導(dǎo)數(shù)易錯題歸類辨析

■河南省羅山高中老校區(qū) 沈麗紅

導(dǎo)數(shù)是求解曲線的切線方程、函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)等問題的有力工具，但有不少同學(xué)在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)時，常常因為對導(dǎo)數(shù)的概念及相關(guān)理論理解不到位而出現(xiàn)一些錯誤，下面就常見的易錯點進行歸納，以供參考。

一、對導(dǎo)數(shù)的概念理解不透徹

例1已知f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)為4，則

錯解：由已知有f'(x0)=4，所以

正解：

辨析：錯解沒有注意到本例中的增量是(x0-Δx)-x0=-Δx，而分母是Δx，兩者不同，因為忽視了這一點，所以得出了錯誤答案4。

解此類問題時，應(yīng)該注意在導(dǎo)數(shù)的概念中，增量的形式是多種多樣的，但是無論哪種形式，一定要保證分子中自變量的增量與分母中的增量一致。

練習(xí)1：設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足則函數(shù)y=f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)為____。

正解：由題得函數(shù)y=f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)

故答案為-1。

二、對導(dǎo)數(shù)的幾何意義理解有誤區(qū)

例2求過曲線f(x)=x3-2x上的點P(1，-1)的切線方程。

錯解：由已知得，f'(x)=3x2-2，所以f'(1)=1。

故所求切線方程為y+1=1×(x-1)，即x-y-2=0。

正解：設(shè)切點坐標(biāo)為 (x0，y0)，因為f'(x)=3x2-2，所以f'(x0)=3-2，且y0=f(x0)=-2x0，所以切線方程為yy0=(3-2)(x-x0)，即y-(-2x0)=(3-2)(x-x0)，又因切線過點(1，-1)，故-1-(-2x0)=(3-2)(1-x0)，即2-3+1=0，解得x0=1，或

故所求切線方程為x-y-2=0，或5x+4y-1=0。

辨析：出錯的原因是直接把點P當(dāng)作切點，來求解切線方程。混淆了“在某點處的切線”和“過某點處的切線”?！霸谀滁c處的切線”中該點一定是切點，但對于“過某點處的切線”中該點不一定是切點，故應(yīng)先設(shè)出切點，再利用該點在切線上來確定切點坐標(biāo)，進而求出切線方程。

練習(xí)2：已知曲線f(x)=2x2+3，過點(2，9)作曲線f(x)的切線，求切線的方程。

正解：設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，y0)，由已知得f'(x)=4x，則f'(x0)=4x0，且y0=f(x0)=2+3，所以切線方程為y-(2+3)=4x0(x-x0)，又切線過點(2，9)，所以有9-(2+3)=4x0(2-x0)，即2-8x0+6=0，解得x0=1或x0=3，故所求切線方程為4x-y+1=0或12x-y-15=0。

三、對導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系理解不全面

例3已知函數(shù)f(x)=x3+x2-a x-1在區(qū)間[1，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍。

錯解：因為函數(shù)f(x)=x3+x2-a x-1在區(qū)間[1，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，所以f'(x)=3x2+2x-a＞0在[1，+∞)上恒成立，即3x2+2x＞a在[1，+∞)上恒成立。

又y=3x2+2x在[1，+∞)上單調(diào)遞增，所以y=3x2+2x≥5，故a＜5。

正解：因為函數(shù)f(x)=x3+x2-a x-1在區(qū)間[1，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，所以f'(x)=3x2+2x-a≥0在[1，+∞)上恒成立，即3x2+2x≥a在[1，+∞)上恒成立。

又y=3x2+2x在[1，+∞)上單調(diào)遞增，所以y=3x2+2x≥5，所以a≤5，經(jīng)檢驗a=5時，在區(qū)間[1，+∞)內(nèi)f'(x)=3x2+2x-5=(3x+5)(x-1)≥0，且只有f'(1)=0。

此時函數(shù)f(x)=x3+x2-a x-1在[1，+∞)上仍然單調(diào)遞增，故a=5符合題意，故a的取值范圍為(-∞，5]。

辨析：錯因是誤認(rèn)為f'(x)＞0是y=f(x)在區(qū)間[1，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增的充要條件。實際上，在某區(qū)間Ι內(nèi)f'(x)＞0(f'(x)＜0)是函數(shù)y=f(x)在區(qū)間Ι內(nèi)單調(diào)遞增(遞減)的充分不必要條件。如果在區(qū)間Ι內(nèi)出現(xiàn)“個別點”使得f'(x)=0，不會影響函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。簡而言之，f(x)在區(qū)間Ι內(nèi)遞增(遞減)的充要條件是對任意x∈Ι，有f'(x)≥0(f'(x)≤0)(但是這里滿足f'(x)=0的點應(yīng)只是在個別點處，也就是說在區(qū)間Ι內(nèi)f'(x)不能恒等于0)。

練習(xí)3：已知函數(shù)在區(qū)間(-2，+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為____。

正解：由題意得，在(-2，+∞)內(nèi)恒成立，所以解不等式得但當(dāng)時，恒成立，不合題意，應(yīng)舍去，故

四、錯誤理解“f'(x0)=0”與“f(x)在x0處有極值”的關(guān)系

例4已知函數(shù)f(x)=x3-a x2-b x+a2在x=1處有極值10，則的值為( )。

錯解：由題意知f'(x)=3x2-2a x-b，f'(1)=0，f(1)=10。

正解：由題意知f'(x)=3x2-2a x-b，f'(1)=0，f(1)=10。

A.0 B.1 C.2 D.3

正解：y'=x3-x2=x2(x-1)，令y'=0，得x=0或x=1。

當(dāng)x變化時，y'，y的變化情況如表1所示。答案為B。

表1

辨析：根據(jù)極值的定義可知，對于一個可導(dǎo)函數(shù)f(x)，如果函數(shù)y=f(x)在x0處有極值，則一定有f'(x0)=0，但是若有f'(x0)=0，則點x0不一定是函數(shù)y=f(x)的極值點，即f'(x0)=0只是f(x)在x0處有極值的必要條件。所以若函數(shù)y=f(x)在點x0處取得極值，不僅要有f'(x0)=0，且f'(x0)在x0左右兩側(cè)的符號應(yīng)該不同，故解此類題時，應(yīng)檢驗所求參數(shù)的值是否符合題意。

練習(xí)4：函數(shù)

故該函數(shù)有一個極值點。答案為B。