兩種Sobolev空間之間的嵌入范數(shù)

胡增周，王 薇，許貴橋

（1.河北省城鄉(xiāng)建設(shè)學校，石家莊 050031；2.天津師范大學 數(shù)學科學學院，天津 300387）

1 引言與預(yù)備知識

求函數(shù)空間上數(shù)值問題的滿足一定精度的解所必須搜集的最小信息量，是信息復(fù)雜度理論研究的核心問題，其中易處理性問題是目前的研究熱點[1-5].當前研究最多的是基于單變量第二類Sobolev空間與第一類Sobolev空間的多元問題的易處理性，而不同函數(shù)空間之間的嵌入范數(shù)是研究多元問題易處理性的主要工具[6-10].設(shè)

且f是局部絕對連續(xù)的.在W21（[0，1]）上引入第一類Sobolev空間H1，其相應(yīng)的范數(shù)為

同時，在W21（[0，1]）上引入第二類Sobolev空間H2，其相應(yīng)的范數(shù)為

H2稱為以c∈[0，1]為錨的Sobolev空間，其中c稱為錨.顯然，H1與H2之間是互相嵌入的，文獻[8]對于錨取端點（即c=0）的H1與H2的嵌入范數(shù)做了研究，得到了嵌入范數(shù)的準確值，而在許多研究如文獻[9，11-13]中，c的值都是任意的，本文對任意c∈[0，1]，得到了嵌入范數(shù)的準確值.

2 主要結(jié)論

首先引入2種空間之間嵌入的定義.記

下面引入算子范數(shù)的定義.設(shè)F、G為2個線性賦范空間，若算子I：F→G為一個線性有界算子，則線性算子I的范數(shù)為

定理設(shè)I1、I2定義如式（1）和式（2），則

其中∈[0，1].

證明先計算‖I1‖H1→H2.記F=W21（[0,1]）.由定義知

對f（x）做余弦展開得

由此可得

由式（3）和式（4）得

因此有

由式（3）和式（6）以及Cauchy-Schwarz不等式可得

另外，令

則ak滿足且有

將f（x）=（x-1）2在（0，1）上展開成余弦級數(shù)，有

令x=2c，則有

將式（10）代入式（9）得

由式（7）、式（8）和式（11）可得

對固定的a0，記其為a，則有

因此

令

對g（a）關(guān)于a求導(dǎo)，可得g（a）當a=時取得最大值，且其最大值為

下面計算

其中c∈[0，1].如果則f′（x）幾乎處處為0，即f（x）=a，a為常數(shù)，則顯然有

對式（14）兩邊同時積分得

由Fubini積分交換定理得

由Cauchy-Schwarz不等式可得

由式（16）和式（17）可得

此外，令

則f（x）同時滿足由此結(jié)合式（18）可得

由式（19）得

注：當c=0時，由式（13）得

文獻[8]給出了上面的等式成立，但沒有給出具體的證明，本文證明了文獻[8]的結(jié)論，并對任意c∈[0，1]給出了該嵌入范數(shù)的具體值.