耦合封閉聲腔的主導聲輻射模態(tài)確定方法*

蘇常偉，朱海潮，毛榮富

(1. 海軍工程大學 船舶振動噪聲重點實驗室， 湖北 武漢 430033；2. 中國人民解放軍92578部隊， 北京 100161)

研究結構振動向封閉聲腔中輻射噪聲這一課題具有實際意義，例如船舶艙室及飛機座艙內噪聲分析和控制。國內外學者針對此類腔體結構聲輻射問題開展了大量的研究[1-5]，其中Snyder等[5]通過對封閉聲腔聲勢能解耦，首次提出了耦合封閉聲腔的聲輻射模態(tài)(Acoustic Radiation Mode, ARM)概念并初步探討了利用其進行有源結構聲控制(Active Structural Acoustic Control, ASAC)的可能性。耦合封閉聲腔的聲輻射模態(tài)消除了利用結構模態(tài)表示封閉聲腔聲勢能時復雜的耦合項，而且在中、低頻時通常只有一階或幾階模態(tài)對封閉聲腔聲勢能的貢獻起主要作用，這使得分析和控制此類聲輻射問題更為簡單，成為近年來結構聲學領域的研究熱點[6-8]。

在實際設計基于聲輻射模態(tài)的耦合封閉聲腔ASAC系統(tǒng)時，如果能夠精準確定對聲勢能有主要貢獻的聲輻射模態(tài)，那么在選取控制目標時就具有非常明確的針對性，這直接影響控制效果，而且能夠有效減少控制通道數(shù)。然而，文獻[5-8]中僅依據(jù)輻射效率選擇前一階或前幾階聲輻射模態(tài)進行控制，自由空間ASAC中的相關研究[9-10]也大都強調輻射效率的作用而忽視模態(tài)幅度的影響，這顯然是不全面的。李雙等[11]、和衛(wèi)平等[12]指出利用聲輻射模態(tài)和結構模態(tài)之間的內在聯(lián)系，可以有效確定主導聲輻射模態(tài)，但該方法需要用到結構模態(tài)信息，而實際中要準確獲得輻射體的結構模態(tài)信息并不容易，因此這一方法在應用上存在不便之處。截至目前，還沒有一種準確的、便于工程應用的確定方法。

本文在前期研究中，將封閉聲腔聲勢能直接表示為結構振動表面法向速度的二次型形式，重新定義了耦合封閉聲腔的聲輻射模態(tài)概念[13]。在此基礎上，本文進一步給出了耦合封閉聲腔中主導聲輻射模態(tài)的定義；然后全面考慮輻射效率和模態(tài)幅度的作用，提出了一種基于“初選—預留—后驗”的主導聲輻射模態(tài)確定方法；最后通過實驗研究驗證了上述方法的有效性和可行性。

1 耦合封閉聲腔的主導聲輻射模態(tài)

文獻[13]定義的耦合封閉聲腔的聲輻射模態(tài)是結構振動表面法向速度的一組可能分布形式。因此，結構振動表面法向速度向量v可由這組模態(tài)線性疊加表示，即

(1)

式中：D為聲輻射模態(tài)矩陣，滿足正交性(即DTD=E)，其列向量di(i=1,2,…,M)即為重新定義的耦合封閉聲腔的聲輻射模態(tài)；y為聲輻射模態(tài)(速度)幅度向量，其元素yi(i=1,2,…,M)對應第i階聲輻射模態(tài)幅度；M為結構振動表面的離散單元數(shù)目。

封閉聲腔聲勢能Ep也可進一步寫成

(2)

式中，A為對角矩陣，其對角線元素λi(i=1,2,…,M)為誤差加權矩陣Ω的特征值，均為正實數(shù)，與第i階模態(tài)的輻射效率成正比，稱之為第i階模態(tài)對應的輻射效率系數(shù)。由式(2)可得，耦合封閉聲腔的聲輻射模態(tài)能夠實現(xiàn)聲勢能解耦。因此，只要減小任意一階聲輻射模態(tài)幅度，就能保證總的封閉聲腔聲勢能降低。

將在某一頻率下或某一頻段內對封閉聲腔聲勢能起主要作用的一階或幾階聲輻射模態(tài)定義為耦合封閉聲腔的主導聲輻射模態(tài)(Dominant Acoustic Radiation Mode, DARM)。在中、低頻時，一般只需抵消主導聲輻射模態(tài)貢獻的聲勢能，就能獲得較為理想的有源控制效果。

2 主導聲輻射模態(tài)確定方法

在實際設計ASAC系統(tǒng)時，首要環(huán)節(jié)就是要準確認定主導聲輻射模態(tài)，從而正確選取控制目標，以保證控制效果。由式(2)可得，各階聲輻射模態(tài)單獨貢獻的聲勢能Epi為

Epi=λi|yi|2，i=1,2,…,M

(3)

可見，各階聲輻射模態(tài)單獨貢獻的聲勢能為該階模態(tài)幅度幅值的平方與輻射效率系數(shù)的乘積。已有的主導聲輻射模態(tài)確定方法大都強調輻射效率的作用而忽視模態(tài)幅度的影響，這顯然是不全面的。

為直觀說明，以一尺寸為Lx×Ly×Lz=0.65 m×0.50 m×0.45 m、頂面為四邊固支的彈性鋼板(尺寸為Lx×Ly=0.65 m×0.50 m，板厚h=0.002 6 m)、其余5個面均為剛性壁面的矩形聲腔為例進行仿真分析。腔內介質為空氣，設彈性板左下角為坐標原點，將彈性鋼板表面均勻離散為15×15個小面積元。假設彈性板受到集中點力激勵，激勵頻率為150 Hz，激勵位置為(0.152 m, 0.117 m)。圖1～3分別給出了該激勵下此耦合板-腔模型各階聲輻射模態(tài)的輻射效率系數(shù)、模態(tài)幅度的幅值及其單獨貢獻的聲勢能隨階數(shù)變化情況(為便于觀察，這里只顯示前20階)。分析圖1～3可知：如果某階聲輻射模態(tài)的模態(tài)幅度很小，即使該階模態(tài)的輻射效率很高，其輻射聲勢能還是很小，即該階模態(tài)不能作為主導聲輻射模態(tài)，比如第1階模態(tài)；反之亦然，比如第12階模態(tài)。

圖1 前20階聲輻射模態(tài)對應的輻射效率系數(shù)Fig.1 Radiation efficiency coefficients of the first twenty ARMs

圖2 前20階聲輻射模態(tài)幅度幅值Fig.2 Magnitudes of modal amplitude of the first twenty ARMs

圖3 前20階聲輻射模態(tài)單獨貢獻的聲勢能Fig.3 Acoustic potential energy of the first twenty ARMs

基于此，本文全面考慮了輻射效率和模態(tài)幅度兩個因素，提出了一種基于“初選—預留—后驗”的主導聲輻射模態(tài)確定方法，具體如下：

1)計算輻射效率，初選可能的主導聲輻射模態(tài)。單頻分析時，計算各階模態(tài)對應的輻射效率系數(shù)，初步選擇輻射效率系數(shù)不小于最大值1%的聲輻射模態(tài)作為可能的主導聲輻射模態(tài)[6]；寬頻分析時，繪制各階輻射效率系數(shù)-頻率曲線，將在分析頻段內出現(xiàn)峰值的最高模態(tài)階數(shù)作為主導聲輻射模態(tài)的初選階數(shù)，記為js。

2)考慮模態(tài)幅度作用，放大初選階數(shù)以預留余量。設預留余量后的主導聲輻射模態(tài)階數(shù)為JS，則JS=μ×js。其中，μ為放大因子，一般取整，根據(jù)經(jīng)驗賦初值。

3)傳感前JS階聲輻射模態(tài)幅度，直接對比聲勢能后驗初選結果。具體可分成以下兩個步驟：

①在結構振動表面布置傳感器陣列測量振速數(shù)據(jù)，傳感前JS階模態(tài)幅度。在結構表面均勻離散的前提下，可類比自由空間聲輻射模態(tài)[14]，將不同自由度下的聲輻射模態(tài)向量均轉換為標準聲輻射模態(tài)(聲輻射模態(tài)函數(shù)的離散形式)，以保證振型的一致性。因此，可以利用低自由度下的標準聲輻射模態(tài)設計前JS階模態(tài)幅度傳感策略，即

(4)

(5)

②將利用式(4)～(5)獲得的前JS階模態(tài)幅度代入式(3)，計算前JS階模態(tài)單獨貢獻的聲勢能Epi(i=1,2,…,JS)，直接觀察Epi隨階數(shù)收斂情況，最終確定主導聲輻射模態(tài)。

上述確定方法的流程圖如圖4所示。不難發(fā)現(xiàn)，該方法綜合運用計算和測試手段，本質上是通過直接對比前JS階聲輻射模態(tài)單獨貢獻的聲勢能確定主導聲輻射模態(tài)，一方面保證了主導聲輻射模態(tài)的精準認定，另一方面通過“初選”環(huán)節(jié)進行了模態(tài)階數(shù)截斷，較大程度地減小了工作量，而且整個過程中不需要用到輻射體的結構模態(tài)信息，便于工程實現(xiàn)。

圖4 主導聲輻射模態(tài)確定流程Fig.4 Determination process of DARM

值得一提的是，利用該方法確定主導聲輻射模態(tài)后，不僅能夠指導ASAC中控制目標選取，還可以用于實現(xiàn)封閉聲腔聲勢能重構，即

(6)

3 實驗研究

為驗證主導聲輻射模態(tài)確定方法的有效性及可行性，按照第2節(jié)中尺寸設計、制作固支彈性板-矩形腔耦合模型，開展實驗研究。采用HEV-50型激振器向彈性板施加帶寬為30～300 Hz的白噪聲激勵，激勵位置為(0.155 m, 0.05 m)。將彈性板表面均勻離散為13×11個小面積元，圖5給出了該激勵頻段內前6階聲輻射模態(tài)的輻射效率系數(shù)隨頻率變化曲線。

圖5 前6階模態(tài)的輻射效率系數(shù)隨頻率變化曲線Fig.5 Radiation efficiency coefficients of the first six ARMs as a function of frequency

首先，根據(jù)圖4中流程逐步確定該激勵下的主導聲輻射模態(tài)，具體為：觀察圖5中給出的輻射效率系數(shù)-頻率曲線可得，初選前2階模態(tài)作為可能的主導聲輻射模態(tài)，即js=2；為充分考慮模態(tài)幅度的作用，將初選階數(shù)放大3倍以預留余量，即令μ=3，則JS=6；根據(jù)式(4)～(5)給出的模態(tài)幅度傳感策略，假設將彈性板表面均勻離散為4×3個小面積元，利用均布在面元中心的12個加速度傳感器測量彈性板表面法向速度，傳感此耦合板-腔的前6階聲輻射模態(tài)幅度，然后代入式(3)計算得到前6階模態(tài)單獨貢獻的聲勢能。前6階聲輻射模態(tài)幅度的幅值及單獨貢獻的聲勢能分別如圖6和圖7所示。觀察圖7中各階聲勢能-頻率曲線可得：在不同頻率下，不同階次的聲輻射模態(tài)對總的封閉聲腔聲勢能起主導作用，比如第1階聲輻射模態(tài)在30～100 Hz時對聲勢能起主要貢獻；從整個分析頻段來看，對封閉聲腔聲勢能起主要貢獻的是第1～3階聲輻射模態(tài)，第4～6階模態(tài)的貢獻量則相對較小。因此，可最終確定該激勵下此耦合板-腔模型的主導聲輻射模態(tài)為第1～3階聲輻射模態(tài)。后續(xù)控制中，若能有效抵消第1～3階主導聲輻射模態(tài)貢獻的聲勢能，就可以獲得較為理想的寬頻(30～300 Hz)控制效果。

(a) 第1階(a) The first order (b) 第2階(b) The second order

(c) 第3階(c) The third order (d) 第4階(d) The fourth order

(e) 第5階(e) The fifth order (f) 第6階(f) The sixth order圖6 前6階聲輻射模態(tài)幅度的幅值隨頻率變化曲線Fig.6 Magnitudes of modal amplitude of the first six ARMs as a function of frequency

(a) 第1階(a) The first order (b) 第2階(b) The second order

(c) 第3階(c) The third order (d) 第4階(d) The fourth order

(e) 第5階(e) The fifth order (f) 第6階(f) The sixth order圖7 前6階聲輻射模態(tài)的聲勢能隨頻率變化曲線Fig.7 Acoustic potential energy of the first six ARMs as a function of frequency

利用4個布置在矩形腔底部四個角落的MPA416型參考傳聲器估算封閉聲腔聲勢能[15]，記為測量值。同時，將第1～3階主導聲輻射模態(tài)代入式(6)重構封閉聲腔聲勢能，記為重構值。將兩者對比，以驗證上述確定結果的正確性，結果如圖8所示。可見，分別經(jīng)重構和測量得到的聲勢能曲線除在波谷處由于信噪比低略有差別外，總體吻合良好，尤其在波峰處兩者基本重合。這就證明了上述確定結果的正確性，從而表明本文提出的主導聲輻射模態(tài)確定方法是有效且可行的。

最后，分析圖5～7中第3階聲輻射模態(tài)的輻射效率系數(shù)、模態(tài)幅度的幅值及其單獨貢獻的聲勢能隨頻率變化曲線，可以發(fā)現(xiàn)：在162～186 Hz頻段內，雖然該階模態(tài)的輻射效率相比第1、2階模態(tài)低，但其模態(tài)幅度的幅值較大，因而此時該階模態(tài)單獨輻射的聲勢能在總聲勢能中的占比明顯大于第1、2階模態(tài)，成為該頻段內的主導聲輻射模態(tài)。這就再次說明了在確定主導聲輻射模態(tài)時綜合考慮輻射效率和模態(tài)幅度兩個因素的必要性，這也正是本文所提方法的意義所在。

圖8 聲勢能對比Fig.8 Comparison of acoustic potential energy

4 結論

在前期研究的基礎上，定義了耦合封閉聲腔的主導聲輻射模態(tài)，提出了一種基于“初選—預留—后驗”的主導聲輻射模態(tài)確定方法，并以固支板-腔耦合模型為例開展了實驗研究，驗證了上述方法的有效性和可行性，得到結論如下：①提出的主導聲輻射模態(tài)確定方法綜合運用計算和測試手段、全面考慮輻射效率和模態(tài)幅度兩個因素，能夠精準認定主導聲輻射模態(tài)；②該方法通過“初選”環(huán)節(jié)較大程度地減小了工作量，且整個過程中不需要用到輻射體的結構模態(tài)信息，便于工程實現(xiàn)；③該方法可用于指導ASAC中控制目標選取或重構封閉聲腔聲勢能，而且“初選—預留—后驗”的主導聲輻射模態(tài)確定思路在自由空間中同樣適用。