基于指數(shù)威布爾分布的復(fù)雜電子系統(tǒng)使用可靠度建模

位林營，胡海濤，吳微露，許 軍

(國防科技大學(xué)電子對抗學(xué)院，安徽 合肥 230037)

0 引言

可靠性反映的是產(chǎn)品在規(guī)定條件，規(guī)定時間內(nèi)完成規(guī)定任務(wù)的能力[1]，可靠性又分為固有可靠性和使用可靠性。固有可靠性指的是設(shè)備的一種固有屬性，由其設(shè)計、制造過程所決定，設(shè)備固有可靠性的建模方法通常有故障樹分析、強度-應(yīng)力干涉模型[2-3]、壽命分布實驗等。使用可靠性指的是設(shè)備在實際使用過程中表現(xiàn)出的可靠性，除設(shè)備固有可靠性影響，設(shè)備的使用可靠性還受到維修保障、工作環(huán)境、負載等因素的影響。

復(fù)雜電子系統(tǒng)是一種常見系統(tǒng)，一般由若干子系統(tǒng)組成，各子系統(tǒng)又由眾多不同種類單元組成，這些單元包含電子單元、機械單元、供電單元等[4]。復(fù)雜電子系統(tǒng)出現(xiàn)在眾多軍用、民用設(shè)備中，如軍用通信設(shè)備、衛(wèi)星、航空電子設(shè)備等。

復(fù)雜電子系統(tǒng)使用可靠性是影響設(shè)備發(fā)揮效能的重要因素，因此研究復(fù)雜電子系統(tǒng)的使用可靠性具有的重要的現(xiàn)實意義與使用價值。

目前針對復(fù)雜電子系統(tǒng)使用可靠性的研究較少。文獻[5]中基于可靠性框圖對航空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)單次射擊時的使用可靠性進行評估，將操作人員的熟練度反應(yīng)到系統(tǒng)可靠性中。文獻[6]采用數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)對飛機使用可靠性進行研究，將飛機的飛行強度與服役年限對可靠性的影響進行描述。文獻[7]對系統(tǒng)在隨機負載下的使用可靠性進行了建模。文獻[8-10]中以故障數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)進行經(jīng)驗建模分析系統(tǒng)使用可靠性，這種經(jīng)驗?zāi)Ｐ碗y以準(zhǔn)確描述系統(tǒng)使用可靠性。由此可見，復(fù)雜電子系統(tǒng)使用可靠性分析沒有成熟的系統(tǒng)建模方法，復(fù)雜電子系統(tǒng)使用可靠度難以確定。本文針對以上情況，提出了基于指數(shù)威布爾分布的復(fù)雜電子系統(tǒng)使用可靠度建模方法。

1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與可靠性表達式

常見的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)有串聯(lián)結(jié)構(gòu)、并聯(lián)結(jié)構(gòu)、串并結(jié)構(gòu)、并串結(jié)構(gòu)、r/n表決結(jié)構(gòu)，旁連結(jié)構(gòu)等[11]。描述可靠性變化的分布模型通常包括指數(shù)分布、威布爾分布、對數(shù)正態(tài)分布、伽馬分布以及眾多廣義威布爾分布，這些分布都是可靠性統(tǒng)計中常用的分布[11]。根據(jù)實際經(jīng)驗，復(fù)雜電子系統(tǒng)中電子、機械等單元的壽命服從指數(shù)分布或威布爾分布。更一般的我們可以利用指數(shù)威布爾分布來描述各單元的壽命分布。值得注意的是，指數(shù)分布、威布爾分布是指數(shù)威布爾分布中形狀參數(shù)取某一常數(shù)時的特殊情況。

為了描述一般的情況，我們在這里分析的復(fù)雜電子系統(tǒng)如圖1所示。這是一個典型的并串混合系統(tǒng)[12]。該系統(tǒng)中包含n個串聯(lián)子系統(tǒng)，第i個串聯(lián)子系統(tǒng)中有mi個單元并聯(lián)在一起，其中i=1,2,…,n。

圖1 并串混合系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖Fig.1 Block diagram of the parallel-series hybrid system

假設(shè)該并串混合系統(tǒng)中各個單元的壽命服從指數(shù)威布爾分布，且第i個串聯(lián)子系統(tǒng)中第j(j=1,2,…,mi)個單元的可靠度函數(shù)由式(1)給出。式中t表示時間，系統(tǒng)可靠度隨著時間的增加而變化，α為尺度參數(shù)，β，θ為兩個形狀參數(shù)，當(dāng)β=1時，指數(shù)威布爾分布變?yōu)閺V義指數(shù)分布；當(dāng)θ=1時，指數(shù)威布爾分布變成威布爾分布。

r(t)=1-(1-e-αtβ)θ

(1)

當(dāng)t≥0時，因為各個單元之間相互獨立，各個單元的故障不受其他單元的影響。定義Ri(t)為第i個子系統(tǒng)的可靠度函數(shù)，形式如下：

(2)

該并串混合系統(tǒng)的可靠度函數(shù)為：

(3)

相應(yīng)的平均故障間隔時間(Mean Time Between Failure)由下式給出：

(4)

2 復(fù)雜電子系統(tǒng)使用可靠度模型

在系統(tǒng)整個壽命周期內(nèi)，能夠影響系統(tǒng)使用可靠度變化的主要因素有：系統(tǒng)升級，系統(tǒng)中某個或一些單元被替換成更高質(zhì)量、更昂貴的單元，這種行為會在一定時間范圍內(nèi)顯著提升系統(tǒng)整體的可靠性；單元替換，系統(tǒng)中某個或某些單元被新的單元直接替換，該行為能夠改善系統(tǒng)可靠性；故障維修，某個或某些單元發(fā)生故障后其單元內(nèi)部的元件發(fā)生替換，該行為并不會提高系統(tǒng)的可靠性，相反地，這會降低系統(tǒng)的可靠度。下面我們基于指數(shù)威布爾分布，針對這三種情況下系統(tǒng)的使用可靠性進行建模。

2.1 系統(tǒng)升級

對系統(tǒng)進行升級，系統(tǒng)中某些單元被更好質(zhì)量的單元替換之后，系統(tǒng)的可靠性得到顯著提高，這主要是因為降低了被替換單元的故障率。當(dāng)單元可靠度函數(shù)用指數(shù)威布爾分布描述時，可以用一個故障率改善系數(shù)ρ∈(0,1)來改變其尺度參數(shù)α來實現(xiàn)。

(5)

當(dāng)t≥0時，因為各個子系統(tǒng)以串聯(lián)的形式連接在一起，因此其可靠度函數(shù)由式(6)可以給出：

(6)

相應(yīng)地，該并串混合系統(tǒng)的MTBF為：

(7)

2.2 單元替換

在系統(tǒng)運行一段時間之后，對系統(tǒng)中某些易損單元進行替換，用以進行以可靠性為中心的維護，系統(tǒng)的可靠性因為新單元替換了老單元，系統(tǒng)可靠度得到了提高。

(8)

當(dāng)t≥0時，因為各個子系統(tǒng)以串聯(lián)的形式連接在一起，因此其可靠度函數(shù)由下式可以給出：

(9)

相應(yīng)地，該并串混合系統(tǒng)的MTBF為：

(10)

2.3 故障維修

復(fù)雜電子系統(tǒng)生命周期內(nèi)，會出現(xiàn)各種故障。其中最常見的故障是單元中的元件損壞，老化造成的單元無法正常運行。常見的維修方式是對這些元件進行替換。理論上，這種單元中元件的替換并不會影響單元的可靠度；但是由于替換過程中的工藝水平等人為因素影響，這種元件替換形式的維修會降低單元可靠度。

單元故障維修造成的單元可靠度降低，在指數(shù)威布爾分布中，可以通過一個可靠度恢復(fù)系數(shù)η>1來改變指數(shù)威布爾分布的尺度參數(shù)α來實現(xiàn)。

(11)

當(dāng)t≥0時，因為各個子系統(tǒng)以串聯(lián)的形式連接在一起，因此其可靠度函數(shù)由式(12)可以給出：

(12)

相應(yīng)地，該并串混合系統(tǒng)的MTBF為：

(13)

3 仿真分析

圖2是包含3個子系統(tǒng)的串并混合結(jié)構(gòu)復(fù)雜電子系統(tǒng)。一般的復(fù)雜電子系統(tǒng)各個子系統(tǒng)之間多以簡單串聯(lián)的方式連接，但當(dāng)某些重要子系統(tǒng)進行冗余設(shè)計時，或是一些子系統(tǒng)中各單元在功能上獨立互不干擾時會出現(xiàn)這種并串混合結(jié)構(gòu)。圖2中第一個子系統(tǒng)由3個單元并聯(lián)在一起組成，第二個子系統(tǒng)包含1個單元，第三個子系統(tǒng)由2個并聯(lián)單元組成。也就是說，n=3，m1=3，m2=1，m3=2，單元總數(shù)m=6。為了簡化計算，假設(shè)所有單元的壽命相互獨立且同分布，都服從α=0.5，β=0.2，θ=6的指數(shù)威布爾分布。在實際系統(tǒng)計算過程中，可以使用傳統(tǒng)的可靠性預(yù)計方法或是經(jīng)驗建模的方法獲得單元級的可靠性分布函數(shù)。

圖2 包含3個子系統(tǒng)的串并混合系統(tǒng)Fig.2 Parallel-series hybrid system with three subsystems

圖3為在1 000 h時，不同子系統(tǒng)進行可靠度改善系數(shù)ρ=0.8的升級后可靠度的變化情況對比，實線L1是系統(tǒng)沒有進行任何失效率改變的系統(tǒng)可靠度變化曲線，利用Matlab數(shù)值計算式(4)得到其MTBF為2 511.8 h。虛線L2為串聯(lián)子系統(tǒng)1的一個并聯(lián)單元進行可靠度改善系數(shù)ρ=0.8的升級后可靠度變化曲線，計算得到其MTBF為2 829.9 h。點劃線L3為串聯(lián)子系統(tǒng)2的唯一一個單元進行可靠度改善系數(shù)ρ=0.8的升級后可靠度變化曲線，計算得到其MTBF為3 918.1 h。點線L4為串聯(lián)子系統(tǒng)3的一個并聯(lián)單元進行可靠度改善系數(shù)ρ=0.8的升級后可靠度變化曲線，計算得到其MTBF為3 089.2 h。從對比中我們可以得到這樣的結(jié)論：對系統(tǒng)中可靠性越薄弱的子系統(tǒng)進行升級，對系統(tǒng)可靠度的提升越明顯。

圖3 相同時刻不同子系統(tǒng)進行單元升級Fig.3 Unit upgrades for different subsystems at the same time

圖4中L1是系統(tǒng)沒有進行任何失效率改變的系統(tǒng)可靠度變化曲線，L2、L3、L4分別為在500 h，1 000 h，1 500 h串聯(lián)子系統(tǒng)1中的單個并聯(lián)單元進行替換后的系統(tǒng)可靠度變化曲線，其MTBF分別為：2 570.3 h，2 609.9 h，2 582.7 h。通過對比可以得到這樣的結(jié)論：當(dāng)限定系統(tǒng)的最低可靠度時，對于串聯(lián)子系統(tǒng)中的并聯(lián)單元的替換存在一個能夠最大程度延長系統(tǒng)使用壽命的替換時刻。

圖4 不同時刻對子系統(tǒng)3進行單元替換Fig.4 Unit replacement for subsystem 3 at different times

圖5中L1是系統(tǒng)沒有進行任何失效率改變的系統(tǒng)可靠度變化曲線，L2，L3，L4分別為對串聯(lián)子系統(tǒng)1中1個、2個、3個并聯(lián)單元進行替換的可靠度變化曲線，其MTBF分別為：2 557.9 h，2 593.9 h，2 624.4 h。從對比中可以得到這樣的結(jié)論：對于并聯(lián)單元的多個替換難以明顯提高系統(tǒng)可靠度。

圖5 子系統(tǒng)1中不同數(shù)量的單元進行替換Fig.5 Replacement of different number of units in subsystem 1

圖6為在1 000 h時，不同子系統(tǒng)進行可靠度恢復(fù)系數(shù)η=0.8的故障維修后可靠度的變化情況對比，實線L1是系統(tǒng)沒有進行任何失效率改變的系統(tǒng)可靠度變化曲線。虛線L2為串聯(lián)子系統(tǒng)1的一個并聯(lián)單元進行可靠度恢復(fù)系數(shù)η=0.8的故障維修后可靠度變化曲線，計算得到其MTBF為2 388.7 h。點劃線L3為串聯(lián)子系統(tǒng)2的唯一一個單元進行可靠度恢復(fù)系數(shù)η=0.8的故障維修后可靠度變化曲線，計算得到其MTBF為2 042.1 h。點線L4為串聯(lián)子系統(tǒng)3的一個并聯(lián)單元進行可靠度恢復(fù)系數(shù)η=0.8的故障維修后可靠度變化曲線，計算得到其MTBF為2 302.8 h。從對比中我們可以得到這樣的結(jié)論：對系統(tǒng)中可靠性越薄弱的子系統(tǒng)進行故障維修，對系統(tǒng)可靠度的破壞越嚴(yán)重。

圖6 相同時刻不同子系統(tǒng)進行單個單元故障維修Fig.6 Single unit failure maintenance for different subsystems at the same time

表1中列出了圖2所示并串混合系統(tǒng)在3 000 h之前能夠改變系統(tǒng)失效率的維修信息。

表1 并串混合系統(tǒng)維修信息Tab.1 Parallel-serial hybrid system maintenance information

圖7中點線是系統(tǒng)沒有進行任何失效率改變的理想可靠度變化曲線，其MTBF為2 511.8 h；分段的實線是考慮歷次升級、替換、維修之后的系統(tǒng)使用可靠度變化曲線，其MTBF為2 457.9 h?？梢缘贸鲞@樣的結(jié)論：系統(tǒng)的使用可靠度變化與固有可靠度變化是有差別的，為了準(zhǔn)確預(yù)估系統(tǒng)當(dāng)前的可靠度，需要具體系統(tǒng)具體分析。

圖7 固有可靠度與使用可靠度變化曲線對比Fig.7 Comparison of inherent reliability and operational reliability curves

4 結(jié)論

本文提出了基于指數(shù)威布爾分布的復(fù)雜電子系統(tǒng)使用可靠度建模方法。與其他使用可靠性分析方法相比，該方法采用指數(shù)威布爾分布來描述復(fù)雜電子系統(tǒng)中各單元的壽命分布；可以動態(tài)描述系統(tǒng)升級、單元替換、故障維修三種因素影響下的系統(tǒng)可靠度變化。仿真實驗結(jié)果表明，該方法能夠?qū)?fù)雜電子系統(tǒng)在使用過程中的維修維護因素的影響反應(yīng)到使用可靠度的變化上。對復(fù)雜電子系統(tǒng)使用可靠性分析具有一定的現(xiàn)實意義以及實際應(yīng)用價值。