以“定”解“動(dòng)”

柴澤禮

【摘要】高中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中的動(dòng)點(diǎn)型最值問(wèn)題一直是學(xué)生難以逾越的障礙，究其原因是點(diǎn)多且動(dòng)，學(xué)生碰到此類問(wèn)題無(wú)從下手.而恰恰是多且動(dòng)，那其中必有“定”，找到這個(gè)“定”的特性也就尋到了解題的突破口.

【關(guān)鍵詞】動(dòng)點(diǎn);最值;定量

最值問(wèn)題是普遍的應(yīng)用類問(wèn)題，主要解決有“最”字的描述的問(wèn)題，在高中數(shù)學(xué)是常見的題目類型.而所謂“動(dòng)點(diǎn)型問(wèn)題”是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們?cè)诰€段、射線或弧線或曲面上運(yùn)動(dòng)的一類開放性題目.由于題目中的動(dòng)點(diǎn)不止一個(gè)，而是有多個(gè)，某一動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)帶動(dòng)或制約其他一些點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致涉及面加大，在這種錯(cuò)綜復(fù)雜的情況下，會(huì)有一種“山重水復(fù)疑無(wú)路”的感覺.但是我們?nèi)绻軌虮M可能地使動(dòng)點(diǎn)的數(shù)目減少，在“動(dòng)”中找到“定”的東西，往往就會(huì)出現(xiàn)“柳暗花明又一村”的局面.而解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵就是“動(dòng)中求定”，即在已有的題設(shè)條件中找到“定的條件”，靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.下面就通過(guò)幾道題目來(lái)找找感覺.

一、“動(dòng)”中找“定長(zhǎng)”

例1已知直線l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4（m為常數(shù)），圓C：（x-1）2+（y-2）2=25.

（1）證明：m為任意實(shí)數(shù)時(shí)直線l與圓C必相交;

（2）求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)的最小值及此時(shí)直線l的方程.

解析此題應(yīng)屬高三復(fù)習(xí)備考中的經(jīng)典題目，可以從數(shù)與形兩個(gè)角度進(jìn)行求解.思路一：（1）聯(lián)立直線l與圓C的方程，通過(guò)整理得到關(guān)于x或y的一元二次方程，通過(guò)判定判別式Δ>0而進(jìn)行證明;（2）利用圓中的弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)的表達(dá)式是關(guān)于m的函數(shù)，化為函數(shù)的最值問(wèn)題求解，此法思路明了但運(yùn)算量偏大.在平時(shí)的教學(xué)中，這種方法理論上可行但實(shí)際操作異常復(fù)雜，常常適用于直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關(guān)系問(wèn)題.思路二：數(shù)形結(jié)合、“動(dòng)”中找“定”，（1）不難發(fā)現(xiàn)直線l恒過(guò)定點(diǎn)A（3，1），只需判斷此點(diǎn)在圓C內(nèi)即可，那么只要是過(guò)定點(diǎn)A（3，1）的任何直線與圓C必相交;（2）無(wú)論l怎么動(dòng)，|CA|=5為定值，利用幾何圖形不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)l與CA垂直時(shí)弦長(zhǎng)最小為225-|CA|2=45，此時(shí)直線l的方程為x-2y+5=0.通過(guò)對(duì)比就會(huì)深切體會(huì)到思路二的優(yōu)勢(shì)所在，以“定”解“動(dòng)”可以達(dá)到事半功倍的效果.在實(shí)際教學(xué)中，如果可以借助多媒體動(dòng)畫進(jìn)行演示教學(xué)，會(huì)使學(xué)生能夠更加直觀地感受到動(dòng)態(tài)中變化的過(guò)程，領(lǐng)悟以“定”解“動(dòng)”的精髓.

總結(jié)：碰到動(dòng)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的最值型問(wèn)題時(shí)，務(wù)必先找到動(dòng)直線恒過(guò)的某一定點(diǎn)，然后再尋找此定點(diǎn)與曲線上的某一點(diǎn)之間存在的定量關(guān)系，即“線動(dòng)有定長(zhǎng)”.結(jié)合幾何圖形進(jìn)行分析找到解決問(wèn)題的最優(yōu)策略.一般都是在某一特定的位置處取得最值，據(jù)此我們可以對(duì)最終的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證.

二、“動(dòng)”中找“定位”

例2設(shè)m∈R，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線l1：x+my=0和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線l2：mx-y-m+3=0交于點(diǎn)P（x，y），則|PA|·|PB|的最大值是.

解析拿到此題乍感覺其中的不定條件有三個(gè)之多，兩條動(dòng)直線l1，l2和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），在實(shí)際教學(xué)中，我的大多數(shù)學(xué)生常規(guī)的解題思路是求出定點(diǎn)A（0，0）和B（1，3）及Pm2-3mm2+1，3-mm2+1，利用兩點(diǎn)間的距離公式將|PA|·|PB|表示為關(guān)于m的代數(shù)式，最終從函數(shù)的角度求解最值.當(dāng)我讓他們操作執(zhí)行時(shí)卻沒有一名學(xué)生可以解答出來(lái)，可見在這種思路下不易解答，我說(shuō)他們“小題大做”了.我們無(wú)妨換個(gè)角度，既然有兩條動(dòng)直線l1，l2，從它們的位置關(guān)系找找看，不難發(fā)現(xiàn)l1與l2無(wú)論如何動(dòng)都是垂直的，即“線動(dòng)垂直定”，找到了這個(gè)定量位置關(guān)系那么問(wèn)題就明朗簡(jiǎn)單化了.于是有|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，到此大家基本都可以和所求問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行解答了，利用重要不等式可得|PA|·|PB|≤|PA|2+|PB|22=5（當(dāng)且僅當(dāng)|PA|=|PB|=5時(shí)，等號(hào)成立），問(wèn)題迎刃而解，|PA|·|PB|的最大值是5.在此題中找到l1與l2垂直這一“定位”關(guān)系尤為重要.

總結(jié)：在解決有關(guān)多條動(dòng)直線的問(wèn)題時(shí)，除過(guò)先要找到它們各自恒過(guò)的定點(diǎn)外，勿忘判斷它們的位置關(guān)系，或許“線動(dòng)位置定”，可以幫我們從中找出一條明路.

三、“動(dòng)”中找“定軌”

例3已知直平行六面體ABCD-A1B1C1D1的各條棱長(zhǎng)均為3，∠BAD=60°，長(zhǎng)為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在DD1上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)N在底面ABCD上運(yùn)動(dòng)，則MN的中點(diǎn)P的軌跡（曲面）與共頂點(diǎn)D的三個(gè)面所圍成的幾何體的體積為.

解析此類問(wèn)題學(xué)生碰到尤為頭疼，較平面解析幾何中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題更難，究其原因是學(xué)生無(wú)法想象動(dòng)點(diǎn)P的軌跡最終形成了一個(gè)什么樣的幾何體，而此題中又有三個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，N，P，在實(shí)際教學(xué)中學(xué)生是“望而生畏”.細(xì)審此題我們發(fā)現(xiàn)，題設(shè)中線段MN的長(zhǎng)為2是明顯的一定，再由直平行六面體得到△MDN是直角三角形為二定，這兩定限制線段DP的長(zhǎng)度為1，又一定！此定正是我們解題的關(guān)鍵突破口.這樣就可以得到點(diǎn)P的軌跡就是以D為球心、DP為半徑的球被直平行六面體ABCD-A1B1C1D1所截的六分之一（∠BAD=60°），所以所求幾何體的體積為16×43×π×13=2π9.

總結(jié)：動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題比較常見，大家不要被題設(shè)中的多個(gè)動(dòng)點(diǎn)所嚇倒，要以這些動(dòng)點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系為突破口進(jìn)行分析，將“多動(dòng)點(diǎn)”軌跡轉(zhuǎn)化為“單動(dòng)點(diǎn)”軌跡問(wèn)題進(jìn)行求解.

類似以上的多動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，而動(dòng)點(diǎn)一般都滿足一定的內(nèi)在規(guī)律，由已知條件推導(dǎo)出隱藏關(guān)系式，在“動(dòng)”中找“定”、將“多動(dòng)點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為“單動(dòng)點(diǎn)”是解題的一個(gè)基本思路，再利用數(shù)形結(jié)合思想會(huì)將復(fù)雜的題設(shè)情境變得簡(jiǎn)明直觀！我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)過(guò)程中，要注意培養(yǎng)學(xué)生解題時(shí)的觀察聯(lián)想能力和優(yōu)化比較意識(shí)，這是在解決問(wèn)題時(shí)快速選擇最恰當(dāng)方法的根本.