兩道中考試題的共同價(jià)值及教學(xué)啟示

何合全

數(shù)學(xué)思維問題是數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維是開發(fā)學(xué)生思維能力的一個(gè)突破點(diǎn)，是提高教學(xué)質(zhì)量的重要途徑之一。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)不能僅僅停留在知識(shí)的傳授上，還必須注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。近年來，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力已成為中考試題重要的考查目標(biāo)之一，這類題目往往“給出圖像，以數(shù)學(xué)概念為出發(fā)點(diǎn)，讓學(xué)生通過觀察、閱讀、歸納、分析，獲取有用的信息，再進(jìn)行驗(yàn)算和推理”，既考查了基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，又考查了數(shù)學(xué)思想和創(chuàng)新能力。

一、試題呈現(xiàn)

例1（2016年廣東省中考試題第10題）：如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著正方形的邊順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周，則△APC的面積y與點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程x之間形成的函數(shù)關(guān)系的圖像大致是（）

例2（2018年廣東省中考試題第10題）：如圖2，點(diǎn)P是菱形ABCD邊上的一動(dòng)點(diǎn)，它從點(diǎn)A出發(fā)沿A→B→C→D路徑勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，設(shè)△PAD的面積為y，P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x，則y關(guān)于x的函數(shù)圖像大致為（）

二、試題分析

解析：這兩道試題都涉及動(dòng)點(diǎn)在特殊四邊形的背景下，運(yùn)動(dòng)的路程和相關(guān)三角形面積的關(guān)系，在分析、解決此類問題時(shí)，關(guān)鍵是要抓住動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中一些數(shù)量“變”與“不變”的關(guān)系。在例1中，點(diǎn)P沿著正方形的邊順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，△APC的底邊是變化的，設(shè)正方形的邊長為a，當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，△APC的底邊長度為x;當(dāng)點(diǎn)P在BC上（不包括點(diǎn)B）時(shí)，△APC的底邊長度為2a-x;當(dāng)點(diǎn)P在CD上（不包括點(diǎn)C和點(diǎn)D）時(shí)，△APC的底邊長度為x-2a;當(dāng)點(diǎn)P在DA上時(shí)，△APC的底邊長度為4a-x。而它的高的值是不變的，都等于正方形的邊長，根據(jù)三角形面積的計(jì)算公式就可以得出相應(yīng)的函數(shù)解析式，從而判斷出它們的圖像形狀。在例2中，點(diǎn)P沿A→B→C→D路徑勻速運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)P在AB上移動(dòng)時(shí)，△PAD的高不變，它的面積隨著底邊AP的增大而增大;當(dāng)點(diǎn)P在BC上移動(dòng)時(shí)，△PAD的面積是不變的，它是一個(gè)定值;當(dāng)點(diǎn)P在CD上移動(dòng)時(shí)，△PAD的高不變，它的面積隨著底邊DP的減小而減小;當(dāng)點(diǎn)P 在DA上移動(dòng)時(shí)，P、A、D三點(diǎn)共線，它們無法組成三角形，△PAD的面積不存在。

例1的解答：設(shè)正方形的邊長為a，以四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)的臨界點(diǎn)分四種情況進(jìn)行分段解答：

（1）當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，底邊的長度不斷增大，y=ax;

（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC上（不包括點(diǎn)B）時(shí)，y=a（2a-x）=-ax+a2;

（3）當(dāng)點(diǎn)P在CD上（不包括點(diǎn)C和點(diǎn)D）時(shí)，y=a（x-2a）=ax-a2;

（4）當(dāng)點(diǎn)P在DA上時(shí)，y=a（4a-x）=-ax+2a2。

由此得到四個(gè)一次函數(shù)，找出各個(gè)函數(shù)對應(yīng)的k值：（1）k>0，（2）k<0，（3）k>0，（4）k<0。根據(jù)函數(shù)性質(zhì)（增減性）可知：k>0時(shí)y隨x的增大而增大，k<0時(shí)y隨x的增大而減小，故答案是C。

例2的解答：因?yàn)辄c(diǎn)P在菱形ABCD上移動(dòng)，所以可知由菱形各頂點(diǎn)向?qū)吽鞯母邽槎ㄖ?，可設(shè)高的長度為h，以菱形的四個(gè)頂點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)的臨界點(diǎn)分三種情況進(jìn)行解答：

（1）當(dāng)點(diǎn)P在AB上移動(dòng)時(shí)，把AP作為△PAD的底邊，則有S△PAD=AP·h，隨著點(diǎn)P的移動(dòng)，AP的值在增大，三角形的面積也是在增大的，y與x滿足正比例函數(shù)關(guān)系;

（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC上移動(dòng)時(shí)，把AD作為△PAD的底邊，則有S△ PAD=AD·h，點(diǎn)P的移動(dòng)不會(huì)造成AD長度的變化，所以此時(shí)三角形面積為定值;

（3）當(dāng)點(diǎn)P在CD上移動(dòng)時(shí)，把DP作為△PAD的底邊，則有S△PAD=DP·h，隨著點(diǎn)P的移動(dòng)，DP的長度在減小，三角形的面積也是在減小的，y與x滿足反比例函數(shù)關(guān)系。因?yàn)镻點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)沿在A→B→C→D路徑勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，所以點(diǎn)P在三條線段上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同，故答案是B。

三、試題價(jià)值

（一）考查基本的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)，學(xué)生的識(shí)圖、解題能力

兩道試題都屬于以四邊相等的特殊四邊形為運(yùn)動(dòng)載體單動(dòng)點(diǎn)問題，需要學(xué)生掌握動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，與兩個(gè)定點(diǎn)所形成的銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形三類三角形高線的作法?？疾榱艘淮魏瘮?shù)、三角形高線等概念與一次函數(shù)、正方形、菱形的性質(zhì)。

（二）數(shù)形結(jié)合，分類討論，重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和綜合應(yīng)用能力

解題時(shí)，學(xué)生需找到“動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過程中形成的三角形高是定值，變化的是三角形的底邊”這一突破口。而三角形的高實(shí)質(zhì)是正方形（或菱形）的高，三角形的底邊是四邊形其中一邊的一部分或全部。動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過程中的臨界點(diǎn)是多邊形的頂點(diǎn)，這形成了分段函數(shù)，需要借助幾何直觀，以“靜”制“動(dòng)”進(jìn)行分類討論。這兩道選擇題蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法，思維含量極高，是精心構(gòu)思的題目，考查了學(xué)生的思維能力、運(yùn)算能力和創(chuàng)新意識(shí)，是具有一定思維深度的試題。

從數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)來看，這兩道試題都是依附于不同的載體（四邊相等的四邊形）的動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中使構(gòu)成的三角形面積不斷產(chǎn)生變化的題目，考查了數(shù)形結(jié)合、方程思想和分類討論思想的應(yīng)用，知識(shí)覆蓋面廣，綜合性強(qiáng)，難度系數(shù)大。解答此題的關(guān)鍵是對動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化過程中相伴隨的數(shù)量關(guān)系、圖形位置關(guān)系等進(jìn)行觀察研究，化“動(dòng)”為“靜”，明確變化過程中三角形的高是定值，對學(xué)生的讀題、解題、知識(shí)遷移能力、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思維能力提出了較高的要求。

四、教學(xué)啟示

（一）概念教學(xué)注重概念的形成過程，抓住概念的核心，在理解和應(yīng)用過程中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力

數(shù)學(xué)概念不僅需要學(xué)生具備一定的生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)認(rèn)知體系，還需要學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)語言理解、記憶和表述能力，而這些能力的獲得，只有在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中加強(qiáng)培養(yǎng)，才能逐步形成，逐步提高。

1. 由于學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的差異，他們對同一知識(shí)的領(lǐng)悟?qū)哟问遣灰粯拥?。為了讓全體學(xué)生都能全面正確地理解新概念，我們要組織以學(xué)生探討為主、教師指引評價(jià)為輔的有效的課堂研討活動(dòng)，以及圍繞關(guān)于概念的系列問題而展開的課堂討論，這有利于學(xué)生對概念的理解和掌握。例如，以“三角形高線”的概念教學(xué)為例，剖析數(shù)學(xué)概念教學(xué)的本質(zhì)。首先，教師用多媒體展示銳角三角形，根據(jù)三角形高線概念引導(dǎo)學(xué)生觀察，尋找高線與三角形頂點(diǎn)和邊的關(guān)系。其次，教師可以將三角形中的一個(gè)內(nèi)角變?yōu)?0度，再讓學(xué)生觀察，得到概念的本質(zhì);將三角形的一個(gè)角變?yōu)殁g角時(shí)，讓學(xué)生繼續(xù)觀察。最后，分三類三角形進(jìn)行畫圖討論，借助幾何直觀進(jìn)一步理解概念。這樣的教學(xué)過程，不僅能展現(xiàn)三角形高線的本質(zhì)特性，而且能揭示其內(nèi)在聯(lián)系。

2. 對學(xué)生在理解方面易出錯(cuò)誤或理論性較強(qiáng)的概念，要抓住概念的核心，設(shè)計(jì)一些針對性強(qiáng)的題目，使學(xué)生通過練習(xí)，加深對概念的理解。

如在進(jìn)行“二元一次方程”概念的教學(xué)時(shí)，可針對概念核心內(nèi)容設(shè)計(jì)練習(xí)：下列哪些式子是二元一次方程：（1）3x-=1;（2）3x（x-2y）=5;（3）3x-y=1;（4）3（x-2y）=5。教師在講評練習(xí)時(shí)應(yīng)說明“項(xiàng)”指的是單項(xiàng)式，將方程兩邊化為多項(xiàng)式或單項(xiàng)式的形式時(shí)才能較容易作出判斷。學(xué)生在探索過程中理解了：（1）每一項(xiàng)是單項(xiàng)式——整式方程;（2）每個(gè)單項(xiàng)式中最多含有一個(gè)次數(shù)為1的未知數(shù)——最高次數(shù)是1;（3）方程一共含有兩個(gè)未知數(shù)——二元。這是關(guān)于二元一次方程最基本、最樸素的表述，也是二元一次方程的核心內(nèi)容。

（二）以小見大，引導(dǎo)學(xué)生思考問題的共性，總結(jié)解決問題的規(guī)律，提高解題能力

對于填空題或選擇題，看似雖小，但蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，也隱藏著普遍的解題方法，具有一定的探究性，都是精心構(gòu)思的題目。因此講解“小題”時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在分析本題蘊(yùn)含的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和方法的基礎(chǔ)上，對習(xí)題進(jìn)行改編、演變和拓展延伸，從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探索“變”的規(guī)律，讓學(xué)生在習(xí)題的探索中歸納其中的共性和規(guī)律。此外，還要引導(dǎo)學(xué)生通過解題掌握一般的數(shù)學(xué)方法，培養(yǎng)他們觀察、聯(lián)想、比較、轉(zhuǎn)化、探索的能力，充分發(fā)揮習(xí)題的典型導(dǎo)向作用，并進(jìn)行擴(kuò)展，提高學(xué)生的解題能力。

當(dāng)把運(yùn)動(dòng)的載體改為矩形，把單點(diǎn)運(yùn)動(dòng)改為雙點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，就可以得到如下題目：

例3：如圖3，矩形ABCD的邊AB=4，BC=8，點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位沿A→B→C→D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q也從A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位沿A→D運(yùn)動(dòng)，△APQ的面積為y，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒，則y關(guān)于x的函數(shù)圖像為

（）

這道題雖然是雙動(dòng)點(diǎn)問題，但解法與例1和例2相類似，只要找到點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的臨界點(diǎn)即分段函數(shù)的臨界點(diǎn)，處理好點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中數(shù)量“變”與“不變”的關(guān)系，問題就可以迎刃而解。

當(dāng)0≤x≤2時(shí)，即點(diǎn)P從A運(yùn)動(dòng)到B的過程中，△APQ的底AQ和高AP都是變化的，此時(shí)S？駐APQ=x·2x=x2;

當(dāng)2

當(dāng)6

所以教師在進(jìn)行習(xí)題教學(xué)的時(shí)候，要立足于基礎(chǔ)知識(shí)，滿足學(xué)生學(xué)習(xí)的需要和中考的要求， 引導(dǎo)學(xué)生對習(xí)題進(jìn)行歸類或改編，總結(jié)規(guī)律，提高解題能力。

（三）注重在常規(guī)知識(shí)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想，提升思維品質(zhì)

數(shù)學(xué)思想就是對數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)方法，是解決數(shù)學(xué)問題的根本程序，也是數(shù)學(xué)思想的具體反映。在日常教學(xué)中，應(yīng)把數(shù)學(xué)思想方法滲透在教學(xué)活動(dòng)中，讓學(xué)生在解題方法上有所創(chuàng)新，使“方法”與“思想”有機(jī)結(jié)合，有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

1. 整合教材內(nèi)容，對教材內(nèi)容進(jìn)行拓展延伸，設(shè)計(jì)和改編可以激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性思維的題目，讓學(xué)生學(xué)會(huì)變換思維的角度思考問題。要善于引導(dǎo)學(xué)生跳出常規(guī)思維的束縛，養(yǎng)成多方位、多角度、多層面觀察和分析問題的習(xí)慣，盡量做到舉一反三、觸類旁通，揭示解題過程中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，拓寬學(xué)生思維的廣闊性，提高學(xué)生的推理、想象和求異創(chuàng)新的能力，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

2. 要善于從有共同特征的圖形出發(fā)，重視對基本圖形的歸納。因?yàn)榛緢D形往往具有一定的代表性，它能化繁為簡，縮短解決問題的路徑，在復(fù)雜問題中容易找到思考的方向。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合有關(guān)知識(shí)的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生從中提煉出常用的基本模型，并通過典型問題讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用基本模型分析問題、解決問題、提出新問題、探索新結(jié)論，將學(xué)生的思維不斷引向深入，提高學(xué)生的思維能力。

總之，歷年的中考題除了能考查學(xué)生的基本知識(shí)、基本技能和思想方法外，還能觸動(dòng)教師去思考如何在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)。因此教師在教學(xué)中要抓住數(shù)學(xué)概念的核心，通過對典型試題的分析，在核心知識(shí)的交匯處強(qiáng)化綜合應(yīng)用，滲透數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

責(zé)任編輯 羅 峰