數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學解題中的應(yīng)用教育

吳載高

【摘 要】高中數(shù)學對于學生的邏輯思維培養(yǎng)有著重要作用，數(shù)形結(jié)合的思想理念就是高中生應(yīng)當具備的基本思想之一。數(shù)形結(jié)合思想有著簡潔、直觀、形象等特點，“數(shù)”具有精確性，“形”具有直觀性，利用數(shù)形結(jié)合的方法，將復雜的圖形問題轉(zhuǎn)化為簡潔的數(shù)字問題，將抽象的數(shù)字問題轉(zhuǎn)化為直觀的圖像問題，數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，就是把問題由抽象變?yōu)榫唧w，由復雜變得簡單。本文將通過對數(shù)形結(jié)合思想進行概述，通過具體的例子來應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想進行解題，最后對數(shù)形結(jié)合思想進行總結(jié)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合思想;高中數(shù)學;解題;應(yīng)用

【中圖分類號】G633.6?????? 【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）06-0034-01

數(shù)學思想的培養(yǎng)，能夠幫助學生掌握數(shù)學知識和認識規(guī)律，是快速解決數(shù)學問題的有效途徑。在高中階段，我們所應(yīng)用的數(shù)學思想包括：數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想、分類思想和化歸等思想。數(shù)形結(jié)合思想不僅是一種解決問題的重要策略，同時也是一種數(shù)學邏輯概念。數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學基礎(chǔ)知識的精髓之一，始終貫穿著整個高中的數(shù)學學習。

一、數(shù)形結(jié)合方法的含義

數(shù)形結(jié)合就是在數(shù)學教學中運用代數(shù)的客觀嚴密和圖形的生動形象結(jié)合。通過圖形幫助理解，運用代數(shù)論證和處理問題的一種數(shù)學思想，數(shù)形結(jié)合分為兩個部分，一是以圖型幫助理解代數(shù)運算，二是通過代數(shù)運算推導圖形。根據(jù)具體條件和導出結(jié)論的緊密關(guān)系可以從代數(shù)和圖形兩個方面互相推導，通過兩者間的靈活轉(zhuǎn)化可以輕松幫助我們解題。

數(shù)與形之間的有效轉(zhuǎn)化方式主要有三種類型：第一類是由形轉(zhuǎn)化為數(shù)，第二類是由數(shù)轉(zhuǎn)化為形，第三類是數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化。

第一類由形轉(zhuǎn)化為數(shù)，主要是復雜的圖形通過仔細觀察，將圖形中所要表達的隱含關(guān)系用數(shù)字及其數(shù)量關(guān)系進行表達，從而進行解題的一類方法;第二類由數(shù)轉(zhuǎn)化為形，主要是根據(jù)題意要求，將數(shù)量以及其對，應(yīng)關(guān)系能夠用圖畫進行表達，并對數(shù)和式之間的本質(zhì)關(guān)系進行揭示;第三類數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，就需要將數(shù)與形的對立統(tǒng)一關(guān)系充分了解，對圖形進行直觀分析，對數(shù)進行邏輯思考，從而將二者有效轉(zhuǎn)化，把復雜問題簡單化，最終能夠解決復雜問題。

二、數(shù)形結(jié)合思想在高中教學中的實際應(yīng)用

1.數(shù)形結(jié)合思想在導數(shù)中的應(yīng)用。

每年高考最后一道數(shù)學大題非導數(shù)莫屬。本文以求極值和區(qū)間問題為例展示數(shù)形結(jié)合思想在導數(shù)問題中的應(yīng)用。例如題假設(shè)導數(shù)函數(shù)f（x）在無窮大區(qū)間之內(nèi)是連續(xù)的，并且這個導函數(shù)的圖形如圖所示，這時，f（x）就有極大值或者極小值。在這個題目中，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想得出以下分析結(jié)果，本題要求學生求出極大值和極小值，結(jié)合題中圖像，把f'（x）等于0的點左右兩側(cè)的正負判斷把導函數(shù)符號確定好，就可以將給定的點的極大值極小值確定。

2.數(shù)形結(jié)合思想在概率中的有效應(yīng)用。

在高中數(shù)學概率教學中，學生想要掌握概率這部分知識，就需要牢牢把握事物之間的關(guān)系，但是兩個事件之間的關(guān)系抽象的、復雜的，學生對其理解掌握是比較困難的，將數(shù)形結(jié)合的思想引入概率課堂，將事件之間的關(guān)系應(yīng)用圖形的方式進行表述，這樣就很容易掌握，并且不易混淆。

例如學生在理解互斥事件和對立事件時就會有一些疑惑，那么此時就可以利用數(shù)形結(jié)合思想進行理解。

假設(shè)全集為天氣情況，那么事件A=天晴;事件B=下雨，顯然A發(fā)生B就不可能發(fā)生，因此它們是互斥的。但它們不是對立的，因為除了天晴和下雨之外，還有其它可能的天氣，比如下雪、冰雹等等，因此“天晴”和“下雨”假設(shè)全集為天氣情況，那么事件A=天晴;事件B=下雨，顯然A發(fā)生B就不可能發(fā)生，因此它們是互斥的。但它們不是對立的，因為除了天晴和下雨之外，還有其它可能的天氣，比如下雪、冰雹等等，因此“天晴”和“下雨”的并集不包含所有可能的情況（整個樣本空間），因此它們不是對立事件。并集不包含所有可能的情況（整個樣本空間），因此它們不是對立事件。此時就可以通過畫圖，首先畫一個大圓里面分別畫兩個小圓，這樣直接形象的表達會使學生記憶深刻。

對立事件，即兩個不能同時發(fā)生，但是不是a就是b。比如，袋子里只有紅白兩個球。那么，“第一次拿到白球”為A事件和“第一次拿到紅球”為B事件，兩者就是對立事件。不能同時發(fā)生，但不是白球就是紅球。此時可以畫一個方形，將其分為兩半，一半為A，另一半為B，此時就可以充分理解對立事件了。通過二者圖形的對比就能夠牢牢把握互斥事件和對立事件的區(qū)別了。

3.數(shù)形結(jié)合思想在集合中的有效應(yīng)用。

（1）數(shù)形結(jié)合思想在結(jié)合相互關(guān)系問題解決中的應(yīng)用。

在集合中，我們通常會用一個圓圈來代表集合，如果是相交關(guān)系，那么圓與圓之間相交，兩個集合公共的部分就是兩個圓之間相重疊的部分。如果兩個集合是相離關(guān)系，那么兩個圓也就沒有交叉的部分，二者之間是沒有公共元素。

（2）數(shù)形結(jié)合思想在集合運算中的應(yīng)用。

結(jié)合運算主要是通過畫數(shù)軸的方式來解決的。如一個集合A大于3，小于7，集合B大于5，則二者相交的集合為？在解決這類型問題時，首先畫一個數(shù)軸，在數(shù)軸上將二者畫出來，然后看圖回答就會十分簡單。

總之，數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學教學和學習中起著基礎(chǔ)性作用，牢牢掌握這一思想，將對學生的解題思路、尋找最佳解題思路和方法起著關(guān)鍵性作用。通過應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想進行解題，能夠讓學生高效地掌握數(shù)學知識，并形成一類型問題的解決方法，形成正確的解題觀。在面對抽象問題時，能夠?qū)⑵浜唵位椭庇^化，幫助學生記憶和理解，提高學生的數(shù)學思維以及認知能力，從而提高學生的數(shù)學思維，進而提高學生成績。

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