“橢圓極限模型”在直線運動中的妙用

徐華兵

(浙江省金華第一中學(xué),浙江 金華 321015)

通常研究的物體的運動往往都在地球表面或表面附近,物體在運動過程中與地心的距離變化遠(yuǎn)小于地球半徑,所以一般可認(rèn)為物體所受地球引力是不變的,物體做勻變速運動．但是當(dāng)物體在萬有引力作用下做長距離的一維直線運動時,物體所受地球引力要發(fā)生變化,此時,就要考慮物體運動過程中加速度變化．

求解這類萬有引力作用下做長距離的一維直線運動時間問題的一般方法是先建立一個運動微分方程,然后對時間進(jìn)行積分,且要用到一個復(fù)雜的現(xiàn)成的積分公式,遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了中學(xué)生的能力．此時,若用“橢圓極限模型”來等效此變加速直線運動,會巧妙求得運動時間．

基礎(chǔ)模型:空間中相距為L(L較大)的A、B兩質(zhì)點(如圖1),A為固定質(zhì)點,質(zhì)量為M;B質(zhì)點質(zhì)量為m,B質(zhì)點在A質(zhì)點萬有引力作用下向著A質(zhì)點運動．求:經(jīng)過多長時間A、B兩質(zhì)點相遇．

圖2

例1.赫菲斯托斯是希臘神話中的冶煉之神,剛出生的時候很丑而且還是個瘸子,如圖3所示．他的母親赫拉怕被其他神笑話就把他從奧林匹斯山上扔了下去,經(jīng)過整整一天,赫菲斯托斯才落到海里．假設(shè)赫菲斯托斯運動過程中空氣阻力可忽略不計,試估算奧林匹斯山的高度．

圖4 等效橢圓軌道

赫菲斯托斯僅在萬有引力作用下運動,可設(shè)想有一個狹長的橢圓軌道,它的一個焦點在地心,其近地點為A,遠(yuǎn)地點為赫菲斯托斯開始下落的B點,此橢圓越扁,其兩側(cè)軌道就越向赫菲斯托斯下落的實際軌道靠攏,如圖4所示．在極限情況下,可認(rèn)為兩者重合,赫菲斯托斯做直線運動的時間就等于在橢圓軌道上相應(yīng)的運動時間．此時,此極限橢圓的焦點非常接近于A點,赫菲斯托斯下落的距離就近似為橢圓的長軸．

變式:假設(shè)宇宙空間中的一個慣性系中,有兩顆相距為d,質(zhì)量分別為M和m的靜止不動的星球,在它們之間萬有引力作用下,開始相向運動．求:兩星球自靜止起,至相碰時止,共經(jīng)歷多長時間?設(shè)兩星球半徑遠(yuǎn)比相互間距離小．

圖5 兩星球與質(zhì)心位置關(guān)系

質(zhì)點在萬有引力作用下做長距離的直線運動時,加速度不斷發(fā)生變化,不能直接運用運動學(xué)公式求解質(zhì)點運動時間．此時,可以將此直線運動用“橢圓極限模型”來等效．質(zhì)點長距離一維直線運動的時間等于在原萬有引力作用下橢圓運動周期的一半．進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn),質(zhì)點在它們之間距離平方反比力作用下的直線運動時間問題都可以用上述“橢圓極限模型”來等效求解．