關(guān)于泊松分布與純生過(guò)程

臧梓涵

【摘要】概率與隨機(jī)過(guò)程作為數(shù)學(xué)理論的一部分，在實(shí)際生活中有著重大的意義，可以成為許多生活應(yīng)用的理論基礎(chǔ)。本文以一種隨機(jī)過(guò)程一泊松過(guò)程及其應(yīng)用為切入點(diǎn)，進(jìn)一步推廣到純生過(guò)程的性質(zhì)，對(duì)于純生過(guò)程爆炸的條件予以研究與推斷。

【關(guān)鍵詞】計(jì)數(shù)過(guò)程;獨(dú)立增量過(guò)程;泊松分布;純生過(guò)程;爆炸

一、引言

據(jù)美國(guó)人口普查局統(tǒng)計(jì)，2018年元旦全世界人口總數(shù)達(dá)到74，4444，3881人。人口的不斷增長(zhǎng)不免使我們產(chǎn)生擔(dān)心與好奇：世界的人口在未來(lái)的某一天會(huì)不會(huì)增長(zhǎng)到地球無(wú)法容下，甚至于無(wú)窮，這是一個(gè)很難解決的問(wèn)題。

本文將結(jié)合數(shù)學(xué)中的泊松分布等理論嘗試給出解答。先是由基礎(chǔ)的隨機(jī)變量等數(shù)學(xué)概念引入，隨后轉(zhuǎn)向一種特殊的獨(dú)立增量過(guò)程一泊松過(guò)程。熟悉其性質(zhì)后，轉(zhuǎn)向其一般化應(yīng)用的一種跳過(guò)程：生滅過(guò)程。再對(duì)一種特殊化的生滅過(guò)程：純生過(guò)程進(jìn)行研究，最終從純生過(guò)程的性質(zhì)分析中得到純生過(guò)程爆炸的條件（即人口增至無(wú)窮的條件）。

二、泊松過(guò)程

在引入泊松過(guò)程之前，我們先介紹隨機(jī)變量并對(duì)其分布和期望的基本性質(zhì)進(jìn)行分析。

隨機(jī)變量：隨機(jī)變量X的概念，在高中的統(tǒng)計(jì)概率部分就已引入了，表示了隨機(jī)試驗(yàn)各種結(jié)果的實(shí)值單值函數(shù)。它在本質(zhì)上是定義在樣本空間上的一個(gè)或離散或連續(xù)的函數(shù)，對(duì)于R的任意子集A，{X∈A}是事件。通過(guò)將隨機(jī)事件的結(jié)果用數(shù)量化的方式表示，可以更好地分析生活中的隨機(jī)現(xiàn)象。例如燈泡的壽命，病毒的分裂感染，公交汽車站等車乘客人數(shù)等。

概率分布：對(duì)于隨機(jī)變量X稱F（X）為X的分布函數(shù)。分布函數(shù)是單調(diào)不減的右連續(xù)函數(shù)，如果X有離散的概率分布。

數(shù)學(xué)期望：假設(shè)離散隨機(jī)變量X在點(diǎn)x_j的概率為p_j，如果E（X）=∑x_jp_j存在，則稱其為X的數(shù)學(xué)期望，也就是概率加權(quán)平均值。

計(jì)數(shù)過(guò)程：用N（t）表示時(shí)間段[0，t]內(nèi)某類事件發(fā)生的個(gè)數(shù)，N（t）是隨機(jī)變量。稱{N（t）：t≥0}是計(jì)數(shù)過(guò)程。計(jì)數(shù)過(guò)程滿足如下條件：

（一）對(duì)t≥0，N（t）是非負(fù)整數(shù)取值的隨機(jī)變量;

（二）對(duì)t>s≥0，N（t）≥N（s），且N（t）-N（s）是時(shí)間（s，t]中的事件發(fā)生數(shù)。

獨(dú)立增量過(guò)程是一種特殊的計(jì)數(shù)過(guò)程，其特點(diǎn)在于在不相交的時(shí)間段內(nèi)事件發(fā)生的概率是相互獨(dú)立的，即不同時(shí)間段相互之間無(wú)干擾。

泊松過(guò)程：波動(dòng)過(guò)程是一個(gè)特殊的計(jì)數(shù)過(guò)程，并且稱滿足下列條件的計(jì)數(shù)過(guò)程{N（t）}為強(qiáng)度λ為的泊松過(guò)程：

（一）N（0）=0

（二）{N（t）}為獨(dú)立增量過(guò)程

（三）付任意t，s≥0，N（s，t+s]服從參數(shù)為λt的泊松分布，即

泊松過(guò)程是一種特殊的獨(dú)立增量過(guò)程，其數(shù)學(xué)期望與方差均為λt。于是有，是單位時(shí)間內(nèi)事件發(fā)生的平均數(shù)，入越大，單位時(shí)間內(nèi)平均發(fā)生事件越多。泊松過(guò)程中兩個(gè)相繼發(fā)生的時(shí)刻的間隔服從指數(shù)分布。

泊松過(guò)程是無(wú)法畫出確切圖像的一個(gè)計(jì)數(shù)過(guò)程，但它在生活中的應(yīng)用卻較為廣泛。許多在一定時(shí)間、一定空間范圍內(nèi)的計(jì)數(shù)過(guò)程均可以與其建立直接或是間接的聯(lián)系，比如停車場(chǎng)的車輛進(jìn)出、釣魚過(guò)程等的估測(cè)，因而對(duì)于數(shù)據(jù)分析也會(huì)有所幫助。同時(shí)我們還可以由泊松過(guò)程的性質(zhì)進(jìn)一步推廣到更為廣泛的跳過(guò)程。

三、泊松過(guò)程的合并與細(xì)分

假設(shè)（N₁（t）}和{N₂（t）}是相互獨(dú)立的，強(qiáng)度分別為λ₁和λ₂的泊松過(guò)程，則N（t）=N₁（t）+N₂（t），t≥0，強(qiáng)度為λ=λ₁+λ₂。也就是說(shuō)兩個(gè)相互獨(dú)立的泊松過(guò)程是可以合并的。由此推知，多個(gè)相互獨(dú)立的泊松過(guò)程可以合并為一個(gè)泊松過(guò)程。同樣的，一個(gè)泊松分布可以分解為兩個(gè)或多個(gè)相互獨(dú)立的泊松過(guò)程。

采取較為生活化的說(shuō)法解釋，舉例來(lái)說(shuō)，一個(gè)商店的前門在t時(shí)間段內(nèi)進(jìn)入的游客數(shù)服從參數(shù)為λ₁t的泊松分布，后門在相同t時(shí)間段內(nèi)進(jìn)入的游客數(shù)服從參數(shù)為λ₂t的泊松分布。很容易想到，商店在該時(shí)間段內(nèi)進(jìn)入的總?cè)藬?shù)也服從泊松分布，強(qiáng)度為（λ₁+λ₂）t。同樣的，該合成的泊松過(guò)程可以分解為前門、后門的兩個(gè)泊松過(guò)程，強(qiáng)度分別為λ₁和λ₂。

若N（t）是一個(gè)參數(shù)為λ的泊松過(guò)程，ε₁，ε₂…獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，與N（t）獨(dú)立，P（ε₁=1）=1-P（ε₁=0）=P。那么和是兩個(gè)互相獨(dú)立的泊松過(guò)程，參數(shù)分別為λP和λ（1-p）。

想象商場(chǎng)中有若干個(gè)門時(shí)，可以將多個(gè)相互獨(dú)立的泊松過(guò)程合并，也可以將一個(gè)泊松過(guò)程細(xì)分成多個(gè)，每個(gè)人可以有概率地從每個(gè)門出去。

四、泊松過(guò)程一般化的應(yīng)用一純生過(guò)程

泊松過(guò)程是最簡(jiǎn)單的連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程，在我們的生活中可能不存在如此理想化的過(guò)程，因而需要進(jìn)行一定的一般化與推廣，這便提到了生滅過(guò)程。而考慮到影響因素較多，我們將生滅過(guò)程予以特殊化處理，得到了純生過(guò)程（只出生不死亡的生滅過(guò)程）。而關(guān)于純生過(guò)程的數(shù)學(xué)化定義，將在后文中給出。

純生過(guò)程爆炸，可以認(rèn)為是在有限的時(shí)間內(nèi)讓人口增至無(wú)窮，換言之，人口達(dá)到無(wú)窮所用的時(shí)間不是無(wú)窮而是有限的。我們將在一段時(shí)間內(nèi)生命的降生的每段時(shí)間間隔分別設(shè)為隨機(jī)變量ξ₁，ξ₂，…ξ_n類比泊松過(guò)程可知ξ_k～Exp（ξ_k）。令S⁰=0，S_n=ξ₁+ξ₂+…+ξ_n，X_t=sup{n：S_n≤t}。則Xt為我們所說(shuō)的純生過(guò)程。n為滿足接連出生的生命時(shí)間間隔之和小于等于t的最高上限，即S_n時(shí)間內(nèi)降生的數(shù)量。λk越大時(shí)，出生n人所需的t（即S_n）越短。那么可能存在一種情況，λ_k可以滿足存在τ<∞，使t≥τ時(shí)，X_t=∞成立。此時(shí)即可認(rèn)為人口在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到了無(wú)窮，純生過(guò)程爆炸。

由于τ為S_n單調(diào)上升得到，則。若，則Eτ<∞，此時(shí)純生過(guò)程不爆炸。反之，若，又由ξ服從指數(shù)分布，由指數(shù)分布性質(zhì)，可知。于是由有界收斂定理有=1，即P（τ=∞）=1，此時(shí)純生過(guò)程爆炸。

上述證明過(guò)程中用到了：1、單調(diào)收斂定理，即最終收斂于;2、加和為無(wú)窮的非負(fù)數(shù)列，分別加1后乘積為無(wú)窮;3、泊松過(guò)程、指數(shù)分布的相關(guān)性質(zhì)與積分運(yùn)算、極限運(yùn)算。

應(yīng)用舉例：Yule過(guò)程，若，則稱對(duì)應(yīng)的過(guò)程為Yule過(guò)程。則

故Yule過(guò)程不會(huì)爆炸。

【參考文獻(xiàn)】

[1]何書元.隨機(jī)過(guò)程[M].北京大學(xué)出版社，2008