考慮天然裂縫成簇分布的壓裂液濾失研究

游先勇，趙金洲，李勇明，許文俊

（西南石油大學(xué)油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點實驗室，四川成都610500）

由于裂縫凈壓力會導(dǎo)致壓裂液向儲層中濾失，這對儲層壓裂后水力裂縫的尺寸、支撐劑分布以及地層污染情況都有著較大的影響。對于天然裂縫發(fā)育的儲層，壓裂液會優(yōu)先選擇滲透率更大的天然裂縫作為滲流通道，從而加劇濾失速度和增大濾失量。

Stahl和Clark對比分析了不同類型儲層壓裂液的濾失規(guī)律，發(fā)現(xiàn)天然裂縫是壓裂液濾失的重要原因，并且相交天然裂縫是壓裂液滲流的重要通道[1]。Barree和Mukherjee在研究壓裂液濾失時，考慮裂縫內(nèi)壓力變化，分析了裂縫擴展延伸行為對壓裂液濾失的影響[2]。Nagel等建立了考慮天然裂縫的誘導(dǎo)應(yīng)力場分布模型，并利用該模型對壓裂液濾失過程中裂縫內(nèi)壓力變化進行了分析[3]。夏富國等考慮天然裂縫的動態(tài)濾失，根據(jù)壓力連續(xù)及流體體積守恒原理，建立了針對天然裂縫儲層的壓裂液濾失模型，并分析了天然裂縫性質(zhì)、施工參數(shù)等對壓裂液濾失的影響[4]。李勇明等利用有限元方法建立了考慮儲層裂縫網(wǎng)絡(luò)的壓裂液濾失模型，并求得了其數(shù)值解。該方法模擬了不同形態(tài)裂縫網(wǎng)絡(luò)對壓裂液濾失過程中儲層應(yīng)力分布的影響[5]。郭建春等建立了張開天然裂縫濾失介質(zhì)形成力學(xué)判別模型，發(fā)現(xiàn)在裂縫性儲層中張開裂縫是壓裂液濾失的主要原因，并分析了凈壓力、泊松比等參數(shù)對裂縫張開和誘導(dǎo)應(yīng)力的影響[6]。趙立強等通過建立離散裂縫網(wǎng)絡(luò)，利用等效滲透率張量原理將其轉(zhuǎn)化為各向異性連續(xù)介質(zhì)，通過建立二維壓裂液濾失模型來分析天然裂縫分布對壓裂液濾失速度和濾失量的影響[7]。

目前國內(nèi)外學(xué)者研究天然裂縫對壓裂液濾失的影響時，僅僅將天然裂縫作簡化處理，并未考慮其成簇分布的特點，因此該方面研究仍存在局限性。通過分形離散裂縫法生成分形離散裂縫網(wǎng)絡(luò)模型，刻畫了天然裂縫成簇分布的特點，并將其等效為滲透率張量，最后建立了基于等效滲透率張量的壓裂液濾失模型，分析了成簇分布的天然裂縫對壓裂液濾失的影響。

1 分形離散裂縫網(wǎng)絡(luò)模型

通常情況下，裂縫會以簇的形式分布于儲層中[8]，傳統(tǒng)的離散裂縫網(wǎng)絡(luò)（DFN）的建立，主要是通過泊松分布對裂縫中心進行刻畫描述[9]（圖1a），但是這種方法生成的天然裂縫分布較為均勻，無法體現(xiàn)天然裂縫成簇分布的特點，即天然裂縫成團成簇地在儲層中分布；而分形離散裂縫法（FDFN）是基于離散裂縫網(wǎng)絡(luò)法，通過采用倍增串級的方法來生成天然裂縫網(wǎng)絡(luò)（圖1b），從而更真實地刻畫出地層中裂縫的分布特征[10,11]。

分形離散裂縫法的核心思想是：盡管儲層中發(fā)育的天然裂縫分布錯綜復(fù)雜，但不同大小區(qū)域的分形維數(shù)卻趨于常數(shù)，根據(jù)這個特征便可以較合理地刻畫成簇分布的天然裂縫[12]。

FDFN的核心算法公式為：

式中：n（l，L）dl為在L尺寸儲層區(qū)域內(nèi)長度在l與dl之間發(fā)育裂縫總數(shù)量，條；Dc為裂縫分布的分形維數(shù)，無因次，表征裂縫的聚集程度，取值范圍一般為[1.5，2]；Dl為裂縫長度的分形維數(shù)，無因次，表征裂縫長度的分布規(guī)律，取值范圍為[0，∞]，其值越小，長裂縫的出現(xiàn)概率越大；α為裂縫發(fā)育密度，無因次，與選取儲層區(qū)域大小無關(guān)；L為研究區(qū)域尺寸，m；l為裂縫長度，m；lmin為天然裂縫尺寸下限，m；N（L）為長于lmin的天然裂縫數(shù)量（較小尺寸裂縫將被忽視），條。

1.1 裂縫分布分形維數(shù)

裂縫分布的分形維數(shù)采用徑向分布函數(shù)來進行計算：

圖1 兩種模式下的裂縫中心分布Fig.1 Fracture center distribution generated by two methods

式中：C2（r）為裂縫分布的徑向分布函數(shù)；Np（r）為r距離內(nèi)的粒子數(shù)（裂縫數(shù)），個；N為裂縫總數(shù)，條；c為擬合出的常數(shù)，無因次。通過此公式來計算裂縫分布的分形維數(shù)Dc。

1.2 生成滿足條件的裂縫分布

該模型采用倍增串級方法來生成滿足條件的裂縫網(wǎng)絡(luò)，該方法不僅能生成符合分形維數(shù)的天然裂縫中心位置，且能體現(xiàn)其成簇發(fā)育的特點。這是一種迭代方法，其思想是將儲層區(qū)域不斷剖分成小的子區(qū)域，將每個區(qū)域生成裂縫的概率也隨之剖分，從而使概率大的地方裂縫發(fā)育，概率小的地方裂縫稀疏，直到滿足條件為止。倍增串級的算法公式為：

式中：Pi為概率；sr為剖分比例；Dc為裂縫分布分形維數(shù)，無因次；q為常數(shù)，二維情況下取2。

1.3 裂縫走向

天然裂縫的走向可以采用Fish分布來進行表征：

式中：θ為裂縫偏離平均走向的角度，（°）；K為Fisher常數(shù)，無因次，一般通過露頭數(shù)據(jù)得出，表示與平均值的偏差程度（K越大，裂縫走向一致性越強）。

為了產(chǎn)生裂縫方向，裂縫角度偏差，裂縫偏離角RFK可以根據(jù)式（6）計算得出。

式中：RFK為裂縫偏離角，（°）；RG為高斯隨機數(shù)，無因次，取值介于0～1；K為Fisher常數(shù)，無因次。

1.4 建立分形離散裂縫網(wǎng)絡(luò)模型

通過輸入裂縫網(wǎng)絡(luò)的幾何參數(shù)，包括目標(biāo)區(qū)塊裂縫分布分形維數(shù)Dc、裂縫尺寸分形維數(shù)Dl，裂縫密度系數(shù)α，裂縫最短長度lmin，裂縫發(fā)育帶平均走向及Fisher常數(shù)K，利用Matlab編寫分形離散裂縫網(wǎng)絡(luò)的數(shù)值化模型，建立目標(biāo)區(qū)塊的天然裂縫網(wǎng)絡(luò)。

2 等效滲透率張量

2.1 滲透率張量計算方法

滲透率張量是巖石滲透率具有方向性的體現(xiàn)。低階張量在各領(lǐng)域運用廣泛，標(biāo)量是零階張量（只有一個值），向量是一階張量（一個值和一個方向），而巖石的滲透率張量是二階張量（一個值和兩個方向）。張量可以理解為同時改變向量大小和方向的矩陣，且不隨位置的改變而改變。

二維情況下巖石的滲透率張量可以表示為：

Lamb等人在研究裂縫孔隙雙重介質(zhì)中流體流動時提出，在利用有限元對雙重介質(zhì)進行網(wǎng)格剖分時，網(wǎng)格塊可以看作是兩個區(qū)域的疊加（圖2）[13]。

圖2 離散裂縫區(qū)域中基質(zhì)和裂縫單元的表征Fig.2 Schematic representation of the matrix and fracture elements from discretized fractured domain

此時，裂縫滲透率張量可以用式（8）進行表征：

式中：kxx=kf；kyy=km；Kfe為裂縫單元的滲透率；Af為單元內(nèi)的裂縫面積，m2；Ae表示單元面積，m2；K'f為局部笛卡爾坐標(biāo)下的裂縫滲透率張量；Kf為裂縫方向上的滲透率張量；kxx為裂縫滲透率張量在x方向的主值，10-3μm2；kyy為裂縫滲透率張量在y方向的主值，10-3μm2；kf為天然裂縫滲透率，10-3μm2；km為基質(zhì)滲透率，10-3μm2；β為天然裂縫與水平方向的夾角，（°）。

利用上述公式可以將離散裂縫網(wǎng)絡(luò)圖通過疊加原理生成等效滲透率張量。

2.2 有效表征體積計算方法

等效連續(xù)介質(zhì)模型是連續(xù)介質(zhì)模型和離散裂縫網(wǎng)絡(luò)模型的結(jié)合體，是研究裂縫性儲層滲流規(guī)律的有效方法。但將裂縫性介質(zhì)轉(zhuǎn)化為等效連續(xù)介質(zhì)必須滿足研究域內(nèi)存在表征體積單元（REV）這個條件。盧波等人認(rèn)為REV尺度應(yīng)該大于節(jié)理跡長的三倍[14]，而朱冬林，龐作會通過實驗研究，得出裂縫性巖石的REV尺度應(yīng)該達(dá)到典型節(jié)理跡長的四倍到八倍的結(jié)論[15,16]。對于節(jié)理跡長在3 m以下的裂縫性儲層，該模型符合等效條件。

3 濾失模型建立及求解

根據(jù)滲流力學(xué)理論，流體在地層中的滲流連續(xù)性方程為：

式中：ρ為壓裂液密度，g/cm3；φ為巖石孔隙度，%。

若考慮儲層巖石和壓裂液流體的壓縮性，將其狀態(tài)方程代入式（12），則等式右邊可以表示為：

式中：P0為原始地層壓力，MPa；φ0、ρ0分別為P0壓力下的地層孔隙度、壓裂液密度，g/cm3；Cφ、Cρ分別為巖石孔隙度、壓裂液的壓縮系數(shù)，MPa-1。

將全滲透率張量及式（13）代入式（12）可得：

初始條件：

邊界條件：

①封閉外邊界條件：

②封閉內(nèi)邊界條件為：

③已知壓力的內(nèi)邊界（水力裂縫）：

式中：P0為原始地層壓力，MPa；PF為裂縫內(nèi)壓力，MPa；Lx為x方向研究區(qū)域長度，m；Ly為y方向研究區(qū)域長度，m。

對式（14）進行差分離散，利用Matlab進行快速求解。

4 實例分析

在400 m×400 m的區(qū)域中，利用儲層裂縫網(wǎng)絡(luò)參數(shù)（表1）生成分形離散裂縫網(wǎng)絡(luò)，然后將其等效為滲透率張量，代入到壓裂液濾失模型中，結(jié)合地層的基本參數(shù)（表2），對壓裂液的濾失過程進行模擬和分析。裂縫分布分形維數(shù)Dc和裂縫尺寸分形維數(shù)Dl分別在其取值范圍內(nèi)取2和3，然后隨機生成滿足分形維數(shù)的離散裂縫網(wǎng)絡(luò)。

表1 儲層裂縫網(wǎng)絡(luò)參數(shù)Table1 Parameters of reservoir fracture networks

表2 地層基礎(chǔ)參數(shù)Table2 Basic parameters of formation

圖3表示利用分形離散裂縫法生成的400 m×400 m的分形離散裂縫網(wǎng)絡(luò)。該方法共生成了406條天然裂縫，裂縫長短不一，分布雜亂，且具有成簇分布特征。利用第二節(jié)中所述方法將其轉(zhuǎn)化為等效滲透率張量，代入濾失模型。

圖3 400 m×400 m的分形離散裂縫網(wǎng)絡(luò)Fig.3 Fractal discrete fracture networks with a dimension of 400 m×400 m

圖4和圖5表示壓裂液濾失到地層中20 min和80 min后地層孔隙壓力分布。結(jié)合圖3可以看出，由于天然裂縫的隨機分布，壓裂液濾失過程中壓力波也存在非均勻傳播的特征。但是從圖5不難看出，由于天然裂縫發(fā)育帶走向呈現(xiàn)北偏東的趨勢，因此壓力波也率先傳播到地層的東北方，從這個特征也可以看出，天然裂縫發(fā)育帶的走向在宏觀上對壓裂液的濾失方向和壓力波的傳播方向起著決定性的作用。

圖4 地層孔隙壓力分布（20 min）Fig.4 Distribution of formation pressure（20 min）

圖5 地層孔隙壓力分布（80 min）Fig.5 Distribution of formation pressure（80 min）

圖6說明垂直于裂縫壁面上壓裂液的濾失速度隨凈壓力的變化而變化。隨著凈壓力的增大，裂縫壁面處的濾失速度也越來越快。結(jié)合圖3可以看出，在靠近壁面40 m左右的地方，有一條接近10 m的長裂縫，從而造成在裂縫壁面40 m處，濾失速度較其他地方明顯較大，這說明壓裂液是優(yōu)先從天然裂縫中進行濾失，且在局部位置，長裂縫對壓裂液的濾失有著關(guān)鍵的控制作用。

圖6 垂直裂縫方向不同凈壓力下壓裂液的濾失速度Fig.6 Filtration rate under different fracture net pressure at the direction perpendicular to hydraulic fracture

圖7表示在裂縫壁面50 m處不同壓裂液黏度（10 mPa·s、15 mPa·s、20 mPa·s、25 mPa·s）下壓裂液的濾失速度，剛開始濾失時，由于裂縫內(nèi)壓力與壁面處的孔隙壓力之間壓差較大，所以濾失速度也較快。當(dāng)壁面處的孔隙壓力增大時，濾失速度也迅速減小。從圖7可以看出，隨著壓裂液黏度的增大，壓裂液的濾失速度在初期減小的幅度較大，隨后幅度逐漸降低。

圖7 不同壓裂液黏度下壓裂液的濾失速度Fig.7 Filtration rate of different fracturing fluid viscosity

5 結(jié)論

1）基于分形離散裂縫法，建立了儲層二維分形離散裂縫網(wǎng)絡(luò)，合理地表征了裂縫儲層中天然裂縫成簇分布的特點，更加符合實際。

2）利用已建立的離散裂縫網(wǎng)絡(luò)模型，通過單元剖分，將其轉(zhuǎn)化為滲透率張量，有利于在數(shù)值模擬過程中研究天然裂縫的隨機非均勻分布特征對壓裂液濾失行為的影響。

3）建立了基于滲透率張量的壓裂液濾失模型，研究了天然裂縫成簇分布特征對壓裂液濾失的影響。計算結(jié)果表明，壓裂液優(yōu)先從天然裂縫中進行濾失，且天然裂縫發(fā)育帶的走向在宏觀上決定了壓裂液的濾失方向和壓力波的傳播方向；壓裂液會沿著長裂縫進行濾失，建議壓裂施工前對裂縫壁面處的天然裂縫進行封堵；壓裂液黏度對濾失速度也有一定的影響。