)果表明無論對標稱非線性模型還是氣動參數(shù)擾動模型,控制系統(tǒng)都能穩(wěn)定完成對單位過載指令的跟蹤。但因為模型非線性和氣動參數(shù)擾動的影響,過載跟蹤精度有所下降。

4 結(jié) 論

對于靜不穩(wěn)定的高超聲速飛行器,本文使用結(jié)構(gòu)化H∞綜合方法設計了飛行器的過載跟蹤自動駕駛儀。通過調(diào)節(jié)優(yōu)化結(jié)果中增益放大系統(tǒng)補靈敏度函數(shù)的H∞范數(shù),改變系統(tǒng)Nyquist曲線與復平面內(nèi)表示穩(wěn)定裕度圓盤的相對位置,使控制器滿足穩(wěn)定裕度要求。并給出了計算使系統(tǒng)Nyquist曲線與圓盤相切的控制器參數(shù)計算方法,以減小控制器設計的保守性。計算仿真結(jié)果表明:

1) 由文中控制算法設計的自動駕駛儀能達到預定增益相位裕度指標要求;

2) 在控制器綜合時,調(diào)節(jié)性能指標中引入的參數(shù)η能改變開環(huán)Nyquist曲線與表示穩(wěn)定裕度圓盤的相對位置,并改變系統(tǒng)的保守性;

3) 由文中控制算法設計的自動駕駛儀可以使用在非線性系統(tǒng)上,并且控制系統(tǒng)對參數(shù)擾動具有魯棒性。