篤定前行的黎蔓猜想

陳蓓菲

（福建農(nóng)林大學(xué)計算機與信息學(xué)院，福建福州 350002）

1 黎蔓猜想

黎蔓在《論小于給定數(shù)的素數(shù)個數(shù)》的著名論文中提出了六個猜想，其中難以證明又無法推翻的黎曼猜想, 是關(guān)于黎曼Zeta 函數(shù)的零點分布的猜想。黎曼Zeta 函數(shù)如下所示：

黎曼Zeta 函數(shù)有兩種零點，一種是位于實數(shù)軸線上的零點，被稱為平凡零點，另一種是位于其他復(fù)平面區(qū)域上的零點，被稱為非平凡零點，目前數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明這些非平凡零點全部位于實部區(qū)間為0 到1 的復(fù)平面內(nèi)，而黎曼則大膽猜想，這些非平凡零點全部位于實部為1/2 的一條直線上。

所有非平凡零點都位于實部為1/2 的直線上，是一個尚未得到嚴格證明的猜想，但數(shù)學(xué)家們采用大型計算機計算，至今找到的上萬億個非平凡零點的確都位于這條直線上，無一例外。

不止如此，黎曼猜想還跟冪律分布有關(guān)。

我們都知道冪律分布是指：

其中x 如果只能取1,2,3,...,n 的整數(shù)，c 為歸一化常數(shù)，滿足：

質(zhì)數(shù)分布沒有簡單規(guī)律，但質(zhì)數(shù)出現(xiàn)的頻率跟黎曼Zeta 函數(shù)緊密相關(guān)。有數(shù)學(xué)家甚至認為黎曼猜想與強條件下的質(zhì)數(shù)定理是等價的。目前已經(jīng)驗證了前1 500 000 000 個質(zhì)數(shù)對這個定理都成立，但至今沒有完全證明。黎曼猜想得證，對質(zhì)數(shù)研究、數(shù)論研究意義重大。

黎曼猜想對許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域都意義重大，質(zhì)數(shù)分布只是其中一個。有上千個數(shù)學(xué)命題都建立在黎曼猜想為真的基礎(chǔ)上。多數(shù)數(shù)學(xué)家認為這個猜想是正確的，如果黎曼猜想被證偽，數(shù)學(xué)體系將失去重要根基。

一百多年來，在黎蔓猜想上科學(xué)家們前仆后繼爭先研究，不知道倒下了多少個學(xué)者，歷史的腳步來到了21世紀，作為菲爾茲獎和阿貝爾獎雙料得主，Michael Atiyah 爵士聲稱證明了黎蔓猜想，他已經(jīng)功成名就，而且培養(yǎng)出許多優(yōu)秀的年輕學(xué)者。如果真的證明了黎曼猜想，那Michael Atiyah 就會登頂最偉大數(shù)學(xué)家的行列中，目前，他的證明已然顯現(xiàn)在數(shù)學(xué)家們的眼中。

2 擬合函數(shù)

我們來把問題推進一點點，用某個函數(shù)來擬合小于給定數(shù)的個數(shù)，勒讓德和高斯分別做出了貢獻，給出了擬合函數(shù)。

假設(shè)L(x)為不超過x 的素數(shù)個數(shù)，則小于100 的素數(shù)有25 個，即L(100)=25，同樣的，我們可以算出小于1 000，小于1 000 000 的素數(shù)個數(shù)，用上述計算機程序可以算出小于等于任何一個給定數(shù)的素數(shù)個數(shù)，L(1 000)=168，L(1 000 000)=78 498。

大約在1800年，勒讓德首先觀察了如上結(jié)果，得出了一個重要猜想，對于足夠大的數(shù)x，L(x)逼近于下式：x/(log(x)-1.083 66)，這就是勒讓德給出來的擬合函數(shù)，此處log(x)表示x 的自然對數(shù)。此后高斯又獨立地建議了一個類似而并不與它相等的公式，他們看出各區(qū)間的素數(shù)似乎和函數(shù)log(x)有關(guān)，當(dāng)時認為這個關(guān)系簡直難以理解。

自然對數(shù)函數(shù)log(x)出自微積分中有關(guān)生長和衰亡的問題，例如，設(shè)想一筆借款，利率150%，一點一點地利上加利逐漸增長，于是log(x)代表一元錢變成x 元所需的年數(shù)，數(shù)學(xué)家把復(fù)利中錢數(shù)增長的過程叫作“指數(shù)增長率”，它可應(yīng)用于各種不同的問題，如人口增長，放射性衰變，物體冷卻以及其他高利率問題。

綜合勒讓德和高斯猜想，L(x)可以用x/log(x)來逼近，x 數(shù)字越大逼近得越好，高斯不僅是一位數(shù)論專家，他還建立了數(shù)理統(tǒng)計，并應(yīng)用于天文和素數(shù)計數(shù)這樣兩個不同的問題。高斯用現(xiàn)今統(tǒng)計學(xué)家所謂的“最小二乘法” 分析了素數(shù)公式中誤差的性質(zhì)，他的結(jié)果表明，x 足夠大時誤差極小。

這個“素數(shù)定理”（1800年時還是猜想）作為最著名的猜想而震驚數(shù)學(xué)界。這個方程的一端是素數(shù)個數(shù)，另一端來自微積分的函數(shù)log(x)，并且和人口增長有關(guān)，這是離散與連續(xù)的“不解之緣”。

對于勒讓德—高斯猜想的證明，五十年間毫無進展，首先在這個方向作出貢獻的是切比曉夫，他在1848年和1850年相繼得到了一些結(jié)果，但是，終因問題沒有得到徹底的解決而被放棄，英國數(shù)學(xué)家西爾凡特也曾致力于“素數(shù)定理”的研究，而真正解決問題的是阿達瑪和普辛，他們幾乎同時于1896年各自獨立證明了“素數(shù)定理”，但是，前人的功勞不可否定，這就是在1859年，黎蔓那篇題為《論小于給定數(shù)的素數(shù)個數(shù)》的著名論文，為阿達瑪證明“素數(shù)定理”鋪平了道路，黎蔓在《論小于給定數(shù)的素數(shù)個數(shù)》的著名論文中提出了六個猜想，許多科學(xué)家力圖證明黎蔓論文中所表達的主要結(jié)果，但都徒勞無功，終于在黎蔓的論文發(fā)表三十五年后，阿達瑪首先獲得了重要突破，證明了其中的三個猜想，不久，阿達瑪和普辛，他們幾乎同時于1896年各自獨立證明了“素數(shù)定理”，他們的證明巧妙運用了黎蔓的思路，以后，另一位數(shù)學(xué)家蒙鎬特證明了黎蔓論文中的另外兩個猜想，最后遺留下來的一個就是迄今仍未解決的黎蔓猜想。

3 計算機程序與結(jié)果

我們說問題的本身，小于或等于給定數(shù)的素數(shù)個數(shù)本身就是小于給定數(shù)的，如給定數(shù)100，小于100 的素數(shù)個數(shù)25 個，小于給定數(shù)100，因為，只有奇數(shù)才有可能是素數(shù)，所以，去掉偶數(shù)，剩下一半的奇數(shù)，而奇數(shù)中又不全是素數(shù)，所以，小于給定數(shù)x 的素數(shù)個數(shù)一定小于x/2，我們在下面給出Mirosoft Visual C++ 6.0 計算機程序和相應(yīng)的結(jié)果。

設(shè)給定數(shù)x=1 000，有如下計算機程序。

對于給定數(shù)x=1 000，結(jié)果如下：

給定一個正整數(shù)x，尋找小于等于它的素數(shù)

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

31 37 41 43 47 53 59 61 67 71

703 79 83 89 97 101 103 107 109 113

127 131 137 139 149 151 157 163 167 173

179 181 191 193 197 199 211 223 227 229

233 239 241 251 257 263 269 271 277 281

283 293 307 311 313 317 331 337 347 349

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409

419 421 431 433 439 443 449 457 461 463

467 479 487 491 499 503 509 521 523 541

547 557 563 569 571 577 587 593 599 601

607 613 617 619 631 641 643 647 653 659

661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

739 743 751 757 761 769 773 787 797 809

811 821 823 827 829 839 853 857 859 863

877 881 883 887 907 911 919 929 937 941

947 953 967 971 977 983 991 997

小于正整數(shù)x 的素數(shù)的個數(shù)一共有168

黎蔓，1826年生于德國漢諾威的一個小村莊，黎蔓先在柏林大學(xué)學(xué)習(xí)，后進哥廷根神學(xué)院，不久轉(zhuǎn)學(xué)數(shù)學(xué)，師從名師高斯和韋伯。名師出高徒，1851年，在高斯的指導(dǎo)下，以其才華橫溢的論文，在哥廷根大學(xué)獲得博士學(xué)位。1859年繼承了荻利克萊的席位，榮任哥廷根大學(xué)的教授，當(dāng)選為德國科學(xué)院院士，為了說明他自己的才能，在德國科學(xué)院院刊上發(fā)表了題為《論小于給定數(shù)的素數(shù)個數(shù)》的一篇著名論文，提出了空前重要的猜想——黎蔓猜想。1866年因患結(jié)核病卒于意大利北部的一個療養(yǎng)勝地。整個數(shù)學(xué)界從此失去了一位最富有創(chuàng)造性、遠見卓識的天才人物。他在《論小于給定數(shù)的素數(shù)個數(shù)》一文中，共提出了六個猜想，至今罕見被證明，這是黎蔓猜想篤定前行的理由，因為，難！難以被證明！難倒了一代又一代的數(shù)學(xué)家！筆者只是在他的猜想里加上時代進步的印記，用了計算機程序，希望有所助益。