淺談中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的分類思想

高興霞

摘 要：分類討論是中學(xué)數(shù)學(xué)重要的思想方法之一，在具體教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的分類意識(shí)并形成運(yùn)用這一思想解決問(wèn)題的能力，具有重要的意義，這也是教師探索實(shí)踐的任務(wù)之一。通過(guò)對(duì)教材中所蘊(yùn)含的分類思想加以簡(jiǎn)單論述，借以說(shuō)明從教材著手深入探討、研究教材中的分類思想，是教師引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)分類意識(shí)，運(yùn)用分類思想解決問(wèn)題的重要方法之一。

關(guān)鍵詞：分類討論；數(shù)學(xué)思想；探索實(shí)踐

分類討論是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)思想方法之一，它是解決較復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效方法，是人們實(shí)事求是、區(qū)別對(duì)待處理問(wèn)題的一種思維方式，運(yùn)用這一方法有助于把抽象的、繁雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為若干簡(jiǎn)單問(wèn)題，然后各個(gè)突破，逐一解決。

但是，有很多學(xué)生對(duì)怎樣的題用分類討論的方法、如何應(yīng)用分類討論以及在分類時(shí)對(duì)分類的標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)如何確定等問(wèn)題都感到比較棘手。因而，如何在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的分類意識(shí)并逐步形成運(yùn)用這一思想解決問(wèn)題的能力，一直是教師探索實(shí)踐的任務(wù)之一。

筆者認(rèn)為，蘊(yùn)含在教材中的分類思想是最真實(shí)、最基本，也是最具活力的第一手材料。深入研究并認(rèn)真體會(huì)滲透在教材中的分類思想，才能幫助學(xué)生學(xué)好分類討論思想，培養(yǎng)學(xué)生的分類意識(shí)，才不至于使這一思想成為無(wú)水之源。

首先，教材中有些數(shù)學(xué)概念，在定義時(shí)就進(jìn)行了分類定義，如a的絕對(duì)值，就是按a>0，a=0，a<0三種情況定義的。因此對(duì)式中含有絕對(duì)值的問(wèn)題，在去掉絕對(duì)值進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，就要分類處理。

例1 方程x|x|-5|x|+6=0的最大根與最小根之積為（ ）

A.-6 B.-3 C.3 D.6

解：易知x=0不是原方程的解，當(dāng)x>0時(shí)，原方程可化為x2-5x+6=0，所以x1=2，x2=3；當(dāng)x<0時(shí)，原方程可化為-x2+5x+6=0所以x3=-1，x4=6（舍去），最大根為3，最小根為-1，積為-3，故選（B）。

教材中對(duì)概念的分類定義還有很多，諸如P點(diǎn)分有向線段所成的比：？姿>0時(shí)，P為內(nèi)分點(diǎn)，？姿<0時(shí)，P為外分點(diǎn)；直線的斜率，α≠90°，k=tanα，α=90°，k不存在，等等。認(rèn)真理解并體會(huì)這些概念的分類定義后，在具體的問(wèn)題中，當(dāng)遇到與這些概念相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，就會(huì)自然而然地想到分類，而且也非常明確分類的標(biāo)準(zhǔn)。

其次，有些函數(shù)性質(zhì)本身就是分類表述的，如二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等。對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax，當(dāng)01時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)。

總之，教材中的有些概念、性質(zhì)、公式，還有一些定理以及圖形的位置關(guān)系等，都不能在某個(gè)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)和前提下進(jìn)行闡述，為了使問(wèn)題更清晰、更透徹、更深入、更科學(xué)，應(yīng)運(yùn)用分類定義及說(shuō)明。筆者所舉例題僅是教材中蘊(yùn)含的分類思想的點(diǎn)滴，還有很多豐富的分類思想隱含在教材的知識(shí)體系中，相信只要在平時(shí)教學(xué)中深入探討研究教材中的分類思想，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生這一數(shù)學(xué)思想，并用其來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題是大有裨益的。

編輯 馮志強(qiáng)