PSO-無(wú)偏灰色馬爾科夫模型在船舶交通流量預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

馬全黨， 江福才， 范慶波， 朱蓉蓉

(武漢理工大學(xué) a.航運(yùn)學(xué)院;b.內(nèi)河航運(yùn)技術(shù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 武漢 430063)

伴隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，尤其是“一帶一路”政策的實(shí)施，加速了水上交通運(yùn)輸?shù)陌l(fā)展，船舶數(shù)量逐漸增多，船舶大型化和高速化趨勢(shì)日益明顯。[1-2]船舶交通流量的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，可讓港口部門(mén)根據(jù)船舶交通流的變化規(guī)律，科學(xué)合理地規(guī)劃水域布局，提高航道的通航效率,同時(shí)也為海事管理部門(mén)提供基礎(chǔ)性數(shù)據(jù)，更好地保障通航安全。[3]

目前國(guó)內(nèi)外的學(xué)者在船舶交通流量預(yù)測(cè)方面主要有定性預(yù)測(cè)和定量預(yù)測(cè)兩大類(lèi)。

1) 定性方法主要指經(jīng)驗(yàn)判斷性質(zhì)的分析預(yù)測(cè)，具有代表性的方法有“頭腦風(fēng)暴法”“德?tīng)柗品ā焙汀皬V義德?tīng)柗品ā盵4]等，這些方法包含很強(qiáng)的主觀因素，誤差較大且預(yù)測(cè)精度不高。

2) 定量預(yù)測(cè)是指運(yùn)用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，目前應(yīng)用比較廣，例如：運(yùn)用線性增長(zhǎng)模型[5]、徑向基函數(shù)(Radical Basis Function,RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[6]等。

本文主要就灰色模型、馬爾科夫模型、粒子群算法應(yīng)用情況進(jìn)行介紹。馬曉波等[7]運(yùn)用灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)模型，引入殘差修正等方法優(yōu)化模型，對(duì)長(zhǎng)山水道2015—2016年船舶交通流量進(jìn)行預(yù)測(cè)。鄭友銀等[8]運(yùn)用灰色模型與自回歸模型結(jié)合，對(duì)港口的船舶交通流量進(jìn)行預(yù)測(cè)等；灰色模型可提高樣本數(shù)量和信息少的數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)精度，但對(duì)波動(dòng)性大的數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)精度低，且未消除指數(shù)偏差。呂鵬飛等[9]利用BP(Back Propagation)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與馬爾科夫模型結(jié)合，將殘差劃分狀態(tài)，白化系數(shù)取0.5，用馬爾科夫修正神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)值的方法對(duì)長(zhǎng)江九江大橋的月度船舶交通流量進(jìn)行預(yù)測(cè)；馬爾科夫模型對(duì)殘差序列區(qū)間進(jìn)行白化，一般選取狀態(tài)區(qū)間的中間值，白化系數(shù)為0.5，不具有普適性，誤差較大。李松等[10]應(yīng)用粒子群算法所具有的全局搜索能力對(duì)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行優(yōu)化，輔助求解最佳的權(quán)值和閾值，提高交通流量的預(yù)測(cè)精度。許多學(xué)者已將無(wú)偏灰色模型、馬爾科夫模型、粒子群算法應(yīng)用到煤礦、道路交通和降水等領(lǐng)域，取得很好的預(yù)測(cè)效果。

鑒于以上分析，本文在無(wú)偏灰色模型的基礎(chǔ)上，引入馬爾科夫模型，彌補(bǔ)無(wú)偏灰色模型在對(duì)波動(dòng)性大的數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)精度低的不足，并運(yùn)用PSO優(yōu)化算法，自適應(yīng)求取最佳白化系數(shù)，應(yīng)用該方法對(duì)東營(yíng)港2012—2017年船舶交通流量季度統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合與預(yù)測(cè)，以期得到最佳的預(yù)測(cè)效果。

1 構(gòu)建PSO-無(wú)偏灰色馬爾科夫鏈模型

1.1 無(wú)偏灰色模型

在生活中，存在很多系統(tǒng)的信息為部分已知但并不全知，稱(chēng)為灰色系統(tǒng)，灰色模型就是對(duì)灰色系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測(cè)，雖然系統(tǒng)表現(xiàn)的現(xiàn)象是隨機(jī)的、雜亂無(wú)章的，但依然具備一定的潛在規(guī)律?；疑Ｐ途褪菍ふ疫@種規(guī)律并加以利用，從而進(jìn)行預(yù)測(cè)。[11]選擇灰色模型中的GM(1,1)進(jìn)行預(yù)測(cè)，灰色模型GM(1,1)在原始時(shí)間序列隱含著指數(shù)變化規(guī)律時(shí)預(yù)測(cè)誤差較小。傳統(tǒng)的灰色模型GM(1,1)在構(gòu)建序列模型步驟過(guò)于繁瑣，為方便計(jì)算，構(gòu)建無(wú)偏灰色GM(1,1)模型，建模步驟如下：

構(gòu)建原始序列為

X(0)(k)=(X(0)(1),X(0)(2)，…X(0)(k))=

(1)

1) 對(duì)原始序列作一階累加，生成數(shù)據(jù)累加序列和一階線性微分方程為

(2)

(3)

2) 為得到待定參數(shù)的解，構(gòu)建矩陣Bn,Yn為

(4)

3) 用最小二乘法計(jì)算線性微分方程的參數(shù)a和μ。

x(0)(k)=-aZ(1)(k)+μ

(5)

(6)

(7)

(8)

1.2 無(wú)偏灰色馬爾科夫模型

馬爾科夫模型是一個(gè)隨機(jī)變量序列，它與某個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)相對(duì)應(yīng)，而此系統(tǒng)在某個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)只依賴(lài)于它的前一時(shí)刻的狀態(tài)，該模型[13]表示為

X(n)=X(k)Pn-1

(9)

(10)

殘差序列e(i)存在規(guī)律性，應(yīng)對(duì)殘差序列利用馬爾科夫模型來(lái)修正。將殘差序列按照大小劃分為間隔寬度相等的r個(gè)狀態(tài)，殘差序列F(i)的第i步的第j個(gè)狀態(tài)的上下邊界分別用Hij和Qij表示，計(jì)算方法[13]為

(11)

(12)

設(shè)狀態(tài)空間為I={i1,i2,…,ir}，在每一個(gè)時(shí)間點(diǎn)，隨機(jī)過(guò)程中的每一個(gè)值只能處于一種狀態(tài)，每個(gè)狀態(tài)在接下來(lái)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移有r個(gè)轉(zhuǎn)向(包括轉(zhuǎn)向自身)，即：{ii→i1,ii→i2,…,i→ir}。從狀態(tài)i經(jīng)過(guò)一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率為

?i,j∈I。

(13)

同理可得到k步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為

?i,j∈I

(14)

進(jìn)而構(gòu)建能反映系統(tǒng)間各狀態(tài)概率轉(zhuǎn)移的一步轉(zhuǎn)移矩陣為r×r。[14]該轉(zhuǎn)移矩陣為

(15)

從狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的行向量里可得到無(wú)偏灰色模型殘差序列里某序列值經(jīng)過(guò)一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率，記為ai(t)(i=1,2,3,…,r)，轉(zhuǎn)移時(shí)間用T表示。選取r個(gè)狀態(tài)區(qū)間，每個(gè)狀態(tài)區(qū)間的中間值為該區(qū)間可能的預(yù)測(cè)值，用zi(i=1,2,3,…,r)表示，通常取0.5，得到預(yù)測(cè)結(jié)果的表達(dá)式為

(16)

1.3 PSO優(yōu)化

在以上建模過(guò)程中，zi(i=1,2,…,λ)取狀態(tài)區(qū)間的中間值(白化系數(shù)為0.5)，該值不具有普適性且誤差較大。本文引入粒子群算法對(duì)上述模型進(jìn)行優(yōu)化，根據(jù)數(shù)據(jù)序列的變化規(guī)律，求取最佳的白化系數(shù)。

將得到的狀態(tài)區(qū)間看作為一個(gè)灰區(qū)間，對(duì)這種灰區(qū)間進(jìn)行白化的方法為

(17)

KENNEDY等[15]提出粒子群算法，這是一種模擬鳥(niǎo)群社會(huì)性的多點(diǎn)搜索方法，具有全局搜索能力強(qiáng)、過(guò)程簡(jiǎn)潔和參數(shù)少的特點(diǎn)，用以自適應(yīng)選取最佳白化系數(shù)。

vi(t+1)=wvi(t)+c1rand1(xpbesti-xi(t))+

c2rand2(xgbesti-xi(t))

xi(t+1)=xi(t)+vi(t+1)

(18)

式(18)中：xi為在t時(shí)刻的位置;vi為粒子在t時(shí)刻的速度;xpbesti為群體搜索到的最佳位置;xgbest為粒子全體極值經(jīng)歷的最好位置；rand1、rand2為服從U(0,1)的隨機(jī)數(shù);ω為慣性系數(shù);c1、c2為加速度系數(shù)。

用均方差fit來(lái)衡量每個(gè)粒子的適應(yīng)度函數(shù)

(19)

PSO-無(wú)偏灰色馬爾科夫模型的建模步驟見(jiàn)圖1。

圖1 PSO-無(wú)偏灰色馬爾科夫模型計(jì)算步驟

1.4 模型檢驗(yàn)

為定量評(píng)價(jià)模型的船舶交通流量預(yù)測(cè)結(jié)果，綜合采用平均絕對(duì)誤差(Mean Absolute Error,MAE)和平均絕對(duì)百分誤差(Mean Absolute Percentage Error,MAPE)[14]對(duì)預(yù)測(cè)精度進(jìn)行計(jì)算。

MAE的計(jì)算公式為

(20)

MAPE的計(jì)算公式為

(21)

MAE與MAPE分別反映原始值與預(yù)測(cè)值的平均偏離程度及模型預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的擬合程度,值越小，越能反應(yīng)預(yù)測(cè)值的準(zhǔn)確性與可靠性。

2 算 例

2.1 數(shù)據(jù)樣本的選取

標(biāo)準(zhǔn)船舶的選取是為方便對(duì)不同水域相同時(shí)段或同一水域不同時(shí)段的船舶交通流量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)、更好地表征船舶交通流的概念。文獻(xiàn)[16]提到標(biāo)準(zhǔn)船舶作用有：實(shí)現(xiàn)不同航段船舶交通流量的比較，反映不同航段船舶交通流量的特點(diǎn)。日本運(yùn)用“L系數(shù)”“L2系數(shù)”的方法確定標(biāo)準(zhǔn)船舶，我國(guó)采用如下?lián)Q算系數(shù)將原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)船舶數(shù)據(jù)[13],見(jiàn)表1。

表1 標(biāo)準(zhǔn)船舶換算系數(shù)表

為保證預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，在東營(yíng)海事局的配合下利用船舶簽證原始資料統(tǒng)計(jì)得到東營(yíng)港2012—2017年共23個(gè)季度的船舶交通流量。根據(jù)以上換算系數(shù)，對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)船舶轉(zhuǎn)換，得到的標(biāo)準(zhǔn)船舶見(jiàn)表2。

表2 東營(yíng)港2012年1月—2017年9月船舶交通流量季度統(tǒng)計(jì)表 標(biāo)準(zhǔn)船/艘次

2.2 無(wú)偏灰色模型預(yù)測(cè)

根據(jù)表2，擬選擇前21個(gè)樣本數(shù)據(jù)作為擬合數(shù)據(jù)，建立非負(fù)原始數(shù)據(jù)序列為

(22)

依據(jù)無(wú)偏灰色模型的建模步驟，運(yùn)用MATLAB R2014a軟件編制無(wú)偏灰色模型程序計(jì)算，得到

(23)

(24)

應(yīng)用MATLAB R2014b，參照式(4)得到無(wú)偏灰色模型的預(yù)測(cè)值。

2.3 無(wú)偏灰色馬爾科夫模型預(yù)測(cè)

依據(jù)上文無(wú)偏灰色馬爾科夫模型的建模流程，確定殘差序列的范圍e(i)∈[-1 562.93,1 284.68]。將殘差序列劃分為4個(gè)狀態(tài)區(qū)間，區(qū)間的上下邊界值如下：

狀態(tài)E1為

同理得到E2、E3、E4狀態(tài)的上下邊界區(qū)間分別為[-851.02,-139.12]、[-139.12,572.77]、[572.77,1 284.68]。無(wú)偏灰色模型殘差序列狀態(tài)分布見(jiàn)表3。

表3 無(wú)偏灰色模型殘差序列狀態(tài)分布表

根據(jù)表3狀態(tài)的分布情況，對(duì)從Ei經(jīng)一步轉(zhuǎn)移到Ej的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)見(jiàn)表4。進(jìn)而得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為

(27)

計(jì)算4個(gè)狀態(tài)區(qū)間的中間值：z1=-1 211.71,z2=-489.24,z3=233.24,z4=955.71。根據(jù)式(16)得到無(wú)偏灰色馬爾科夫模型的預(yù)測(cè)結(jié)果，見(jiàn)表5。

表4 一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表

表5 模型預(yù)測(cè)結(jié)果及殘差

2.4 PSO優(yōu)化

粒子群算法全局搜索能力強(qiáng)，綜合考慮殘差序列、狀態(tài)區(qū)間和狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率等，能夠幫助尋找到最佳的白化系數(shù)。運(yùn)用式(17)得到

(28)

(29)

(30)

(31)

根據(jù)以上的計(jì)算結(jié)果，現(xiàn)將無(wú)偏灰色模型、無(wú)偏灰色馬爾科夫模型、PSO-無(wú)偏灰色馬爾科夫模型船舶交通流量預(yù)測(cè)值和殘差匯總?cè)绫?所示。

船舶交通流量預(yù)測(cè)值結(jié)果對(duì)比見(jiàn)圖2。無(wú)偏灰色模型的預(yù)測(cè)值從第2季度開(kāi)始為單調(diào)遞增的光滑直線，樣本實(shí)際值基本位于直線兩側(cè)，該模型對(duì)單調(diào)遞增的數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)精度高，對(duì)受到多種因素影響的波動(dòng)性較大的數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)精度較低。無(wú)偏灰色馬爾科夫模型擬合效果不好，原因在于該模型白化系數(shù)值為0.5，即選擇的每個(gè)狀態(tài)區(qū)間的中間值為該區(qū)間的可能值，但在實(shí)際中，中間值并不一定是最優(yōu)解。運(yùn)用PSO算法進(jìn)行全局搜索，尋找到最佳的白化系數(shù)，彌補(bǔ)了馬爾科夫模型在白化系數(shù)選取上的不足，擬合效果較好，且擬合精度明顯優(yōu)于前兩者。

圖2 船舶交通流量預(yù)測(cè)值結(jié)果對(duì)比

擬運(yùn)用該方法對(duì)東營(yíng)港2017年第2季度、2017年第3季度船舶交通流量進(jìn)行預(yù)測(cè)。第21組數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)移到第22組、第23組數(shù)據(jù)的第1、第2步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為

P(1)=P(0)×P(1)=0 1 0 0×P(1)

第21組數(shù)據(jù)處于E1，參照PSO-無(wú)偏灰色馬爾科夫模型的計(jì)算過(guò)程和第2步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表6。

2.5 誤差比較

根據(jù)式(20)和式(21)，分別計(jì)算3種模型在對(duì)前21組數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合及對(duì)第22、第23組數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)情況下的MAE和MAPE,見(jiàn)表7。

由表7可知:采用PSO-無(wú)偏灰色馬爾可夫模型擬合誤差中MAPE為8.561%，精度為91.439%，優(yōu)于無(wú)偏灰色模型及無(wú)偏灰色馬爾科夫模型，擬合較好。PSO-無(wú)偏灰色馬爾可夫模型對(duì)于2017第2、第3季度的預(yù)測(cè)誤差中MAPE為4.041%，精度為95.959%，驗(yàn)證模型的可靠性。

表7 3種模型誤差比較結(jié)果統(tǒng)計(jì)表

3 結(jié)束語(yǔ)

1) 本文提出PSO-無(wú)偏灰色馬爾科夫船舶交通流量預(yù)測(cè)模型,該模型在綜合考慮預(yù)測(cè)中殘差序列、狀態(tài)區(qū)間和狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的基礎(chǔ)上，自適應(yīng)求解最佳白化系數(shù)，用以克服無(wú)偏灰色馬爾科夫模型在預(yù)測(cè)波動(dòng)性數(shù)據(jù)存在精度低的問(wèn)題。

2) 本文模型與傳統(tǒng)無(wú)偏灰色模型和無(wú)偏灰色馬爾科夫模型相比，能確保更高精度的預(yù)測(cè)結(jié)果。

3) 為進(jìn)一步提高船舶交通流量預(yù)測(cè)精度，后續(xù)工作將重點(diǎn)研究馬爾科夫模型中的最佳狀態(tài)劃分方法和粒子群算法，有效克服船舶交通流量預(yù)測(cè)中的復(fù)雜性和非線性。

4) 預(yù)測(cè)結(jié)果可為港口水域的合理布局及海事主管部門(mén)提高水上交通管理效能提供基礎(chǔ)性數(shù)據(jù)。