矩形斷面二維淺埋硐室頂部雙層圍巖塌落面上限分析

曾中林，李亮，劉雙墉，左學(xué)賢

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矩形斷面二維淺埋硐室頂部雙層圍巖塌落面上限分析

曾中林，李亮，劉雙墉，左學(xué)賢

(中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410075)

基于極限分析上限定理和Hoek-Brown破壞準則，構(gòu)建了淺埋矩形硐室雙層圍巖塌落破壞機制，并根據(jù)虛功原理獲得了一個圍巖塌落形態(tài)方程的泛函。利用變分法得到極限狀態(tài)下圍巖塌落破壞曲線函數(shù)，并根據(jù)邊界條件得到待定系數(shù)，進而得到圍巖塌落破壞曲線的解析式。當雙層圍巖退化為單層圍巖時，與已有研究成果完全一致，可以證明本文分析模型的正確性。在此基礎(chǔ)上，分析了各參數(shù)對淺埋隧道雙層圍巖塌落破壞形狀的影響規(guī)律，可為淺埋硐室頂部雙層圍巖潛在塌落范圍的預(yù)測提供理論依據(jù)。

塌落穩(wěn)定性；雙層圍巖；淺埋硐室；Hoek-Brown破壞準則；極限變分分析

近年來，隨著中國城市化進程的加速，城市建設(shè)用地越來越緊張。為了解決這一問題，地下空間的開發(fā)與利用得到廣泛重視，越來越多的淺埋地下建筑也出現(xiàn)在市政建設(shè)中。由于這些淺埋地下結(jié)構(gòu)上部覆蓋的巖土層較薄，在開挖過程中易出現(xiàn)由支護措施不當導(dǎo)致的地表塌陷，因而淺埋洞室的穩(wěn)定性問題得到相關(guān)領(lǐng)域研究人員的極大關(guān)注。張成平等[1?2]結(jié)合理論分析和模型試驗方法，通過對淺埋暗挖隧道施工引起的地表塌陷進行深入分析，揭示了地表塌陷的發(fā)生機理，并結(jié)合地層條件和施工情況得出誘發(fā)地表塌陷的原因。在現(xiàn)有多數(shù)關(guān)于隧道穩(wěn)定性研究中，大都采用適用于土體抗剪強度的Mohr-Coulomb屈服準則，但對于內(nèi)部存在很多節(jié)理和結(jié)構(gòu)面的巖體，Mohr-Coulomb準則很難準確地描述其破壞特征。鑒于Hoek-Brown屈服準則能夠反映巖石強度、結(jié)構(gòu)面組數(shù)、所處應(yīng)力狀態(tài)對巖體強度的影響[3?4]，因此在巖土構(gòu)筑物穩(wěn)定性分析中得到廣泛運用[5?6]。在隧道或硐室圍巖塌落穩(wěn)定性分析方面：Fraldi等[7?8]基于Hoek-Brown破壞準則推導(dǎo)出二維深埋隧道的塌落形狀表達式，并進行隧道漸進式塌落破壞的理論研究；HUANG等[9?10]根據(jù)巖體Hoek-Brown破壞準則，分析孔隙水壓力，分別討論淺埋圓形硐室支護前后的塌落機制。QIN等[11?12]考慮巖層發(fā)生風化等參數(shù)弱化情況，進一步探討深埋隧道進一步塌落機制。延續(xù)Fraldi等[7?8]的研究成果，近年來，對有深、淺埋硐室圍巖塌落穩(wěn)定性研究仍有拓展研究[13?16]。然而，上述研究都是針對均質(zhì)單一巖層的硐室圍巖開展，而實際工程中由于地質(zhì)沉積或差異風化等原因，巖體分層的情況非常常見。特別是對于淺埋隧道而言，巖體分層對其塌落穩(wěn)定性影響更為強烈，因此，有必要對于分層圍巖中淺埋硐室穩(wěn)定性進行進一步深入研究。本文主要針對具有雙層不同巖體屬性的淺埋洞室開展穩(wěn)定性研究，研究對象是對于已有硐室塌落穩(wěn)定性研究的延伸和擴展。在考慮淺埋硐室頂部圍巖分層的情況下，構(gòu)建一種淺埋硐室頂部圍巖的二維破壞機制；根據(jù)極限分析上限定理中內(nèi)能耗散功率和外力功率計算，得到包含上下圍巖二維破壞面方程的目標函數(shù)；并利用變分法推導(dǎo)出淺埋硐室頂部雙層圍巖塌落體曲面方程的上限解，以期為分層圍巖中淺埋硐室頂部圍巖潛在塌方范圍的預(yù)測提供理論依據(jù)。

1 Hoek-Brown非線性破壞準則

Hoek-Brown破壞準則能夠有效全面、具體地描述巖體的非線性破壞特性，能夠更好地闡述巖體的破壞規(guī)律，Hoek-Brown破壞準則可以用最大主應(yīng)力和最小主應(yīng)力表示為[15]：

式中：1為最大有效主應(yīng)力；3為最小有效主應(yīng)力；ci為巖體單軸抗壓強度；m，和是無量綱參數(shù)。

另一方面，Hoek-Brown破壞準則也可由法向應(yīng)力和切向應(yīng)力表達[16]：

式中：n為有效主應(yīng)力；為切向應(yīng)力；和均為材料參數(shù)；ci為巖體的單軸抗壓強度；tm為巖體抗拉強度。

2 雙層圍巖塌落破壞上限分析

2.1 雙層圍巖塌落破壞機制

對二維淺埋硐室穩(wěn)定性的研究，均基于同種圍巖，而在實際工程中，淺埋硐室的圍巖不僅僅只是某種單一巖層，很可能出現(xiàn)幾種不同強度圍巖的情況?？紤]到二維淺埋矩形硐室頂部存在雙層圍巖，構(gòu)建淺埋硐室頂部雙層圍巖的塌落破壞機制，如圖1所示。矩形硐室頂部上下2層巖體塌落破壞速度間斷曲線分別為1()和2()，構(gòu)成了上窄下寬的倒漏斗形塌落面。1()從巖層分界面延伸到地表，2()從1()與分界面的交點出發(fā)延伸到硐室頂部。上層塌落體的上下半寬分別為1和2，下層塌落體的上下半寬分別為2和3，上下2層巖體的厚度分別為1和2。顯然，2條曲線在分界面處(即2處)具有連續(xù)性。因為存在著2層圍巖，所以需要2對相應(yīng)的強度參數(shù)來區(qū)分巖體的不同性質(zhì)。

2.2 雙層巖體圍巖塌落上限分析

將巖體破壞分離曲面看作具有一定厚度的薄變形層，薄變形層上剪應(yīng)力與正應(yīng)力n滿足Hoek-Brown破壞準則，根據(jù)式(3)，屈服函數(shù)可表示為

在主應(yīng)力空間內(nèi)，令塑形勢函數(shù)面與強度屈服面重合，根據(jù)相關(guān)流動法則，可得塑形勢函數(shù)為：

根據(jù)塑形位勢理論[7]，塑性應(yīng)變率為：

式中：為比例系數(shù)。

圖1 淺埋矩形硐室頂部雙層圍巖破壞機制

根據(jù)曲線形速度間斷線的方程()的斜率′()，采用三角變換可以得到速度間斷線上任一點處的法向速度和切向速度，進而得到法向塑性應(yīng)變率和切向塑性應(yīng)變率：

以上式中：為速度間斷面的厚度；為剛性沖切體的速率。代入可得速度間斷面上法向應(yīng)力和切向應(yīng)力為：

根據(jù)Fraldi等[7]的研究，速度間斷面上任一點的內(nèi)能耗散功率可由法向應(yīng)力和切向應(yīng)力各自產(chǎn)生的耗散功率疊加得到，即：

又由于上下層巖體參數(shù)不同，故整個速度間斷線上的耗散功率也由2部分組成，考慮到對稱塌落破壞，故取1/2計算：

硐室上方塌落體，由于重力作用，產(chǎn)生功率P為：

其中：1和2分別為上下層巖體每單位體積的重度，kN/m3；1和2分別為上層塌落體的上下半寬；2和3分別為下層塌落體的上下半寬；上下2層巖體的深度分別為1和2。顯然，對于淺埋矩形硐室的埋深，存在著=1+2。

硐室頂部支護力的功率為：

地表荷載s的功率為：

利用內(nèi)能耗散功率和外功功率之差構(gòu)造目標函數(shù)：

將式(13)~(16)代入式(17)，可得淺埋矩形硐室頂部雙層圍巖情況下，目標函數(shù)的具體表達式：

其中：

要求的極值，必先求1和2的極值。由于1和2都是泛函，利用變分法的原理，可以解得1′()，1()和2′()，2()的表達式：

將式(20)~(23)代入式(19)，可得：

將式(24)代入式(18)，有：

利用地表處無切應(yīng)力分布，τ為0的邊界條件，可以先求得0。

坐標系中(如圖1所示)，顯然有：

將式(27)與式(21)聯(lián)立求解，可得：

另外一個重要條件，在=2處，1()和2()連續(xù)，所以，1()和2()的導(dǎo)數(shù)相等，即：

坐標系中存在著以下幾何關(guān)系：

即：

利用上限定理，內(nèi)能耗散功率和外功功率相等，即目標函數(shù)=0，建立方程：

式(30)，(32)，(33)構(gòu)成一個非線性方程組，求解這個方程組可以得出1，2，3，2和3的數(shù)值解。將1，2，3，2和3的值代入式(21)和式(23)，可得速度間斷曲線1()和2()的表達式，根據(jù)表達式可以繪制二維淺埋矩形硐室在雙層圍巖條件下的塌落面形狀：

2.3 雙層巖體圍巖退化為單層巖體特例

當上下層巖體參數(shù)相同時，退化為均質(zhì)的單層圍巖，此時雙層巖體的塌落破壞機制退化為單層圍巖的塌落。

由式(11)可得速度間斷線上任一點處的內(nèi)能耗散功率為：

考慮到對稱破壞，故取1/2計算。將一點處的內(nèi)能耗散功率沿整個曲線積分，就可以得到整個曲線上的耗散功率：

1和2分別是()兩端的水平投影，即塌落體頂端和底端的半寬度。

硐室上方的塌落體，考慮自身重力作用，產(chǎn)生的功率P為：

其中：為巖體每單位體積的重度，kN/m3；為淺埋矩形硐室的埋深。

考慮到支護效應(yīng)，硐室支護力的功率為：

地表荷載s的功率為：

同理，根據(jù)內(nèi)能耗散功率和外功功率之差構(gòu)造一個目標函數(shù)(也稱總耗散量)：

將式(37)~(40)代入式(41)，得到：

其中：

根據(jù)變分原理將泛函的極值問題轉(zhuǎn)化為求解歐拉方程在滿足邊界條件下的定解問題。通過已知的邊界條件，可以求得()的表達式，從而使得式(42)的積分成為一個定值。所對應(yīng)的歐拉方程為：

將式(43)代入式(44)，可得：

求解可得：

0和1均為積分常數(shù)，可以用邊界條件求得。

將式(46)代入式(42)，可得：

同理，根據(jù)式(26)可得

將式(46)與式(48)聯(lián)立求解，可得：

式(49)中有1和2共2個未知數(shù)，單由一個方程是無法解出的。根據(jù)外功功率和內(nèi)能耗散功率相等，可得：

聯(lián)立式(50)~(51)2個方程組，可以解得1和2的值，再代入式(46)，可以得到速度間斷線()的表達式，根據(jù)表達式可以繪制二維淺埋矩形硐室在單層圍巖條件下的塌落面形狀：

3 數(shù)值計算與分析

3.1 對比計算

當上下層巖體參數(shù)一致時，退化為單層圍巖的塌落，與原有單層圍巖的塌落破壞對比。如圖2所示，分別對比分析地表破壞寬度1和硐室破壞寬度3。

(a) L1比較；(b) L3比較

由圖2可知，當雙層圍巖參數(shù)一致時，此時退化為單層圍巖的塌落，其塌落范圍也與單層圍巖一致，因此，當參數(shù)一致時，單層圍巖的塌落只是雙層圍巖塌落的一種特殊情況。通過對比，也驗證了本文計算雙層圍巖塌落范圍方法的有效性。

3.2 不同參數(shù)對淺埋矩形硐室雙層圍巖塌落面形狀的影響

根據(jù)式(34)和式(35)得到的塌落面形狀表達式，可以分析不同參數(shù)對淺埋矩形硐室頂部有雙層圍巖情況下塌落面形狀的影響，由于表達式和雙層圍巖參數(shù)的組合形式過于復(fù)雜，為了簡化，這里將分析上下層圍巖參數(shù)的比值對塌落面形狀的影響，同樣采取控制變量法。

3.2.1 參數(shù)1/2比值對硐室塌落面形狀的影響

當其余參數(shù)為1=2=0.8，ci1=ci2=2.5 MPa，tm1=tm2=ci2/100，1=2=24 kN/m3，1=2=5 m，=15 m，=80 kPa，s=100 kPa，參數(shù)1/2=0.3/0.6~ 0.9/0.6變化時，塌落面形狀變化情況如圖3所示。

圖3 參數(shù)A1/A2比值影響圖

3.2.2 參數(shù)1/2比值對硐室塌落面形狀的影響

當其余參數(shù)為1=2=0.6，ci1=ci2=2.5 MPa，tm1=tm2=ci2/100，1=2=24 kN/m3，1=2=5 m，=15 m，=80 kPa，s=100 kPa，參數(shù)1/2=0.6/0.8~ 1.0/0.8變化時，塌落面形狀變化情況如圖4所示。

圖4 參數(shù)B1/B2比值影響圖

3.2.3 參數(shù)1/2比值對硐室塌落面形狀的影響

當其余參數(shù)為1=2=0.6，1=2=0.8，ci1=ci2= 2.5 MPa，tm1=tm2=ci2/100，1=2=5 m，=15 m，=80 kPa，s=100 kPa，參數(shù)1/2=16/20~24/20 kN/m3變化時，塌落面形狀變化情況如圖5所示。

3.2.4 參數(shù)tm1/tm2比值對硐室塌落面形狀的影響

當其余參數(shù)為1=2=0.6，1=2=0.8，ci1=ci2= 2.5 MPa，1=2=24 kN/m3，1=2=5 m，=15 m，=80 kPa，s=100 kPa，參數(shù)tm1/tm2=(ci1/25)/ (ci2/100)~(ci1/400)/(ci2/100)變化時，塌落面形狀變化情況如圖6所示。同樣，因為巖體拉伸強度tm的取值方法，所以tm1/tm2比值對塌落面形狀的影響趨勢自然就和ci1/ci2比值一致。

圖5 參數(shù)γ1/γ2比值影響圖

圖6 參數(shù)σtm1/σtm2比值影響圖

通過分析圖3~6所描述的二維淺埋矩形硐室頂部有雙層圍巖情況下的塌落面變化情況，可以得到如下結(jié)論：無論參數(shù)如何變化，硐室的塌落面都呈拋物線型，每層的形狀都類似于一個上寬下窄的倒置漏斗；參數(shù)1/2，1/2，1/2，ci1/ci2和tm1/tm2比值均對硐室塌落面的形狀有影響；隨著參數(shù)1/2的比值增大，上層圍巖延伸到地表的塌落半徑減小，在巖層分界處塌落半徑呈現(xiàn)出增大的趨勢，從整體上看，硐室的塌落范圍增大，下層巖體參數(shù)2固定時，隨著1的增大，上層圍巖和下層圍巖的塌落范圍都將增大；參數(shù)1/2比值對硐室塌落面形狀的影響與1/2不同，隨著1/2的增大，上層圍巖延伸到地表的塌落半徑、巖層分界處的塌落半徑以及整個塌落體均呈減小的趨勢，當下層巖體參數(shù)2固定時，隨著1的增大，上層圍巖和下層圍巖的塌落范圍均減小；隨著參數(shù)的增大，上下2層圍巖的塌落范圍都將減??；參數(shù)ci與tm對塌落面形狀影響一致，隨著ci與tm的增大，上下2層圍巖塌落范圍都均增大。

4 結(jié)論

1) 對于二維淺埋矩形硐室頂部有雙層圍巖的塌落，無論參數(shù)如何變化，硐室塌落面都呈拋物線型，每層的形狀都類似于一個上寬下窄的倒置 漏斗。

2) 參數(shù)，，，ci和tm均對硐室塌落面的形狀有影響；隨著參數(shù)的增大，上層圍巖延伸到地表的塌落半徑減小，在巖層分界處塌落半徑呈現(xiàn)出增大的趨勢；參數(shù)對硐室塌落面形狀的影響與不同，隨著的增大，上層圍巖延伸到地表的塌落半徑、巖層分界處的塌落半徑以及整個塌落體均呈減小的趨勢；隨著參數(shù)的增大，上下2層圍巖的塌落范圍均減?。粎?shù)ci與tm對塌落面形狀影響一致，隨著ci與tm的增大，上下2層圍巖塌落范圍均增大。

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Upper bound analysis of two-layer rock collapseoverlying a two dimensional shallow rectangular chamber

ZENG Zhonglin, LI Liang, LIU Shuangyong, ZUO Xuexian

(School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China)

Based on the upper bound theorem of limit analysis and the Hoek-Brown failure criterion, the collapse failure mechanism of two layers shallow tunnels was constructed in this paper, and according to the virtual work principle, a functional was deduced. To obtain the analytic expression of the failure curve, the function of the failure curve and the unknown coefficients were obtained firstly under limit state by means of the variational method and the boundary conditions. Then the research result was consistent with that of single-layer surrounding rock when two-layer surrounding rock degenerates into single-layer surrounding rock, which proved the analytical model in this paper is correct. Lastly, the influence law of each parameter on the collapse failure shape of the two-layer shallow buried tunnel was analyzed, which could provide a theoretical basis for the potential collapse area of surrounding rock in the layered shallow rock.

collapse; two-layer surrounding rock; shallow; Hoek-Brown failure criterion; limit variational analysis

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2019.04.020

TU45

A

1672 ? 7029(2019)04 ? 0984? 08

2018?05?22

國家自然科學(xué)基金資助項目(51478477，51878668)

李亮(1962?)，男，江蘇泰州人，教授，博士，從事道路與鐵道工程研究；E?mail：liliang_csu@126.com

(編輯 陽麗霞)