基于擴展逐層法的復合材料層合板的自由振動

徐建新，胥 棟，郭巧榮，武耀罡

（中國民航大學航空工程學院，天津 300300）

航空器在長期服役過程中，復合材料結(jié)構不可避免地受到各種循環(huán)載荷作用，出現(xiàn)疲勞裂紋損傷。因此，分析含損傷復合材料結(jié)構的動力特性對提高安全水平具有重要意義。目前不含損傷的復合材料層合板自由振動分析的各種有限元模型已被國內(nèi)外學者廣泛研究[1-3]。王云洲等[4]建立了一種新的高階位移模式，利用三階剪切理論（TSDT）來分析邊界條件、鋪層等因素對復合材料層合板自振頻率的影響。胡明勇等[5]基于Reddy分層理論（LWT）分析纖維體積含量和纖維增強厚度對復合材料層合板的自振頻率和損耗因子的影響。Noor[6]使用經(jīng)典層合板理論（CLPT）和一階剪切理論（FSDT）對多分層復合材料層合板進行了自由振動分析，并與三維彈性理論（3D）結(jié)果相對比。對于四邊簡支層合板，Bert等[7]利用混合剪切板理論（HSDPT）提出一個封閉形式的解決方案。Owen等[8]基于分層理論建立一個改良模型用于預測無阻尼橫向振動頻率和屈曲荷載。Ghosh等[9]使用三階剪切理論對四邊簡支反對稱角度鋪層矩形層合板進行了自由振動分析。

對于含裂紋梁的自由振動問題，許多學者也進行了研究，但對具有橫向貫穿裂紋的復合材料板的自由振動研究較少。Kurtaran[10]研究了橫向裂縫的各種參數(shù)對梁的固有頻率的影響。Zheng等[11]提出了將總體附加柔度矩陣添加到相應完整梁單元的柔度矩陣中以獲得總?cè)岫染仃嚨挠邢拊椒?。Kisa等[12]基于模態(tài)法構建了用于分析截面為圓形的階梯裂紋梁的自由振動問題的有限元方法。Mogal[13]研究了具有兩個開口橫向裂紋懸臂梁的自由振動和響應特性。Liu等[14]在假設裂紋沿著梁的寬度呈直線分布的情況下，提出了新裂紋模型來研究具有斜裂紋懸臂梁的振動。

基于以上研究發(fā)現(xiàn)：經(jīng)典層合板的橫向剪切應變εXZ=εYZ=εZZ=0，此理論不適用于高各向異性比的復合材料結(jié)構，結(jié)果不精確且參考價值較?。灰浑A剪切理論的準確性取決于剪切修正系數(shù)，但通常很難實現(xiàn)且無法預測層間應力的分布，難以反映復合材料層合板的變形；高階剪切理論不滿足層間應力的連續(xù)性，也無法準確預測出層間應力；分層理論則在每層分別獨立假設位移場，滿足了層間位移連續(xù)條件，其計算結(jié)果精確，但不能計算含損傷結(jié)構。擴展逐層法[15-19]（XLWM,extended layerwise method）結(jié)合分層理論和擴展有限元方法（XFEM,extended finite element method）的優(yōu)點，建立了含多層分層和基體裂紋損傷復合材料層合結(jié)構的擴展逐層理論。復合材料層合結(jié)構的擴展逐層理論能同時精確描述多層分層和多處基體裂紋損傷情況，拓展了擴展有限元方法在復合材料結(jié)構損傷分析和預測問題上的應用范圍，能精確分析分層前緣和裂紋尖端的位移場和應力場。下面主要使用擴展逐層法研究含基體裂紋的復合材料層合板的自由振動問題。

1 擴展逐層理論

1.1 位移假設模式

含多層分層損傷的復合材料層合板沿厚度方向上的位移假設模式[15-19]如下

其中：α =1，2，3 表示位移在 x、y、z 3 個方向上的分量；i、l、r分別為標準自由度、由于分層損傷導致位移不連續(xù)擴充的附加自由度和層間界面導致的應變不連續(xù)擴充的附加自由度；k為厚度方向上每層層間和上下面上插值點的編號。

根據(jù)Einstein求和約定，式（1）可簡化為

其中：Φik（z）=φk（z）為復合材料層合板結(jié)構在厚度方向上的線性拉格朗日插值函數(shù)；Φlk（z）=k（z）=φk（z）×Hk（z）是用來模擬分層損傷的強不連續(xù)函數(shù)，Hk（z）是一維Heaviside函數(shù)；Φrk（z）=Θk（z）=φk（z）χk（z）是用來模擬層間界面弱不連續(xù)函數(shù)，χk（z）是一維符號距離函數(shù)。如果在厚度方向上無分層損傷，位移場可簡化為

為了模擬平面內(nèi)的橫向基體裂紋，則需在位移場中引入擴充自由度來描述裂紋，面內(nèi)位移基于擴展有限元方法可離散為

其中：m=1，2，…，NE，NE為面內(nèi)有限元單元節(jié)點數(shù)；s=1，2，…為裂紋間斷面擴充的節(jié)點數(shù)；h=1，2，為裂紋尖端的應力場而擴充的節(jié)點數(shù)；b=1，2，…，NF，NF為裂紋尖端而需擴充函數(shù)的數(shù)量；Ψm（x，y）為二維拉格朗日插值函數(shù)；Λs（x，y）=Ψs（x，y）×為描述裂紋面間斷而擴充的形函數(shù)，F(xiàn)Hs（x，y）是Heaviside函數(shù)；Πh（bx，y）=Ψ（hx，y）Fh（bx，y）為裂紋尖端的擴充函數(shù)，F(xiàn)h（bx，y）為分支函數(shù)為標準自由度;為裂紋間斷面引起的擴充自由度；為描述裂紋尖端引起的擴充自由度。

如果復合材料層合板不存在面內(nèi)橫向基體裂紋，則面內(nèi)位移進行離散時不需引入擴充自由度，式（4）可寫為

1.2 控制方程

利用哈密頓原理可得出復合材料層合板自由振動的控制方程。對于動態(tài)問題，控制方程如下

其中：Kαβζηkemn為單元剛度矩陣；Mαβζηkemn為單元質(zhì)量矩陣，即

其中

對于含裂紋復合材料層合板，控制方程為

其中：ζ=i，r；κ=m，s，hb；ι=n，g，fb；m，n=1，2，…，NE；s，g=1，2，…，b=1，2，3，4。

單元總剛矩陣為

式中，Kαβζηkemn是不存在橫向裂紋時的單元剛度矩陣，可表示為

其中

單元總質(zhì)量矩陣為

式中，單元質(zhì)量矩陣的子矩陣Mαβζηkesn可表示為

在自由振動分析中，復合材料層合板不受外力，則Fαζkm=0，令Uβηen（t）=φβηensin（ωt+θ），則

或

式中，Φ =[φ1，φ2，…，φn]是特征向量矩陣；Λ =diag[ω12，ω22，…，ωn2]是特征值矩陣。

2 研究算例

為便于計算與對比，以下均采用無量綱化固有頻率 λ =10ω（ρh2/ET）1/2。設對稱和反對稱鋪層的復合材料層合板厚度相同，每個單層的厚度因鋪層數(shù)量的不同而不同。以單向纖維增強復合材料層合板為研究對象，研究無損傷和含基體裂紋復合材料層合板的無阻尼自由振動，并采用兩種無量綱化的材料參數(shù)，如下：

1）材料Ⅰ

G12/E2=0.5 G23/E2=0.2

2）材料Ⅱ

G12/E2=0.6 G23/E2=0.5

這兩種復合材料其他材料參數(shù)一致，μ12=μ13=0.25，ρ=1.0，G13=G12。

2.1 無損傷復合材料層合板

基頻計算值會隨網(wǎng)格密度增加而逐漸減小，只有達到收斂后計算結(jié)果與文獻對比才有意義。首先以無損傷單向增強復合材料層合板為研究對象，研究不同鋪層條件下，自由振動問題的收斂性。其余數(shù)值算例都采用達到收斂的網(wǎng)格劃分密度。

研究對象為四邊簡支復合材料層合板。圖1采用復合材料層合板的幾何尺寸為：長寬比a/b=1.0，厚度和邊長比h/a=0.2，鋪層順序為[0/90/0/90]。為研究多種情況下的收斂性問題，表1采用材料的幾何尺寸為：a/b=1.0，h/a=0.1，鋪層順序為 [0/90]、[30/-30]、[45/-45]3種。在圖1和表1的數(shù)值算例中，其邊長上的網(wǎng)格節(jié)點數(shù)線性增加。

由圖1可知，兩種材料隨著網(wǎng)格數(shù)量的增加，自由振動的無量綱固有頻率逐漸降低，當網(wǎng)格達到30×30時，曲線趨于平穩(wěn)。由表1可知，當網(wǎng)格數(shù)量為31×31和41×41，其無量綱固有頻率僅發(fā)生微量變化，因此網(wǎng)格數(shù)為30×30時，無量綱固有頻率收斂。

以無損傷復合材料層合板為研究對象，計算四邊簡支對稱和反對稱鋪層復合材料層合板的無量綱化基頻。無損傷復合材料層合板的幾何尺寸、邊界條件與圖1算例一致，對稱和反對稱鋪層的復合材料層合板有相同的厚度，每個單層的厚度因鋪層數(shù)量的不同而不同，單層的材料屬性為材料Ⅰ，各向異性度（E1/E2）從3～40變動，復合材料層合板模型網(wǎng)格數(shù)量為35×35。

將結(jié)果與文獻[6，8-9]的結(jié)果對比，并以三維實體元模型（3D model）在MSC.Natran中求解結(jié)果作為參考，證明XLWM求解自由振動問題的精確性。

圖1 鋪層為[0/90/0/90]的復合材料層合板的收斂曲線Fig.1 Convergence curves of composite plate with stacking sequence[0/90/0/90]

表1 節(jié)點數(shù)對無量綱固有頻率的影響Tab.1 Effect of finite element mesh refinement on dimensionless fundamental frequency

在目前已提出的擴展逐層理論中，橫向裂紋的裂紋面和裂紋尖端可由形函數(shù)Λs和Πhb進行模擬。而在三維實體元模型中，節(jié)點的不連續(xù)性由重復節(jié)點來描述。部分數(shù)據(jù)由于（E2/E1）1/2≤v12導致無法計算，所以只給出部分結(jié)果作為參考。

由表2可知：XLWM和三維實體元模型的結(jié)果最接近；當E1/E2逐漸增大時，和經(jīng)典層合板理論的差距逐漸增大；當?shù)群穸鹊膹秃喜牧蠈雍习邃亴訑?shù)量增加且E1/E2增加時，相應的固有頻率值，從35.8%增加到71.8%，說明復合材料層合板的鋪層數(shù)量和各向異性度對固有頻率影響顯著。

表2 不同方法中正交各向異性度與鋪層數(shù)量對固有頻率的影響Tab.2 Effect of orthotropic degree on fundamental frequency for simply supported square composite plates

2.2 含橫向裂紋復合材料層合板

基于XLWM應用于無損傷復合材料層合板自由振動問題的正確性，研究含有基體裂紋情況下的復合材料層合板的振動特性，含中心貫穿裂紋復合材料層合板如圖2所示。此研究模型尺寸為：a/b=1.0，h/a=0.2，邊界條件為四邊簡支，材料參數(shù)為材料I（E1/E2=3），網(wǎng)格劃分 37 × 37，裂紋長度（L/a）從 0～0.3逐漸增加。

以含中心裂紋的復合材料層合板為研究對象，研究鋪層數(shù)量及裂紋長度對復合材料層合板固有頻率的影響，并以無裂紋情況下的固有頻率作為參考。將XLWM結(jié)果與三維實體元結(jié)果相對比，證明其準確性。

圖2 含中心貫穿裂紋的復合材料層合板Fig.2 Composite laminates with central penetrating cracks

由表3可知：中心裂紋長度對對稱鋪層和反對稱鋪層復合材料層合板的固有頻率影響一致；當鋪層數(shù)不變，裂紋長度增加時，固有頻率減??；當裂紋長度不變，鋪層數(shù)增加時，固有頻率增大。說明裂紋對固有頻率的影響和復合材料層合板的固有屬性有關，裂紋長度越長，復合材料層合板剛度越低，對固有頻率影響越大。

表3 不同方法下鋪層數(shù)量及裂紋長度對固有頻率的影響Tab.3 Influence of Layer number and crack length on fundamental frequency under difterent methods

由以上研究可知，在僅考慮減小裂紋對動態(tài)特性影響方面，應選擇各向異性度小、分層多的復合材料層合板制作航空構件。在實際應用中，若受低速沖擊影響，裂紋和分層等問題一起出現(xiàn)，這時裂紋表現(xiàn)出的影響更大，且裂紋長度會隨著航空器的往復運行而增大，從而影響航空器的安全性，因此避免裂紋的產(chǎn)生并使用無損檢測技術及時有效地檢測裂紋才能保證航空器的安全性。

3 結(jié)語

將擴展逐層法應用于含裂紋復合材料層合板的自由振動問題上,擴展有限元法的結(jié)果與高階剪切理論及三維實體元模型的結(jié)果吻合，比經(jīng)典層合板理論和一維剪切理論的結(jié)果更加精確。研究結(jié)果表明：當?shù)群穸鹊膹秃喜牧蠈雍习邃亴訑?shù)量增加，各向異性度增加時，相應的固有頻率的值增加；基體裂紋長度越長，固有頻率越小。