建模序列數(shù)乘變換下的DDGM(1,1)模型參數(shù)特性

馬紅燕，崔 杰,2，王 雨

（1.淮陰工學(xué)院 商學(xué)院，江蘇 淮安 223001；2.南京航空航天大學(xué) 灰色系統(tǒng)研究所，南京 210016）

0 引言

20世紀(jì)90年代初，中國(guó)學(xué)者鄧聚龍教授提出了灰色系統(tǒng)理論（簡(jiǎn)稱(chēng)灰理論）。該理論以“部分信息已知，部分信息未知”的“小樣本”“貧信息”不確定性系統(tǒng)為研究對(duì)象，通過(guò)對(duì)部分已知信息的生成、開(kāi)發(fā)，提取有價(jià)值的信息，從而對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)性質(zhì)、演化規(guī)律進(jìn)行正確描述與有效監(jiān)控[1-3]。目前，灰理論在農(nóng)業(yè)、工業(yè)、國(guó)防、科技、軍事、教育、醫(yī)療等眾多領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用空間，已為經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展發(fā)揮了重要推動(dòng)作用?，F(xiàn)有研究表明，在灰建模前對(duì)系統(tǒng)原始特征序列進(jìn)行數(shù)據(jù)變換，有利于簡(jiǎn)化建模過(guò)程[4-7]。目前，學(xué)術(shù)界部分學(xué)者對(duì)灰預(yù)測(cè)模型建模序列數(shù)乘變換前后的參數(shù)變化特征進(jìn)行了研究，并取得了豐碩成果[8-14]。研究結(jié)果顯示，對(duì)部分灰預(yù)測(cè)模型而言，在建模前對(duì)系統(tǒng)特征序列進(jìn)行線性變換，可降低其建模復(fù)雜性。

灰預(yù)測(cè)是灰理論的重要分支之一?；疑獹M(1,1)預(yù)測(cè)模型一直倍受學(xué)者們關(guān)注，同時(shí)亦是應(yīng)用最為廣泛的灰色模型之一。然而，該模型在實(shí)際應(yīng)用中卻時(shí)常出現(xiàn)預(yù)測(cè)精度不穩(wěn)定的問(wèn)題。目前眾多文獻(xiàn)對(duì)其進(jìn)行的深入研究結(jié)果顯示，該模型以差分方程建模為基礎(chǔ)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，而用來(lái)預(yù)測(cè)的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)卻是由相應(yīng)微分方程的解引申得到，從差分方程到微分方程的跨越缺乏科學(xué)依據(jù)和理論基礎(chǔ)。鑒于此，謝乃明等[15]提出了DGM(1,1)模型，解釋了GM(1,1)預(yù)測(cè)精度不穩(wěn)定的主要原因，并對(duì)DGM(1,1)模型的參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化研究。然而，DGM(1,1)模型依然是基于累加的方式尋找蘊(yùn)含在序列中的灰指數(shù)規(guī)律，以解釋系統(tǒng)未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)。而在已知建模序列為近似齊次指數(shù)序列前提下，對(duì)該序列進(jìn)行累加生成往往會(huì)破壞其原有規(guī)律，降低建模精度。因此，曾波等[16]在DGM(1,1)模型基礎(chǔ)上，提出了直接DGM(1,1)模型（簡(jiǎn)稱(chēng)DDGM(1,1)模型），并通過(guò)實(shí)例證明了該模型的有效性。由于DDGM(1,1)模型提出時(shí)間尚短，關(guān)于該模型參數(shù)特性的研究成果十分缺乏。研究其參數(shù)特性有利于進(jìn)一步拓展DDGM(1,1)模型的應(yīng)用范圍，簡(jiǎn)化該模型的建模過(guò)程，提高其建模效率。鑒于此，本文以DDGM(1,1)模型為研究對(duì)象，利用三級(jí)參數(shù)包技術(shù)分析了該模型建模參數(shù)在系統(tǒng)特征序列經(jīng)數(shù)乘變換前后的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而揭示了該模型精度在建模序列經(jīng)數(shù)乘變換前后的變化規(guī)律。

1 DDGM(1,1)模型的建模原理

定義1：設(shè)系統(tǒng)原始特征非負(fù)序列X(0)={x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n)}，則：

式（1）為直接DGM(1,1)模型，簡(jiǎn)稱(chēng)DDGM(1,1)模型[16]。

定理2：設(shè)B、Y、如定理 1所述，取則：

（1）稱(chēng) (β1，β2)為DDGM(1,1)模型的一級(jí)參數(shù)包，記作PI：

（2）稱(chēng) (β1，β2)的構(gòu)成成分為DDGM(1,1)模型的中間參數(shù)，其全體構(gòu)成該模型的二級(jí)參數(shù)包，記作PII。

（3）稱(chēng)DDGM(1,1)模型的二級(jí)參數(shù)包的構(gòu)成成分為基本參數(shù)，其全體構(gòu)成該模型的三級(jí)參數(shù)包，記作PIII。

命題1：DDGM(1,1)模型的一級(jí)參數(shù)包PI在最小二乘準(zhǔn)則下有如下矩陣算式：

其中：

命題2：令：

則有：

命題3：DDGM(1,1)模型的參數(shù)包有：

（1）一級(jí)參數(shù)包

（2）二級(jí)參數(shù)包

（3）三級(jí)參數(shù)包

2 DDGM(1,1)模型的參數(shù)特性

定義2：對(duì)于系統(tǒng)原始非負(fù)數(shù)據(jù)序列Xk，Yk=ρXk，k=1，2，…,n;(ρ為常數(shù)，且ρ＞0)稱(chēng)為數(shù)乘變換，其中ρ為數(shù)乘量。

設(shè)X(0)=(x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n))為系統(tǒng)原始非負(fù)特征數(shù)據(jù)序列，Y(0)=(y(0)(1)，y(0)(2)，…，y(0)(n))為其經(jīng)數(shù)乘變換后的序列。ρ為數(shù)乘量，且：

記 (β1，β2)為利用序列X(0)構(gòu)建的 DDGM(1,1)模型參數(shù)序列為X(0)經(jīng)數(shù)乘后的序列Y(0)構(gòu)建的DDGM(1,1)模型參數(shù)序列，其他參數(shù)的定義類(lèi)似。

定理3：二級(jí)參數(shù)包PII為：

則有:

證明：

得證。

定理 4：記 (β1，β2)為利用系統(tǒng)特征序列X(0)構(gòu)建的DDGM(1,1)模型中的參數(shù)序列，(βˉ1，βˉ2)為利用其數(shù)乘序列Y(0)構(gòu)建模型對(duì)應(yīng)的參數(shù)序列，則：

證明：

證明：

故：

定理6：記ε(k)與εˉ(k)分別為由序列X(0)與Y(0)構(gòu)建的DDGM(1,1)模型的相對(duì)誤差，即：

則有：

證明：

由定義2與定理5可得：

3 實(shí)例分析

設(shè)系統(tǒng)特征序列X(0)=(1.2，3.0，4.2，5.0，6.0，7.2)。由式（2）和式（3）可得：

由式（4）可得：

當(dāng)數(shù)乘量ρ=0.5時(shí)：

因此：

上述計(jì)算結(jié)果進(jìn)一步佐證了本文的結(jié)論。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文采用參數(shù)包技術(shù)對(duì)DDGM(1,1)模型建模序列經(jīng)過(guò)數(shù)乘變換前后模型建模參數(shù)的量化關(guān)系及其精度變化規(guī)律進(jìn)行了深入研究。結(jié)果表明，DDGM(1,1)模型的精度與其建模序列的數(shù)乘變換無(wú)關(guān)，該模型的建模精度不會(huì)因其建模序列受數(shù)乘變換作用而發(fā)生變化。因此，在DDGM(1,1)模型建模過(guò)程中，可對(duì)系統(tǒng)特征序列進(jìn)行數(shù)乘變換預(yù)處理，進(jìn)而在不改變模擬與預(yù)測(cè)精度的前提下簡(jiǎn)化其建模過(guò)程。