反電動(dòng)勢對(duì)無擾載荷航天器精確定向的影響*

孔憲仁，武 晨，李海勤，楊震國

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 衛(wèi)星技術(shù)研究所， 黑龍江 哈爾濱 150080)

超高精度是未來航天器必須具備的性能之一，而高頻微振動(dòng)將對(duì)航天器精度性能提出巨大挑戰(zhàn)。文獻(xiàn)[1]敘述了當(dāng)前解決高頻微振動(dòng)問題的主要方法，但所述方法均存在各自的局限性，鑒于此，Pedreiro[2]提出了一種稱為無擾載荷(Disturbance Free Payload，DFP)的新型航天器結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)將載荷模塊(Payload Module，PM)與支持模塊(Support Module，SM)通過DFP接口連接，既可實(shí)現(xiàn)PM的六自由度控制又可無機(jī)械接觸連接PM與SM，理論上可完全消除振源部件對(duì)有效載荷的影響。實(shí)際應(yīng)用中，PM與SM之間存在的連接纜線和非接觸式作動(dòng)器的反電動(dòng)勢均會(huì)引起耦合，影響PM的性能。

文獻(xiàn)[3-4]通過建立DFP結(jié)構(gòu)形式的下一代空間望遠(yuǎn)鏡[5]的二維實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ驼f明了反電動(dòng)勢是PM與SM之間的主要耦合源，而連接纜線對(duì)PM的影響較小。Pedreiro等[6]還將DFP結(jié)構(gòu)應(yīng)用于敏捷航天器中，將反電動(dòng)勢考慮為主要耦合源，并分析了連接纜線粗細(xì)對(duì)PM的影響。Trankle等[7]建立了DFP航天器的仿真模型，考慮反電動(dòng)勢和DFP接口剛度，設(shè)計(jì)了DFP航天器的控制系統(tǒng)。Xu等[8]采用牛頓歐拉方法推導(dǎo)了DFP航天器的接口動(dòng)力學(xué)模型，并采用H∞魯棒控制方法設(shè)計(jì)了姿態(tài)控制系統(tǒng)。龐巖等[9]考慮DFP航天器中的柔性連接纜線，建立了其動(dòng)力學(xué)模型，并由此分析對(duì)PM性能的影響。Regehr[10]分析了纜線引起的振動(dòng)從SM到PM的傳遞特性?？讘椚实萚11]建立了PM與SM之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型，分析了PM與SM之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。Wu等[12]考慮非接觸式作動(dòng)器反電動(dòng)勢和連接纜線剛度，建立了DFP航天器的耦合動(dòng)力學(xué)模型，分析了耦合特性。上述研究結(jié)果表明，只要改變連接纜線的剛度避開振源的頻率范圍，即可消除對(duì)PM的影響，而非接觸式作動(dòng)器反電動(dòng)勢是必須考慮的耦合源。

本文針對(duì)具有六支桿立方體構(gòu)型接口的DFP航天器，考慮非接觸式作動(dòng)器反電動(dòng)勢，結(jié)合拉格朗日方程和牛頓歐拉方法給出PM與SM之間的耦合動(dòng)力學(xué)模型，將SM上飛輪動(dòng)靜不平衡引起的諧振考慮為干擾力矩，分析了非接觸式作動(dòng)器反電動(dòng)勢對(duì)PM精確定向的影響。

1 DFP航天器概述

圖1所示為DFP航天器結(jié)構(gòu)。DFP接口主要包括非接觸式作動(dòng)器、PM平臺(tái)和SM平臺(tái)，PM與SM分別安裝于PM平臺(tái)和SM平臺(tái)上。典型的DFP接口有六桿和八桿構(gòu)型[13]，針對(duì)圖2所示六支桿立方體構(gòu)型[14]DFP接口展開研究。Li(i=1,2,3,4,5,6)表示接口中的6個(gè)支桿，支桿一端與SM平臺(tái)連接于點(diǎn)s12，s34和s56，另一端與PM平臺(tái)連接于點(diǎn)p61，p23和p45，非接觸式作動(dòng)器安裝于支桿上，如圖3所示。

圖1 DFP航天器結(jié)構(gòu)Fig.1 Configuration of DFP spacecraft

圖2 DFP接口構(gòu)型Fig.2 Architecture of DFP-interface

圖3 非接觸式作動(dòng)器結(jié)構(gòu)Fig.3 Configuration of the non-contact actuator

2 DFP接口動(dòng)力學(xué)模型

針對(duì)六支桿立方體構(gòu)型DFP接口，其動(dòng)力學(xué)建模方法有多種：牛頓歐拉方法[15]、拉格朗日方法[16]、凱恩方法[17-19]、廣義動(dòng)量法[20]、虛功原理[21]和旋轉(zhuǎn)理論[22]。同時(shí)考慮PM平臺(tái)與SM平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)，采用文獻(xiàn)[23]中所述方法建立DFP接口動(dòng)力學(xué)模型。建立DFP接口動(dòng)力學(xué)模型之前，需明確以下坐標(biāo)系：慣性坐標(biāo)系、PM平臺(tái)坐標(biāo)系和SM平臺(tái)坐標(biāo)系，分別對(duì)應(yīng)圖4中的O-XYZ，P-XPYPZP和S-XSYSZS。

圖4 位置矢量Fig.4 Position vectors

2.1 單支桿運(yùn)動(dòng)學(xué)

由圖4可知，pi和si在慣性系下的位置矢量為：

(1)

則pi和si的速度和加速度可分別表示為：

(2)

(3)

(4)

(5)

對(duì)式(4)點(diǎn)乘ni可得支桿滑動(dòng)速度的標(biāo)量：

(6)

式(6)用矩陣表示為：

(7)

(8)

由式(6)可得支桿滑動(dòng)速度為：

(9)

對(duì)式(4)叉乘ni可得支桿轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為：

(10)

設(shè)上下支桿質(zhì)心位置矢量分別為rui和rli。

(11)

其中：lli為si指向下支桿質(zhì)心的矢量；lui為上支桿質(zhì)心指向pi的矢量。上支桿質(zhì)心速度為：

(12)

2.2 支桿連接點(diǎn)約束力

設(shè)rpi為廣義速度，則支桿i的動(dòng)能為：

(13)

式中，mui和Iui分別為上支桿的質(zhì)量和慣量。

(14)

其中，E表示單位矩陣。

拉格朗日方程可表示為：

(15)

式中，Qi表示廣義力。

將式(13)代入式(15)，設(shè)：

(16)

(17)

Qi包括在點(diǎn)pi處的約束力fsi和非接觸式作動(dòng)器輸出力fi。由于非接觸式作動(dòng)器只提供沿桿方向的作用力，即fi=nifi，則fsi可表示為：

fsi=Qi-nifi

(18)

將式(17)代入式(18)可得：

(19)

2.3 PM平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型

PM質(zhì)心一般不與PM平臺(tái)質(zhì)心重合，其為：

r=rP+rco

(20)

式中，rco為PM平臺(tái)質(zhì)心到PM質(zhì)心的位置矢量在慣性系下的表示。

式(20)的二階導(dǎo)數(shù)為：

(21)

考慮6支桿作用，PM的牛頓歐拉方程為：

(22)

式中，fext和Text為額外力與額外力矩，m和I分別為PM的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 將式(19)～(21)代入式(22)可得PM平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型：

(23)

F=[f1f2f3f4f5f6]T

3 耦合動(dòng)力學(xué)模型

3.1 非接觸式作動(dòng)器作用力模型

非接觸式作動(dòng)器為音圈電機(jī)，其輸出力為：

fi=keiit

(24)

式中，kei為音圈電機(jī)的電磁力常數(shù)，it為線圈中的電流。

由基爾霍夫電壓定律可得：

(25)

式中，u為電壓，L為電感，R為電阻，kbi為反電動(dòng)勢，vi為線圈相對(duì)于鐵磁體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度。

將式(24)和式(25)進(jìn)行拉氏變換可得：

(26)

式中，s表示拉普拉斯算子，F(xiàn)ci(s)和Fmi(s)分別為控制力和反電動(dòng)勢力的拉氏變換。

由于L一般較小，F(xiàn)mi(s)可簡化為：

(27)

將式(27)代入式(26)并進(jìn)行拉氏反變換可得：

fi=fci+fmi

(28)

其中，fci為控制力，fmi為反電動(dòng)勢力，kmi為反電動(dòng)勢系數(shù)。

(29)

由于非接觸式作動(dòng)器的線圈和鐵磁體分別與點(diǎn)si和pi剛性連接，fmi又可表示為：

(30)

則整個(gè)DFP接口非接觸式作動(dòng)器輸出力為：

(31)

F=[f1f2f3f4f5f6]T

Fc=[fc1fc2fc3fc4fc5fc6]T

Km=diag(km1km2km3km4km5km6)

3.2 耦合動(dòng)力學(xué)方程

將式(31)代入式(23)，不考慮額外力，可得PM平臺(tái)與SM平臺(tái)之間的耦合動(dòng)力學(xué)模型：

(32)

4 PM精確定向性能

通過數(shù)值仿真分析非接觸式作動(dòng)器的反電動(dòng)勢對(duì)PM的性能影響。DFP航天器結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1 所示。

表1 DFP航天器結(jié)構(gòu)參數(shù)

SM上飛輪三正交安裝，則動(dòng)靜不平衡引起的振動(dòng)干擾力矩?cái)?shù)學(xué)模型如式(33)[24]所示。式中：Ck表示飛輪動(dòng)靜不平衡系數(shù)；ωx，ωy和ωz表示三個(gè)飛輪的轉(zhuǎn)速；K表示諧波數(shù)；hk表示第k個(gè)諧波頻率與飛輪轉(zhuǎn)速之比；TIDx，TIDy和TIDz表示飛輪產(chǎn)生的振動(dòng)干擾力矩，模型參數(shù)如表2所示。

(33)

4.1 飛輪動(dòng)靜不平衡干擾力矩

在定向過程中，飛輪轉(zhuǎn)速會(huì)一直增大直到飛輪飽和，之后通過卸載，轉(zhuǎn)速減小。根據(jù)式(33)可知，在該過程中，動(dòng)靜不平衡引起的干擾力矩也先逐漸增大后逐漸減小。整個(gè)過程動(dòng)靜不平衡引起的干擾力矩如圖5所示。

圖5 干擾力矩Fig.5 Disturbance torque

4.2 SM姿態(tài)

SM姿態(tài)動(dòng)力學(xué)為：

(34)

其中：[φS,θS,ψS]T=ζS為姿態(tài)角；ω0為軌道角速度；[TSx,TSy,TSz]T=TS為所受力矩，hx、hy和hz分別為對(duì)應(yīng)方向上飛輪的角動(dòng)量。

采用比例微分控制設(shè)計(jì)SM的姿態(tài)控制律。

(35)

圖6所示為在DFP航天器定向狀態(tài)下SM的姿態(tài)角。由圖可知，飛輪動(dòng)靜不平衡引起的干擾力矩與飛輪轉(zhuǎn)速成正比例關(guān)系，飛輪轉(zhuǎn)速越大，干擾力矩越大，對(duì)SM的指向精度影響越大。

圖6 SM姿態(tài)角Fig.6 Attitude angular of SM

4.3 PM姿態(tài)

根據(jù)PM平臺(tái)與SM平臺(tái)的耦合動(dòng)力學(xué)，由SM的姿態(tài)角可計(jì)算獲得PM的姿態(tài)角。反電動(dòng)勢系數(shù)分別為1 N·s·m-1，5 N·s·m-1，15 N·s·m-1時(shí)PM的姿態(tài)角如圖7～9所示。

圖7 反電動(dòng)勢系數(shù)為1 N·s·m-1時(shí)PM的姿態(tài)角Fig.7 Attitude angular of PM with the back-EMF coefficient 1 N·s·m-1

圖8 反電動(dòng)勢系數(shù)為5 N·s·m-1時(shí)PM的姿態(tài)角Fig.8 Attitude angular of PM with the back-EMF coefficient 5 N·s·m-1

圖9 反電動(dòng)勢系數(shù)為15 N·s·m-1時(shí)PM的姿態(tài)角Fig.9 Attitude angular of PM with the back-EMF coefficient 15 N·s·m-1

由圖7～9可知，反電動(dòng)勢系數(shù)越大，PM的定向精度越差，這說明非接觸式作動(dòng)器反電動(dòng)勢對(duì)PM的影響隨反電動(dòng)勢系數(shù)的增大而增大。此外，對(duì)于六支桿立方體構(gòu)型的DFP接口，反電動(dòng)勢對(duì)偏航角ψP的影響不明顯，而對(duì)滾轉(zhuǎn)角φP和俯仰角θP的影響較為明顯。

5 結(jié)論

本文針對(duì)DFP航天器，考慮六支桿立方體構(gòu)型DFP接口，結(jié)合拉格朗日方程和牛頓歐拉方法建立了PM平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型。給出了非接觸式作動(dòng)器輸出力模型，并將其引入PM平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型，給出了考慮非接觸式作動(dòng)器反電動(dòng)勢的耦合動(dòng)力學(xué)模型。將飛輪動(dòng)靜不平衡引起的諧振作為干擾力矩，建立了DFP航天器在軌定向狀態(tài)的Simulink仿真模型，給出了定向狀態(tài)下飛輪動(dòng)靜不平衡引起的干擾力矩以及SM的姿態(tài)角，并分析了反電動(dòng)勢系數(shù)分別為1 N·s·m-1，5 N·s·m-1和15 N·s·m-1時(shí)PM的定向精度。仿真結(jié)果表明，反電動(dòng)勢系數(shù)越大，干擾力矩對(duì)PM的影響越大，PM精確定向精度越低，對(duì)DFP航天器實(shí)際應(yīng)用中非接觸式作動(dòng)器選型具有理論指導(dǎo)意義。此外，耦合動(dòng)力學(xué)模型可考慮用于PM精確定向控制器的設(shè)計(jì)。