解三角形的快速解題技巧

趙靜

摘要：縱觀歷年高考數學試卷解三角形作為必要內容，對三角函數解答題部分的考查主要有三個方面；三角函數的圖象與性質，三角恒等變換，解三角形問題.作者認為只要考生把握命題意圖與考點，找到科學的方法和技巧，才能獲得正確的結論.特此結合自己的教學實際提出一些探析建議。

關鍵詞：解三角形；高考；快速解題；技巧

1 新課標解三角形教材及內容分析

1.1 教材分析

新課改的實施，使得高中數學教材與傳統(tǒng)數學教材無論在結構上，還是在內容上，都發(fā)生了很大的變化。對于解三角形這一模塊來說，結構上新課標將其重新整合安排在必修五的第一章節(jié)，在學習三角函數、平面向量的基礎上進行學習。內容上相比以往大綱版教材則更加關注運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題，側重點放在學生探究和推理能力的培養(yǎng)上。

1.2 內容分析

教材的中心內容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落實在解三角形的應用上?？傊?，解三角形是高中數學的重要內容之一，內容本身是傳統(tǒng)內容，并具有豐富的實際背景，學生應該十分熟悉。

1.3 教材分析的原則和方法

方法：理論與實踐相結合的方法、教與學相結合的方法。

原則：課標原則、學生中心原則、數學思想方法原則。

1.4 教學目標

通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理的內容及證明方法，會運用正弦定理、余弦定理與三角形內角和定理解斜三角形等基本問題。通過正弦、余弦定理的探究性學習，培養(yǎng)掌握三角形的邊長與角度之間數量關系及學生探索數學規(guī)律的思維能力，培養(yǎng)學生用數學的方法解決實際問題的能力，通過學生的積極參與和親身實踐，并成功地解決實際問題。通過本節(jié)學習，激發(fā)學生對數學學習的熱情，培養(yǎng)學生獨立思考和勇于探索的精神。

2 轉化為平面向量解題

例1.已知△ABC中，D是BC邊上的一點，BD=2DC，∠BAC= ，AB=4，AC=3，求線段AD的長度。

[分析]此題屬于已知一個角的大小，且過該角的頂點有三條邊，其中已知兩條邊的長度，求另一條邊的長度，可轉化為平面向量求解。

[點評]類似這樣的題型，如果用常規(guī)的方法即正弦定理和余弦定理來求解，則需要用到兩個三角形列出方程組，計算量大，容易出錯，而且在選用哪兩個三角形列方程的時候會搖擺不定，也減慢了解題速度。結合平面向量求解這類題型，一步到位，解題效果得到大大提高。

3 轉化為平行四邊形求解

例2.已知，△ABC中，點O是BC的中點，AB=7，AC=6，AO=5，求BC的長。

[分析]在平行四邊形中，用余弦定理可以證明出“平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和”這一重要的結論。此題有一個中點O，只要延長AO到點D，使AO=OD，連接BD和DC，顯然四邊形ABDC為平行四邊形，應用平行四邊形這個結論，列出方程即可求解。

[解析]因為點O是中點，所以把原圖還原為平行四邊形，根據“平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和”，于是有：2（AB2+AC2）2=AD2+BC2，把AB=7，AC=6，AD=2AO=10代入，求得BC=

[點評]在高中數學教材中，平行四邊形的這個結論只是在數學4-4（選修）的練習中出現過，所以在解三角形的過程中往往被大家忽略。此題屬于三角形邊長有中點的題型，這樣的題型都可以用平行四邊的這個結論來求解，瞬間化繁為簡。

4 轉化為圓求解

例3.在△ABC中，∠B= AC= ，求△ABC的面積的最大值。

【分析】此題屬于典型的解三角形題目中有關取值范圍的題型。常規(guī)的解題策略是應用正弦定理、余弦定理再結合基本不等式、輔助角公式來求解。這道題的特點是已知一個角和這個角的對邊是定值，如果我們結合這個三角形的外接圓，則從圖形上就可以直觀得出三角形面積最大值的情況，從而得出結果。

【解析】如圖3所示，根據“圓的等弦對等角”性質，由正弦定理易得：

求得R=1，即△ABC是在一個半徑為1的圓內接三角形，∠B=π/3，AC= ，則點B是優(yōu)弧AC上的動點。當點B在圖中的最頂端，即BO垂直于AC的時候，AC邊上的高達到最大值，即△ABC的面積達最大值。此時，△ABC為正三角形，所以， ，即△ABC的面積最大值為

【點評】在解三角形的題型中，求相關取值范圍是最常見的。如一條邊的取值范圍、周長的取值范圍或最值、面積的取值范圍或最值等，當題型的已知條件是“一個角和此角的對邊為定值”，則轉化為圓的題目求解，將得到事半功倍的效果。

5 結語

總之，高考命題逐年加強對知識的綜合性和應用性的考察，常在知識的交匯點設計綜合試題，綜合考查學生對解三角形與其他知識點的結合，注重靈活運用。

參考文獻

[1]李桂平.求解三角函數問題的幾大思路[J].科學之友：版，2010（1）：135-136.

（作者單位：黑龍江省五大連池市高級中學）