無時(shí)限序列通過LSI系統(tǒng)的間接z域分析方法*

陳紹榮，徐 舜，朱行濤，栗鐵樁

（陸軍工程大學(xué)通信士官學(xué)校，重慶 400035）

0 引 言

在國內(nèi)外《信號(hào)與系統(tǒng)》著作中[1-2]，均提到常數(shù)序列、符號(hào)序列、抽樣函數(shù)形式的序列、無時(shí)限復(fù)指數(shù)序列和周期序列的雙邊z變換不存在。這些序列通過LSI因果系統(tǒng)時(shí)，不能采用z域分析法求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。本文在著作的[3]基礎(chǔ)上，借助序列分解的概念，首先將這些序列分解成反因果序列和因果序列之和，再利用LSI因果穩(wěn)定系統(tǒng)響應(yīng)的可加性求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。

1 無時(shí)限復(fù)指數(shù)序列通過LSI因果系統(tǒng)的間接z域分析方法

1.1 LSI因果系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的復(fù)頻域表示式

設(shè)n階LSI因果系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)為：

式中，vi(i=1,2,…,n)為LSI因果系統(tǒng)的特征根。

設(shè)激勵(lì)f(k)=Avk=AewkT，其中A為常數(shù)，w為復(fù)變量，且滿足主導(dǎo)條件 |v|＞|vi|max(i=1,2,…,n)。

無時(shí)限復(fù)指數(shù)序列f(k)=Avk可寫成：

式中，ε(k)為單位階躍序列。

考慮到式（2），LSI因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可以表示為：

由于：

因此，對(duì)式（3）兩邊取雙邊ZT，并結(jié)合式（4）和式（5），LSI因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的z域表示式為：

式（6）是間接利用z域分析法求解無時(shí)限復(fù)指數(shù)序列通過LSI因果系統(tǒng)時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)的依據(jù)。

1.2 無時(shí)限復(fù)指數(shù)序列通過LSI因果系統(tǒng)的間接z域分析方法舉例

例1：設(shè)描述二階LSI因果系統(tǒng)響應(yīng)y(k)與激勵(lì)f(k)關(guān)系的差分方程為：

解：對(duì)差分方程式（7）兩邊取雙邊ZT，可得：

由式（8）可得二階LSI因果系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)：

由式（9）可得二階LSI因果系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，即：

對(duì)式（11）兩邊取IZT，可得：

即：

由式（13）可知，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)分別為：

2 周期序列通過LSI因果穩(wěn)定系統(tǒng)的間接z域分析方法

2.1 LSI因果穩(wěn)定系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的z域表示式

設(shè)n階LSI因果穩(wěn)定系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)為：

式中，vi(i=1,2,…,n)為LSI因果穩(wěn)定系統(tǒng)的特征根，且 |vi|max＜1(i=1,2,…,n)。

設(shè)f0(k)是時(shí)限于區(qū)間k∈[0,N-1]的時(shí)限序列，即滿足：

式中：

顯然，時(shí)限序列f0(k)的雙邊ZT的收斂域?yàn)橛邢奕珃平面，即：

又設(shè)：

對(duì)式（20）兩邊取雙邊ZT，并結(jié)合式（19），有：

式（23）又可以表示為：

對(duì)式（21）兩邊取雙邊ZT，并結(jié)合式（19），有：

考慮到式（22），LSI因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)可以表示為：

對(duì)式（26）兩邊取雙邊ZT，結(jié)合式（24）和式（25），LSI因果穩(wěn)定系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的z域表示式為：

式（27）是間接利用z域分析法求解周期序列通過LSI因果穩(wěn)定系統(tǒng)時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)的依據(jù)。

2.2 周期序列通過LSI因果穩(wěn)定系統(tǒng)的間接z域分析方法舉例

例2：設(shè)描述一階LSI因果穩(wěn)定系統(tǒng)響應(yīng)y(k)與激勵(lì)f(k)關(guān)系的差分方程為：

解：對(duì)差分方程式（28）兩邊取雙邊ZT，可得：

由式（29）可得一階LSI因果穩(wěn)定系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)，即：

考慮到：

則有：

考慮到式（30）和式（32），由式（27）可得：

由于：

因此，對(duì)式（33）兩邊取IZT，結(jié)合式（34）、式（35）、式（36）及式（37），可得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：

3 結(jié) 語

本文借助序列分解的概念，將無時(shí)限復(fù)指數(shù)序列或周期序列分解為反因果序列和因果序列之和，利用LSI因果穩(wěn)定系統(tǒng)響應(yīng)的可加性，給出了一種求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的間接z域分析方法。