“用教材”

施俊進(jìn)

[摘? 要] “學(xué)材再建構(gòu)”體現(xiàn)的教材觀是“用教材”. “用教材”突顯“教為學(xué)服務(wù)”，在繼承中創(chuàng)新，所以必須充分發(fā)揮教師的主體創(chuàng)造性，即根據(jù)學(xué)情，設(shè)計(jì)的教學(xué)內(nèi)容與教材必須有一定幅度的調(diào)整.

[關(guān)鍵詞] “用教材”;學(xué)生資源;教學(xué)調(diào)整;消枝強(qiáng)干

“學(xué)材再建構(gòu)”體現(xiàn)的教材觀是“用教材”. “用教材”突顯“教為學(xué)服務(wù)”，在繼承中創(chuàng)新，所以必須充分發(fā)揮教師的主體創(chuàng)造性，即根據(jù)學(xué)情，設(shè)計(jì)的教學(xué)內(nèi)容與教材必須有一定幅度的調(diào)整. 2019年2月28日，在《海門市初中“課堂革命”現(xiàn)場推進(jìn)會(huì)暨83次校長俱樂部》活動(dòng)中，筆者執(zhí)教了“二元一次方程組（第1課時(shí)）”（人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊）一課. 現(xiàn)將課堂教學(xué)生成簡錄、反思建議，特別是依據(jù)學(xué)情和教學(xué)目標(biāo)重組教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行的“學(xué)材再建構(gòu)”思考，整理成文，與各位同行交流.

課堂教學(xué)目標(biāo)

1. 經(jīng)歷分析實(shí)際問題中數(shù)量關(guān)系的過程，初步體會(huì)二元一次方程（組）是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中含有兩個(gè)未知數(shù)的問題的數(shù)學(xué)模型，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)二元一次方程（組）的積極主動(dòng)性.

2. 了解二元一次方程的意義、二元一次方程的解的意義和性質(zhì).

3. 通過對必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件的具體問題的研究，建構(gòu)二元一次方程、二元一次方程組的解的概念，滲透解二元一次方程組“消元”的思想與方法.

教學(xué)過程實(shí)錄（簡）

1. 環(huán)節(jié)一：師生互動(dòng)，揭示本質(zhì)

問題用30 cm長的細(xì)繩子打結(jié)后繃成一個(gè)長方形（打結(jié)所用的繩子長度不計(jì)）.

師提問：（1）長方形的形狀和大小能否確定（師演示變化著的長方形）？這樣的長方形有多少個(gè)？

（2）在這樣的變化過程中，有沒有不變的量或不變的關(guān)系？

【強(qiáng)調(diào)：繃成的各個(gè)長方形的長和寬不全相同，但周長不變，即“長+寬=15 cm”是不變的.】

（3）雖然“長+寬=15 cm”不變，但是“長”隨著“寬”的變化而變化（或者說“寬”隨著“長”的變化而變化），因此“長”和“寬”的值有多少對？

（4）當(dāng)每給定“長”的值時(shí)，“寬”的值能否確定？有幾個(gè)值？

（5）當(dāng)長分解為14 cm、12.5 cm、9 cm……寬的值能否確定？分別是多少？

【強(qiáng)調(diào)：由此可以看出，滿足“長+寬=15 cm”的長方形的“長”和“寬”的值不確定，有無數(shù)對. 但一旦給定“長”的值，“寬”的值隨之唯一確定，兩者是互相制約的.】

意圖通過師生對話，在“變化”中找“不變”，滲透函數(shù)概念的三要素：“在一個(gè)變化的過程中”“兩個(gè)變量”和“單值對應(yīng)”，為后面有效實(shí)施函數(shù)概念的教學(xué)打下必要的基礎(chǔ)，同時(shí)為揭示二元一次方程的解的相關(guān)性和不定性做鋪墊.

師：為了深入研究的方便，我們設(shè)長方形的長為x cm，寬為y cm，于是可以得到怎樣的方程？

師追問：（1）這是什么方程？（眾生：二元一次方程）

（2）你是根據(jù)學(xué)什么知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)來命名和定義的？為什么把方程x+y=15叫二元一次方程？什么樣的方程叫二元一次方程？

意圖引導(dǎo)學(xué)生分析新方程x+y=15的特點(diǎn)（并與一元一次方程作對比），揭示二元一次方程的本質(zhì)：整式方程，含有2個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1. （方式：生答師板書. 顯然，這樣的描述是不嚴(yán)密的，有待后面由學(xué)生自主調(diào)整）

師：二元一次方程與一元一次方程相比，只是多了一個(gè)未知數(shù). 實(shí)際上，整式方程都是這樣命名和定義的. 根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)，對于二元一次方程，我們還要研究它的什么內(nèi)容？

意圖引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)遷移，自主歸納二元一次方程的解的意義：能使二元一次方程左、右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫二元一次方程的解.

師：如何求二元一次方程x+y=15的解？

【方式：在學(xué)生獨(dú)立嘗試的基礎(chǔ)上，要求學(xué)生在小組里按下列要求進(jìn)行交流：（1）說清楚你是怎么求的;（2）組長安排一位組員記錄，另一位組員準(zhǔn)備全班匯報(bào). （比一比哪個(gè)小組的思路最清晰，表達(dá)最清楚）】

組1：我們先給x取一個(gè)數(shù)值，然后計(jì)算出y的值，就得到了二元一次方程的解，結(jié)果發(fā)現(xiàn)二元一次方程的解有無數(shù)個(gè).

組2：我們把方程x+y=15先化為y=15-x，然后發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=14時(shí)，y=1;當(dāng)x=12.5時(shí)，y=2.5;當(dāng)x=9時(shí)，y=6……

師：兩個(gè)小組的解法實(shí)際上都是把關(guān)于x，y的二元一次方程看作是關(guān)于y的一元一次方程. 即把x看作已知數(shù)，先給定一個(gè)x的值，再求相應(yīng)的y的值，這一對x，y的值就是方程的一個(gè)解. 另外，由于x，y的值是相互制約的，所以記作x=14，

y=1;? x=12.5，

y=2.5;? x=9，

y=6 …

此處的省略號(hào)表示該二元一次方程有無數(shù)組解.

意圖通過與一元一次方程作比較，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)遷移，自覺地給新方程命名和定義（事實(shí)上，學(xué)生都能由學(xué)習(xí)一元一次方程的經(jīng)驗(yàn)，自覺命名新方程為“二元一次方程”）. 另外，通過自我比較和互相比較繃成的長方形的形狀，學(xué)生發(fā)現(xiàn)長與寬的和雖相同，但長與寬的值不全相同，有無數(shù)對滿足條件的長與寬的值. 這樣，學(xué)生既能自主地體會(huì)二元一次方程的意義，又能感悟二元一次方程的解的意義和性質(zhì)，從而自主建構(gòu)新知（二元一次方程）.

2. 環(huán)節(jié)二：設(shè)問激疑，自主建構(gòu)

思考1若要使繃成的長方形的長比寬多3 cm，此時(shí)的長x和寬y又必須滿足什么條件？（生答：x-y=3）

師追問：（1）這是個(gè)二元一次方程嗎？為什么？

（2）說說這個(gè)方程的解是什么.

（生答，師板書：x=7，

y=4;x=9，

y=6;x=12，

y=9…）

思考2這兩個(gè)二元一次方程中的未知數(shù)x和y分別表示相同的量，也就是說，未知數(shù)x和y必須同時(shí)滿足這兩個(gè)二元一次方程. 我們把這兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組，寫成x+y=15，

x-y=3.

課堂練習(xí)下列方程組中，哪些是二元一次方程組？

（1）3x-4z=0，

x+y=7;（2）xy-y=5，

x+y=10;

（3）x=5，

2x+y=40.

生1：（1）不是二元一次方程組，因?yàn)樗腥齻€(gè)未知數(shù)，應(yīng)該叫三元一次方程組.

師：非常正確！這位同學(xué)的知識(shí)遷移能力很強(qiáng)，由二元一次方程組聯(lián)想到了三元一次方程組.

生2：（2）也不是二元一次方程組，因?yàn)榉匠蘹y-y=5中的xy這一項(xiàng)的次數(shù)是2，所以方程xy-y=5應(yīng)該叫二元二次方程.

師：這位同學(xué)的知識(shí)遷移能力也很強(qiáng). 但是根據(jù)前面歸納二元一次方程的定義中“未知數(shù)的次數(shù)都是1”的要求，xy-y=5應(yīng)該還是叫二元一次方程.

【生思考】

師提問：問題出在哪里？定義應(yīng)該怎么改？

生3：將“未知數(shù)的次數(shù)都是1”改為“含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1”.

……

師：大家對方程組（3）有爭議，但其實(shí)它是二元一次方程組. 那么什么是二元一次方程組？請大家用自己的語言來敘述.

師生共同小結(jié)：如果兩個(gè)一次方程合起來共有兩個(gè)未知數(shù)，那么它們就組成一個(gè)二元一次方程組. 如x=12，

y=9也是一個(gè)二元一次方程組.

師：你能猜想二元一次方程組x+y=15，

x-y=3 的解是什么嗎？為什么這么猜想？

練習(xí)下面三組數(shù)值中，哪一組是二元一次方程組2x-3y=-8，

x+2y=3 的解？

A. x=2

y=4 ? B. x=1

y=1 C. x=-1

y=2

師追問：你是怎么判斷的？什么叫二元一次方程組的解？

師生共同小結(jié)：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解叫這個(gè)二元一次方程組的解.

師：求二元一次方程組的解時(shí)，先分別求出各個(gè)方程的解，再找到公共解，這種方法叫列舉法. 這種方法顯然比較煩瑣，那能否找到簡捷而可靠的方法呢？

思考3以解方程組x+y=15①，

x-y=3② 為例，探究解二元一次方程組的簡便方法.

【在學(xué)生獨(dú)立探究的基礎(chǔ)上，小組交流，最后全班交流】

生4：由①+②可以得到一元一次方程2x=18，求得x的值后代入上述任意一個(gè)方程，便可求得y的值.

生5：由①得x=15-y，把它代入②可以得到一元一次方程15-y-y=3，從而求得y的值. 之后代入x=15-y便可求得x的值.

師追問：這樣做的依據(jù)是什么？

師：生1的方法是“加減消元法”，兩方程相加的依據(jù)是“等式性質(zhì)”;生2的方法是“代入消元法”，依據(jù)是“等量代換”. 兩種方法的解題思想是一致的，即消元，轉(zhuǎn)化為一元一次方程來求解.

意圖將文章開頭所提的長方形問題適當(dāng)延伸，通過一系列激疑的設(shè)問、追問，讓學(xué)生在有序的思考中感受，在感受的基礎(chǔ)上進(jìn)行理性的概括和提升. 這樣不僅建構(gòu)了相關(guān)概念和基本思想方法（二元一次方程組的意義、解的意義、解法思路和途徑），而且激發(fā)了學(xué)生的深度思維和參與活力.

3. 環(huán)節(jié)三：共同回顧，總結(jié)提升

引導(dǎo)學(xué)生圍繞問題思考與交流：（1）如何理解二元一次方程組的解的意義？（2）如何求二元一次方程（組）的解？（3）通過學(xué)習(xí)，積累了哪些重要的學(xué)習(xí)方法或經(jīng)驗(yàn)？

師生共同總結(jié)，完善板書如圖1.

意圖引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)、技能、方法、思想、情感等多方面進(jìn)行自主反思與內(nèi)化（不是“灌”給學(xué)生的，而是自然“長”成的），從整體上架起結(jié)構(gòu)，形成“結(jié)構(gòu)性板書”. 這種包含了知識(shí)研究的邏輯體系（或者研究知識(shí)的基本套路）和思想方法的“結(jié)構(gòu)性板書”，突出了知識(shí)的生成過程和包含關(guān)系，學(xué)生看了便一目了然，有利于整體把握相關(guān)知識(shí)和方法，力求實(shí)現(xiàn)“智慧不是別的，而是一種組織得很好的知識(shí)結(jié)構(gòu)（俄·教育家烏申斯基）”.

4. 環(huán)節(jié)四：課外鞏固，分層提高略.

教學(xué)反思

1. “用教材”——“學(xué)材再建構(gòu)”的教材觀

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容與教材相比，有了大幅度的調(diào)整，這顯然不是“教教材”（“教教材”往往只是繼承，教師被動(dòng)地教，學(xué)生也被動(dòng)地學(xué)，學(xué)為教服務(wù)）. 教材分二元一次方程、二元一次方程組兩節(jié)進(jìn)行教學(xué)，目的是分解教學(xué)難點(diǎn)（“實(shí)際問題—數(shù)學(xué)問題”的建模過程和二元一次方程組的解的意義）. 實(shí)際上，學(xué)生在學(xué)習(xí)“一元一次方程”時(shí)，就已經(jīng)感受過“實(shí)際問題—數(shù)學(xué)問題”的建模過程，學(xué)習(xí)“求代數(shù)式的值”時(shí)，就已經(jīng)在具體的探索過程中感受過變化的數(shù)量及其關(guān)系，初步感悟了函數(shù)思想，因此，將二元一次方程和二元一次方程組的有關(guān)內(nèi)容有機(jī)融合在一起時(shí)，學(xué)生在知識(shí)和方法上都有一定的基礎(chǔ). 學(xué)生在學(xué)習(xí)了一元一次方程的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)二元一次方程（組），就必須完成“一元”向“二元”的發(fā)展和“二元”向“一元”的轉(zhuǎn)化，這是教學(xué)的難點(diǎn)，也是重點(diǎn). 具體地說，一元一次方程的解是唯一的，而且是一個(gè)未知數(shù)的值，而二元一次方程的解不唯一，且每個(gè)解都是互相制約的一對未知數(shù)的值. 為此，給學(xué)生繃一個(gè)周長（即長與寬的和）為定值的長方形，讓學(xué)生在自我比較和互相比較繃成的長方形的形狀中，發(fā)現(xiàn)長與寬的和雖相同，但長與寬的值不全相同，有無數(shù)對滿足條件的長與寬的值. 這樣，學(xué)生既能自主地體會(huì)二元一次方程的意義，又能感悟到二元一次方程的解的意義和性質(zhì)，從而自主建構(gòu)新知——二元一次方程. 在此基礎(chǔ)上，將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，分析求方程x+y=15的解的過程是將原方程變形為y=15-x（或x=15-y），把x（或y）看作已知數(shù)，先給定一個(gè)值，代入變形后的方程求出y（或x），實(shí)質(zhì)上是將關(guān)于“x，y”的二元一次方程，轉(zhuǎn)化成關(guān)于“y”（或“x”）的一元一次方程來解決. 弄清楚二元一次方程的意義和解，以及解的特性和解法后，再將長方形問題延伸至構(gòu)建二元一次方程組的模型，引導(dǎo)學(xué)生探究其意義、解的意義和解法思路與途徑，便是“水到渠成”了.

另外，“用教材”也體現(xiàn)在用好“學(xué)生資源”這種“教材”（準(zhǔn)確地說應(yīng)該是學(xué)生學(xué)習(xí)的“學(xué)材”）. 如為突破二元一次方程組的解這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，教學(xué)中，可引導(dǎo)學(xué)生先猜想二元一次方程組x+y=15，

x-y=3 的解是什么. 當(dāng)學(xué)生有困難時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生觀察已經(jīng)得到的兩個(gè)方程的各個(gè)解，同時(shí)追問學(xué)生怎么猜想. 接著，讓學(xué)生練習(xí)（找二元一次方程組的解），再次追問“你是怎么判斷的”“什么叫二元一次方程組的解”，然后師生共同小結(jié)二元一次方程組的解的意義. 最后，讓學(xué)生感受到用列舉法求二元一次方程組的解的煩瑣，自然而然地激發(fā)學(xué)生自主探究簡捷而可靠的二元一次方程組的解法（學(xué)生自身潛在的豐富的認(rèn)知力、情感力）.

2. “用教材”——“學(xué)材再建構(gòu)”依據(jù)學(xué)情對“學(xué)材”進(jìn)行“消枝強(qiáng)干”

對“學(xué)材”進(jìn)行“消枝強(qiáng)干”，即對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行增刪、強(qiáng)化或弱化處理等. “消枝”，即刪除或減弱影響教學(xué)重點(diǎn)落實(shí)的“枝葉”（非重點(diǎn)內(nèi)容）. 如二元一次方程及其解的意義不是本節(jié)課的重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容，在得出二元一次方程及其解的意義后，沒有常規(guī)的練習(xí)鞏固和過多的糾纏，從而減弱其對教學(xué)重點(diǎn)的影響. “強(qiáng)干”，即增強(qiáng)教學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容的“主干”. 為了強(qiáng)化教學(xué)重點(diǎn)“二元一次方程組的解的意義、消元的思想方法”這一過程性目標(biāo)的落實(shí)，應(yīng)舍得花時(shí)間. 首先，應(yīng)充分給予學(xué)生獨(dú)立思考、觀察和嘗試的時(shí)間與空間;其次，引導(dǎo)學(xué)生在小組內(nèi)按要求自覺地進(jìn)行探究，或通過系列化激疑的設(shè)問、追問，讓學(xué)生在有序的思考中感受，在感受的基礎(chǔ)上進(jìn)行理性的概括和提升. 這樣不僅能自然而然地自主建構(gòu)相關(guān)概念、基本思想方法，而且能激發(fā)學(xué)生的深度思維和參與活力.

3. “用教材”——“學(xué)材再建構(gòu)”必須從三個(gè)“順應(yīng)”入手

（1）必須順應(yīng)學(xué)生原有的認(rèn)知基礎(chǔ)

學(xué)習(xí)二元一次方程（組），必須要知道學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生在具體情境中自主建構(gòu)二元一次方程（組）及其解的意義等;根據(jù)學(xué)生解一元一次方程的經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生自主探索求二元一次方程（組）的思想方法和理論依據(jù).

（2）必須順應(yīng)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)

根據(jù)學(xué)生已有的發(fā)展水平，引導(dǎo)學(xué)生利用知識(shí)和方法的遷移，自主猜想二元一次方程（組）及其解的意義，解二元一次方程組的基本思路是通過“消元”變形轉(zhuǎn)化為“x=a，

y=b ”的形式，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生自主探究，以舊引新，盡可能地達(dá)到潛在的發(fā)展水平（沒有外部傳遞和灌輸）.

（3）必須順應(yīng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)參與熱情，激活思維

如“長方形的形狀和大小能否確定？這樣的長方形有多少個(gè)？在這樣的變化過程中，有沒有不變的量或關(guān)系”“你能猜想二元一次方程組x+y=15，

x-y=3的解是什么嗎？為什么這么猜想”等. 當(dāng)學(xué)生對學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣時(shí)，自然會(huì)主動(dòng)地想去學(xué)，從而逐漸學(xué)會(huì)，乃至?xí)W(xué);當(dāng)學(xué)生會(huì)學(xué)時(shí)，自然會(huì)興趣盎然，學(xué)習(xí)興趣和積極性會(huì)進(jìn)一步得到激發(fā). 當(dāng)然，如果通過努力，問題始終得不到解決，那興趣就不能保持，自主發(fā)展也就沒有了空間.

“用教材”和“教教材”的根本問題是教學(xué)理念的沖突，即如何處理繼承和創(chuàng)造的關(guān)系. “學(xué)材再建構(gòu)”要求教師創(chuàng)造性地用好“教材”，引導(dǎo)學(xué)生自主接納新認(rèn)知，并融入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在生生之間、師生之間深度交流，以激發(fā)火花，啟迪思維，形成共識(shí)，產(chǎn)生創(chuàng)新成果. 顯然，“學(xué)材再建構(gòu)”必須與學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和自學(xué)能力同步，與學(xué)生的知識(shí)體系、認(rèn)知結(jié)構(gòu)相匹配，與學(xué)生思維能力和思維品質(zhì)的提升相呼應(yīng)，與學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和價(jià)值認(rèn)同相吻合等.