金屬棒在磁場中切割磁感線對電容器充電的質疑

葉晟波

(慈溪中學 浙江 寧波 315300)

1 問題的提出

【例1】如圖1所示，兩根足夠長的光滑金屬桿ab和cd豎直放置，在金屬桿的底端連有C=0.9 F的電容器，質量m=0.1 kg，長度L=0.5 m的金屬棒ef套在豎直桿上，能自由運動，電阻r=1 Ω，金屬桿的所在區(qū)域存在磁感應強度B=2 T的勻強磁場，方向垂直紙面向里，磁場區(qū)域足夠大,g取10 m/s2,閉合開關S，將金屬棒ef從某一高處靜止釋放，當金屬棒下落h=2 m時(未離開磁場，電容器充電時間不計)，求電容器所帶電荷量q.

圖1 例1題圖

2 對該題的錯誤分析

根據電流定義式

(1)

式中a為金屬棒的瞬時加速度.由牛頓第二定律可得

mg-BIL=ma

(2)

將式(2)代入式(1)，解得

據此判斷出金屬棒做初速度為零、加速度為1 m/s2的勻加速直線運動，當下落h=2 m時，根據運動學公式v2=2ah，得到

v=2 m/s

金屬棒兩端的電壓

U=BLv=2 V

電容器帶電荷量

q=CU=1.8 C

以上的分析求解過程是錯誤的.從能量觀點分析，金屬棒切割磁感線，把金屬棒的機械能轉化為電容器的電場能和金屬棒內阻上的焦耳熱，即滿足相應的功率關系為

BLvI=IUC+I2r

兩邊同約去電流I，得到

BLv=UC+Ir

此式也可以閉合電路角度分析，金屬棒作為電源，它的電動勢BLv等于金屬棒內阻兩端電壓Ir加上電容器兩端的電壓UC，可見當金屬棒有電阻時，電動勢與路端電壓這兩物理量數值上不相等.

3 對該題的正確分析

既然BLv≠UC，那么金屬棒還會做初速為零的勻加速直線運動嗎？根據電流定義式

(3)

聯(lián)立式(2)和式(3)，得

(4)

式(4)簡化為

觀察此式可以通過求導得到電流I與t的關系.

由一階線性微分方程的通解公式可得

(5)

當t=0時I=0，代入式(5)得

即

(6)

從式(6)發(fā)現(xiàn)金屬棒不再做初速度為零的勻加速直線運動，那么如何求金屬棒下落h=2 m時的瞬時速度呢？把式(6)代入式(2)，得

(7)

對式(7)積分，得到

(8)

當t=0時,v=0，代入式(8)得

即

(9)

對式(9)積分，得到

(10)

當t=0時,h=0，代入式(10)得

(11)

代入已知量得h與t的數學關系式

當h=2 m時，解得t≈1.38 s，把t代入式(9)得到此時的瞬時速度

把t代入式(6)得到此時的

把I和v代入閉合電路歐姆定律

BLv=UC+Ir

得到UC=1.29 V,從而求得此時電容器所帶電荷量

q=CUC≈1.16 C

以上的數學求解過程已經超出高中生的知識范圍，所以對于高中物理教學在題設中金屬棒的電阻不計比較合適，當金屬棒的電阻不計時電動勢與路端電壓數值上相等，那么金屬棒做勻加速直線運動，就可以根據運動學公式求得速度v,從而求得電容器兩端的電壓UC，最后求得電荷量.為了全方位理解電動勢和路端電壓這兩個物理量的本質和內涵，我們可以通過教材《物理·選修3-1》第三章第五節(jié)課后習題4的分析，建構電源模型，培養(yǎng)學生的科學思維，從物理學視角抽象概括出電源的電動勢和電路中的電壓的本質屬性、內在規(guī)律及相互關系.

4 兩個概念的本質和相互關系

【例2】磁流體發(fā)電是一項新興技術，圖2是它的示意圖.平行金屬板A和B之間有一個很強的磁場，將一束等離子體以速度v噴入磁場，A，B間距為d，板間的磁場按勻強磁場處理，磁感應強度為B，設磁流體通道長為a，寬為b，導電流體的電阻率為ρ，負載電阻為R，求：

(1)該發(fā)電機產生的電動勢是多大；

(2)負載R兩端的電壓U多大；

(3)磁流體發(fā)電機總功率P.

圖2 磁流體發(fā)電示意圖

(1)建立電源模型

為方便受力分析，將圖2轉化為圖3.題中等離子體是帶有等量異種電荷的粒子流，它們以速度v射入磁場，由于受洛倫茲力的作用，分別向上、下兩平行金屬板A，B偏轉，金屬板上因會聚電荷在垂直于磁場和流速的方向上產生一個向下的電場E.如把金屬板與外負載相接，可以對負載供電成為電源.從能量轉化角度來看，電源是通過非靜電力做功把其他形式的能轉化為電勢能的裝置，磁流體發(fā)電機產生電動勢跟金屬棒產生電動勢的原理相同，它們的非靜電力都是由水平向右的速度所對應的豎直方向上的洛倫茲力提供，此分力克服靜電場力，將電子從高電位移向低電位做功，使導體MN兩端形成電勢差，產生電動勢，電動勢是電源的一個重要參數.

圖3 分析等離子體在磁場中的運動及受力

(2)如何求磁流體發(fā)電機的電動勢？

把負載R與電源斷開，洛倫茲力的分力克服靜電場力，當電荷受到的洛倫茲力與電場力平衡時，如圖3所示，即qvB=Eq時，滿足E=vB，電荷做直線運動，此后金屬板上電荷不再增加，則電動勢ε=Ed=vBd，這與金屬棒切割磁感線產生電動勢的公式也相同，它們都利用了電磁感應原理.

(3)如何求磁流體發(fā)電機負載兩端的電壓？

(4)認識ε和U的本質及相互關系

從以上式子可以發(fā)現(xiàn)，無論是金屬棒還是磁流體發(fā)電機作為電源，當電路中存在等效內阻時，電動勢ε大于電壓U.電動勢和電壓分別對應著不同的力做功，不同的能量形式的轉化，但是都是標量.對于給定的電源來說，不管外電阻是多少，電源的電動勢總是不變的，表征電源的特性，而電源的路端電壓則是隨著外電阻的變化而變化的，它是表征外電路性質的物理量.