廣義指數(shù)分布族參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)Bayes檢驗(yàn)問題

黃金超

（滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，安徽 滁州 239000）

0 引言

指數(shù)分布族參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)Bayes檢驗(yàn)問題已有很多研究,如文獻(xiàn)[1-5]對其做了不同程度的統(tǒng)計(jì)推斷研究,并獲得一些重要有意義的結(jié)果。彭家龍等[6]研究了Cox模型參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)Bayes檢驗(yàn)，在適當(dāng)?shù)臈l件下，收斂速度的階可任意接近但絕大多數(shù)研究經(jīng)驗(yàn)Bayes檢驗(yàn)問題的文獻(xiàn)，都是利用密度函數(shù)的通常核估計(jì)來構(gòu)造核函數(shù)。本文將采用密度函數(shù)的遞歸核估計(jì)和EB檢驗(yàn)函數(shù)的單調(diào)性，重新構(gòu)造一類廣義指數(shù)分布族參數(shù)的檢驗(yàn)函數(shù)。在一定的條件下獲得了收斂速度的階可任意接近O(n-1)。改進(jìn)了文獻(xiàn)[6]的EB檢驗(yàn)相應(yīng)結(jié)果，推廣了現(xiàn)有文獻(xiàn)的相應(yīng)結(jié)果。

考慮如下廣義指數(shù)分布族[6]：設(shè)：

這里 q(x)和 Q(x)為連續(xù)q(x)=Q′(x)＞0， Q(x)＞0,且參數(shù)空間為

考慮分布族式（1）中參數(shù)θ的如下EB檢驗(yàn)問題

其中，θ0＞0為已知常數(shù)。

對檢驗(yàn)函數(shù)式（2）,設(shè)損失函數(shù)為“線性損失”。

設(shè)k＞0且為常數(shù),D={d0，d1}是行動空間,d0表示接受H0,d1表示否定H0,I[A]表示A的示性函數(shù)。

設(shè)G(θ)為θ未知先驗(yàn)分布，且：

式（4）為隨機(jī)化判別函數(shù),則δ(x)的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)為：

此處：

其中：

為r.v.X的邊緣分布,而：

由式（6）至式（8）得α(x)的另一表達(dá)式：

其中，f(1)(x)、q(1)(x)分別為f(x)、q(x)一階導(dǎo)數(shù)，u(x)

由Cauchy-Schwarz不等式和式（8）可得：

其中，φ(1)(x)為φ(x)一階導(dǎo)數(shù),由式（10）可知φ(x)是單調(diào)遞減且連續(xù)。

本文假定：

在假定式（11）成立下，先驗(yàn)分布G(θ)是非退化的,由介值定理可知，一定存在點(diǎn)aG∈(0，∞),使得φ(aG)=θ0。又由式（9）可知：

因此，由式（5）可知Bayes判決函數(shù)為：

其Bayes風(fēng)險(xiǎn)為：

在式（13）中,當(dāng)先驗(yàn)分布G(θ)已知,且δ(x)=δG(x)時(shí)，R(G)可以達(dá)到的,但此處G(θ)未知,因此δG(x)無使用價(jià)值,于是引入EB方法。

1 EB檢驗(yàn)函數(shù)的構(gòu)造

設(shè)X1，X2，…，Xn和X是iid樣本,令密度函數(shù)為f(x)如式（7）,iid樣本作如下假定:

假定Cs，α表示R1中一族密度函數(shù),其s階導(dǎo)數(shù)存在,的正整數(shù)。

令Kr(x)(r=0，1，…，s-1)是有界的Borel可測,在區(qū)間（0,1）之外為0,且滿足（B）：

(B2)Kr(x)在R1上是可微的，且

本文假定先驗(yàn)分布G(θ)非退化,且屬于下列先驗(yàn)分布類：

這里A1、A2為給定的常數(shù),0＜A1＜A2＜∞,通常取A1為充分小A2充分大。

記f(0)(x)=f(x),f(r)(x)為f(x)的第r階導(dǎo)數(shù)，r=0，1，…,s。定義f(r)(x)的遞歸核估計(jì)[7]為：

其中，hn↓0且hn＞0,Kr(x)是滿足條件(B)的核函數(shù),此估計(jì)具有一種遞歸性質(zhì),即：

定義α(x)的估計(jì)量：

由假設(shè)(C)，結(jié)合式（12），定義EB檢驗(yàn)函數(shù)為：

EB檢驗(yàn)的構(gòu)造方法由文獻(xiàn)[8]最先提出來的。

令En表示對 r.v.X1，X2，…，Xn的聯(lián)合分布求均值,則δn(x)的全面Bayes風(fēng)險(xiǎn)為：

假定c0，c1，c2，…表示與n無關(guān)的正常數(shù)：

引理 1：設(shè)fn(r)(x) 由式（14）定義,其中X1，X2，…,Xn為 iid樣本序列,假定條件（A）和（B）成立,hn↓0,當(dāng)時(shí),則有：

證明：由Cr不等式可知,對r=0,1有：

由式（14）和核函數(shù)的性質(zhì)可知：

由Taylor展開得：

將式（20）代入式（19）可得：

再由f(x)∈Cs，α， 及|Kr(t)| ≤C,X1，X2，…，Xn單調(diào)遞減可知：

由式（22）可得：

故有：

將式（24）和式（25）代入式（18），結(jié)論成立。

注1：當(dāng) 0＜λ≤1時(shí)可任意接近Rn-R(G)。

2 EB檢驗(yàn)函數(shù)的主要結(jié)果

定理1：設(shè)X1，X2，…，Xn為來自分布族（1）iid樣本序列。R(G)、Rn分別由式（13）和式（17）給出，且假設(shè)（A）—（C）成立,當(dāng)時(shí)，有：

這里s≥3的正整數(shù)。

證明：由式（13）和式（17）可知：

由式（9）和式（15），Cr不等式與引理1可知：

當(dāng)x∈(0，A1)時(shí),由式（12）和式（16）可知,δn(x)=0，δG(x)=0,x∈(A2，∞)時(shí),δn(x)=1，δG(x)=1。 故En(δn(x))-δG(x)=0,因此：

當(dāng)x∈(A1，aG)時(shí)，由式（12）和式（16）可知，δG(x)=0，,利用Markov不等式和式（27）有：

當(dāng)12＜λ＜1時(shí),且是 第 2 類 瑕 積 分, 瑕 點(diǎn) 為x=aG,由式（8）、式（10）和比較判別法則：

同理可證：

因此，將式（28）至式（31）代入式（26），得：

注2：文獻(xiàn)[6]在舍入數(shù)據(jù)下構(gòu)造的經(jīng)驗(yàn)Bayes檢驗(yàn),得到了收斂速度階為,其中 0＜λ＜1,s≥4,當(dāng)λ→1，s→∞時(shí),可任意接近。本文利用遞歸核估計(jì)和EB檢驗(yàn)的單調(diào)性，重新建立EB檢驗(yàn),得到收斂速度的階為。其中 0＜λ＜1,s≥3,當(dāng)λ→1，s→∞ 時(shí)可任意接近于O(n-1)。文獻(xiàn)[6]在舍入數(shù)據(jù)下的條件,構(gòu)造EB檢驗(yàn)比本文復(fù)雜；文獻(xiàn)[6]定理的條件要求s≥4比本文s≥3要強(qiáng),本文引理的證明比文獻(xiàn)[6]引理1要簡單些。由于本文利用EB檢驗(yàn)的單調(diào)性,在一定的條件下，獲得了收斂速度的階的結(jié)果比文獻(xiàn)[6]快了約1倍,改進(jìn)文獻(xiàn)[6]中的相應(yīng)結(jié)果。

3 例子

在式（1）中，設(shè)Q(x)=x2則r.v.X為Rayleigh分布，即f(x|θ)=2xθe-θx2I(x＞0)， 設(shè)θ的先驗(yàn)分布族為：

β和r為常數(shù)且β＞0，r＞0，有

由式（33）可知f(x)關(guān)于x任意階可導(dǎo)函數(shù)且有界,即f(x)∈Cs，α,條件（A）成立,在假定（B）成立,故驗(yàn)證（C）成立即可。

即假定（C）也成立,故定理1成立。