基于Stewart平臺的隔振與抑振協(xié)同控制研究

王嘉銘， 孔永芳， 黃 海

(北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100191)

隨著高精度衛(wèi)星遙感、空間光通信等應(yīng)用的發(fā)展，星載有效載荷的精度指標(biāo)不斷提高，其對于工作環(huán)境平穩(wěn)性的要求也更為嚴(yán)格。而在軌過程中，衛(wèi)星本體與有效載荷自身均存在產(chǎn)生微振動的干擾源，如衛(wèi)星本體上的動量輪[1]與太陽能電池陣驅(qū)動機構(gòu)[2]、有效載荷攜帶的制冷機[3]與掃擺機構(gòu)[4]，其中，前者稱為間接干擾，后者稱為直接干擾。這些干擾會降低載荷的工作精度，因此，對其進(jìn)行振動控制是必要的。

間接干擾常通過振動隔離來減緩，即阻止振動向載荷傳遞，直接干擾常通過振動抑制來消除，即抑制載荷自身的振動。鑒于直接與間接干擾常同時存在，且頻率成份復(fù)雜，故同時進(jìn)行寬頻帶振動隔離與抑制(即寬帶隔振與抑振協(xié)同控制)更有利于保證精密載荷的工作質(zhì)量。針對星上微振動多自由度的特點，引入經(jīng)典的六自由度并聯(lián)機構(gòu)Stewart平臺作為精密載荷和衛(wèi)星本體之間的連接裝置，可同時實現(xiàn)多自由度振動的隔離與抑制[5]。

柔性Stewart平臺常采用音圈電機并聯(lián)彈簧的設(shè)計，具備高頻被動隔振的能力，在此基礎(chǔ)上，謝溪凌等[6-7]采用積分力反饋方法有效地壓制了平臺在共振峰處的振動，Chi等[8]采用魯棒控制對低頻振動進(jìn)行了隔離。Lin等[9]采用了正向力反饋方法進(jìn)行抑振，能夠?qū)?～15 Hz的直接干擾實現(xiàn)至多10 dB的抑制，抑振帶寬并不理想。上述文獻(xiàn)均是對寬帶隔振或抑振的單獨研究，并未考慮隔振與抑振的協(xié)同控制。

李偉鵬等[10]利用Skyhook和正向力反饋方法開展了單桿隔振與抑振協(xié)同控制實驗，但并未進(jìn)行整臺實驗。Cobb 等[11]分別基于線性時不變?yōu)V波算法和自適應(yīng)陷波濾波器設(shè)計了隔振和抑振控制方法，將5 Hz以上的間接干擾隔離了20 dB、56 Hz的直接干擾引起的振動抑制了37 dB，但由于自適應(yīng)陷波濾波器只能抑制已知頻率的窄帶干擾，故其無法用于寬帶抑振。綜上所述，當(dāng)前未有寬帶隔振與抑振協(xié)同控制的研究成果，仍需進(jìn)一步研究。

針對上述問題，本文以音圈電機驅(qū)動的柔性Stewart平臺為研究對象，以寬帶隔振與抑振協(xié)同控制為研究重點，基于自適應(yīng)濾波控制方法設(shè)計了隔振與抑振一體化控制器，并引入了Skyhook控制回路以提高控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，通過仿真和實驗驗證了控制器在多自由度方向上均具有寬頻帶的隔振、抑振能力。

1 Stewart平臺動力學(xué)特性分析

Stewart平臺由上、下平板和六根伸縮桿組成，如圖1所示，其中，上平板視為有效載荷，下平板與衛(wèi)星本體固聯(lián)，兩者均視為剛體。{P}、{B}分別為固連在上、下平板質(zhì)心處的本體坐標(biāo)系，{U}為慣性坐標(biāo)系，其與{B}系的初始位置重合，初始時刻，三個坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸方位相互平行；Pi、Bi(i=1,2,…,6)分別為六根作動桿與上、下平板相連的鉸接點。

圖1 Stewart平臺示意圖Fig.1 The sketch of the Stewart platform

因作動桿中運動部分的質(zhì)量相對于上平板的質(zhì)量來說是非常小的，故建模時忽略該部分質(zhì)量。將作動桿模型簡化為彈簧阻尼+電機力模型，根據(jù)文獻(xiàn)[12]，平臺在關(guān)節(jié)空間中的動力學(xué)模型為

(1)

(2)

結(jié)合上述參數(shù)解算出Hij(s)，從解算出的Hij(s)具體表達(dá)式可知，Hij(s)的階數(shù)均為十二階，為高階系統(tǒng)。

以Hi1(s)(i=1,2,…,6)為例，畫出其幅頻特性曲線，如圖2所示。

圖2 H11(s)～H61(s)的幅頻特性曲線Fig.2 Magnitude-frequency characteristic curves from H11(s) to H61(s)

由圖2可以看出，在共振頻率處，各桿的加速度響應(yīng)大，阻尼比??；在遠(yuǎn)離共振頻率的頻域，H21的幅值相比于H11低了6 dB，其它四個傳函的幅值更是低了15 dB以上，可見，桿1上控制力引起的其它桿加速度響應(yīng)明顯小于桿1自身的加速度響應(yīng)，表明桿1與其它桿之間耦合較小。

分別查看當(dāng)j=2,3,…，6時H1j(s)至H6j(s)的幅頻特性曲線，均得出了桿j(j=2,…,6)與其它桿之間在非共振頻域耦合較小的結(jié)論。綜上可知，在遠(yuǎn)離共振頻率的區(qū)域，各桿之間耦合較小。

2 控制器設(shè)計

本文的控制目標(biāo)是當(dāng)Stewart平臺的上、下平板受到擾動時，通過控制器調(diào)整音圈電機控制力使上平板的加速度為零。

考慮到本文平臺各桿間耦合較小的特點，為簡化設(shè)計，采用了分散控制策略。在微振動環(huán)境下，六根桿上端沿桿向的加速度與上平板的加速度之間近似呈線性關(guān)系，那么當(dāng)六根桿上端沿桿向加速度均趨近于零時，上平板的加速度也會趨近于零，故控制目標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為當(dāng)作動桿i的上端和下端受到擾動時，通過該桿控制器調(diào)整其音圈電機控制力的大小，使得該桿上端的桿向加速度響應(yīng)趨近于零。

2.1 基于自適應(yīng)濾波的控制器設(shè)計

通常星載精密載荷內(nèi)部無法隨意安裝測量干擾源信號的傳感器，而自適應(yīng)濾波反饋控制[13-14]無需通過額外的傳感器獲取干擾信息，便可估計出干擾并將其消除，因此，本文以自適應(yīng)濾波反饋控制為Stewart平臺的振動控制方法。因該方法能估計并消除上平板所受的所有擾動，故其可以同時實現(xiàn)隔振與抑振。

對第i根作動桿實施單輸入單輸出的基于Filter-X Least Mean Square(FXLMS)算法的自適應(yīng)濾波控制，系統(tǒng)的控制框圖，如圖3所示。

圖3 作動桿i的控制框圖Fig.3 Control loop ofithstrut

(3)

濾波器權(quán)系數(shù)向量的自適應(yīng)律為

(4)

式中：Wi(k+1)=[wi,0(k+1),wi,1(k+1),…,wi,L-1(k+1)]T、Wi(k)=[wi,0(k),wi,1(k),…,wi,L-1(k)]T分別為k+1、k時刻的權(quán)系數(shù)向量，Xi(k)=[xi(k),xi(k-1),…,xi(k-L+1)]T為k時刻的參考信號向量，L-1為濾波器的階數(shù)，μi為收斂因子。

對自適應(yīng)控制而言，傳感器的測量噪聲可能會使權(quán)系數(shù)產(chǎn)生漂移，最終導(dǎo)致系統(tǒng)的突然發(fā)散。為了解決該問題，本文利用死區(qū)技術(shù)對自適應(yīng)律進(jìn)行修正[15]，即給誤差信號一個閾值e0，當(dāng)誤差絕對值小于e0時權(quán)系數(shù)不更新，當(dāng)絕對值大于e0時自適應(yīng)機制開啟。修正后的自適應(yīng)律，如式(5)所示。

(5)

2.2 Skyhook控制回路的引入

由第1節(jié)可知控制通道的阻尼比小，這對FXLMS算法穩(wěn)定性有著不利影響[16]，因此本文在各桿自適應(yīng)濾波反饋控制回路的基礎(chǔ)上引入了簡單常用的增加主動阻尼的控制回路，即Skyhook[17]控制回路。

圖4 作動桿i的帶有Skyhook回路的控制框圖Fig.4 Control loop with Skyhook ofithstrut

Skyhook方法的基本思想是產(chǎn)生與作動桿上端的絕對速度成正比的控制力進(jìn)行負(fù)反饋，從而調(diào)節(jié)作動桿的阻尼特性，改變結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)特性。當(dāng)對六根作動桿施加了Skyhook控制后，Stewart平臺可以被看作一個新系統(tǒng)，自適應(yīng)濾波控制則是對新系統(tǒng)做控制。

由圖4可知，六個音圈電機總控制力組成的向量的拉氏變換可表示為

(6)

式中：

Fa_sky(s)可以寫為

Fa_sky(s)=-G·A(s)·s-1

(7)

式中：G=diag(g1,…,g6)，gi為作動桿i的增益系數(shù)。

將式(6)和式(7)代入式(2)，整理得Fa_AFF(s)到A(s)的傳遞關(guān)系為

(G+B)s+K)-1Fa_AFF(s)=

H′(s)Fa_AFF(s)

(8)

(a) 幅頻特性

(b) 相頻特性圖至的頻率特性曲線Fig.5 Magnitude-phase frequency characteristic curve

(9)

2.3 控制器穩(wěn)定性

自適應(yīng)濾波控制的穩(wěn)定性由控制通道的估計誤差和收斂因子的大小決定[18]。

對于控制通道的估計誤差，文獻(xiàn)[19]指出，控制通道的相位估計誤差在±90°內(nèi)才能保證系統(tǒng)穩(wěn)定。本文在第3節(jié)和第4節(jié)分別開展了仿真和實驗，在仿真中，控制通道的估計值取式(9)，實際控制通道模型通過辨識Adams動力學(xué)模型得到，兩者的頻率特性對比如圖6所示；在實驗中，由于實驗系統(tǒng)存在約一個采樣周期(1 ms)的延時，因此控制通道的估計值需在式(9)的基礎(chǔ)上乘以z-1，實際控制通道模型通過辨識實驗系統(tǒng)得到，兩者的頻率特性對比，如圖7所示。

(a) 幅頻特性

(b) 相頻特性圖6 仿真控制通道模型對比Fig.6 Comparison of simulation control channel model

(a) 幅頻特性

(b) 相頻特性圖7 實驗控制通道模型對比Fig.7 Comparison of experimental control channel model

從圖6、7可以看出，仿真和實驗中控制通道的估計誤差都較小，相位誤差在±20°以內(nèi)，滿足相位誤差在±90°內(nèi)的穩(wěn)定性要求。

對于收斂因子，在控制通道的估計有無誤差兩種情況下，其取值上限公式有所不同[20]，由于有誤差時的上限公式十分復(fù)雜，因此在誤差較小的情況下，可以先依據(jù)無誤差時的公式(見式(10))計算上限值，再適當(dāng)?shù)貙⒃撝嫡{(diào)小作為真正的上限。

(10)

3 Stewart平臺控制仿真

利用Adams和Matlab聯(lián)合控制仿真檢驗控制器的有效性。平臺的剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)模型在Adams中建立，其中柔性部件(膜簧和柔性鉸鏈)的有限元模型由Patran建立。控制系統(tǒng)在Matlab/Simulink中搭建。動力學(xué)模型如圖8所示，F(xiàn)dP_z為上平板X軸上距原點127 mm處受到的沿Z向的直接干擾力，其可同時提供Z向和繞Y向的干擾；AdB_z為下平板中心處受到的沿Z向的干擾加速度。

圖8 Adams動力學(xué)模型Fig.8 Adams dynamic model

仿真由上、下平板單獨受擾和同時受擾三部分組成。上平板單獨受擾(抑振)仿真工況：AdB_z=0 mg，F(xiàn)dP_z=1·sin(40πt)N；下平板單獨受擾(隔振)仿真工況：FdP_z=0 N，AdB_z=20·sin(20πt)mg；上、下平板同時受擾(隔/抑振協(xié)同控制)仿真工況FdP_z=1·sin(40πt)N，AdB_z=20·sin(20πt)mg。

仿真結(jié)果分別如圖9～11所示，加控后上平板的加速度幅值衰減均在94.3%以上，控制效果顯著，初步驗證了所設(shè)計的控制器在隔振與抑振控制中的有效性。

(a) Z方向

(b) Y轉(zhuǎn)動方向圖9 抑振仿真中上平板的加速度響應(yīng)Fig.9 Acceleration responses of the upper plate in vibration isolation simulation

圖10 隔振仿真中上、下平板Z向的加速度響應(yīng)

Fig.10Zdirection acceleration response of the upper plate in vibration isolation simulation

(a) Z方向

(b) Y轉(zhuǎn)動方向圖11 隔/抑振仿真中上平板的加速度響應(yīng)Fig.11 Acceleration responses of the upper plate in vibration isolation/suppression simulation

4 Stewart平臺控制實驗

實驗系統(tǒng)原理如圖12所示，主要分為懸吊系統(tǒng)、電控系統(tǒng)和激勵系統(tǒng)。懸吊系統(tǒng)包括懸吊彈簧和固定支架，用于抵消上平板受到的重力。電控系統(tǒng)包括9個高分辨率LC0108型單軸加速度計及與其配套的LC0205型信號調(diào)理器(加速度計布置情況見圖12)、高精度18位PCI-6280型A/D卡、工控機(RTAI實時操作系統(tǒng))、高精度16位PCI-6733型D/A卡、基于運放器OPA549設(shè)計的低噪聲高驅(qū)動精度的電機驅(qū)動器。激勵系統(tǒng)包括微振動激勵臺和JZK-2型號激振器，激勵臺安裝于下平板的下方，可以給下平板施加六個自由度的擾動，激振器固定在下平板上，通過螺桿對上平板X軸上距原點0.127 m處施加沿Z向的干擾力，即同時施加Z向和繞Y向的干擾，實驗裝置如圖13所示。

圖12 實驗系統(tǒng)原理圖Fig.12 Schematic diagram of the experimental system

圖13 實驗系統(tǒng)Fig.13 The experimental system

1) 上平板受定頻擾動

工況：下平板固定，激振器對上平板施加幅值約為1.5 N，頻率為20 Hz的沿Z向正弦干擾力。

上平板Z方向、繞Y方向的加速度響應(yīng)如圖14所示，加控后，Z向加速度振幅從7.72 mg降到0.70 mg，衰減幅度達(dá)到91%；繞Y向的角加速度振幅從0.631 rad/s2降到0.064 rad/s2，衰減幅度達(dá)到89.9%，抑振效果良好。

(a) Z方向

(b) Y轉(zhuǎn)動方向圖14 抑振實驗中上平板的加速度響應(yīng)Fig.14 Acceleration responses of the upper plate in vibration suppression experiment

為了驗證Skyhook對提高控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的有效性，在相同的工況下，去掉控制器中的Skyhook控制回路，只用自適應(yīng)濾波進(jìn)行控制，進(jìn)行了對比實驗。

上平板的加速度響應(yīng)如圖15所示，可見收斂過程中存在振蕩現(xiàn)象。而圖14表明當(dāng)控制器中存在Skyhook控制回路時，自適應(yīng)過程十分穩(wěn)定，兩次實驗結(jié)果的對比驗證了引入Skyhook控制回路的有效性。

2) 上平板受掃頻擾動

工況：下平板固定，激振器對上平板施加幅值約為1 N，頻率為5～100 Hz的干擾力，掃頻速率為0.5 Hz/s。

在無控和加控兩種情況下，采集上平板的加速度響應(yīng)，對其進(jìn)行FFT變換并將幅值單位轉(zhuǎn)換成分貝，得到如圖16所示的頻域響應(yīng)。

(a) Z方向

(b) Y轉(zhuǎn)動方向圖15 無Skyhook時上平板的加速度響應(yīng)Fig.15 Acceleration responses of the upper plate without Skyhook

(a) Z方向

(b) Y轉(zhuǎn)動方向圖16 抑振掃頻實驗中上平板的加速度頻域響應(yīng)Fig.16 Acceleration responses of the upper plate in vibration isolation sine sweep experiment

由圖16可以看出，在6～50 Hz頻率范圍內(nèi)，加控系統(tǒng)的加速度響應(yīng)與無控系統(tǒng)相比可衰減至少16 dB，實現(xiàn)了寬帶抑振。50 Hz以后控制效果減弱是因為上平板在70 Hz存在柔性模態(tài)。17 Hz及其倍頻處的共振峰是由懸吊彈簧的自振引起。

3) 下平板受定頻擾動

工況：激振器不對上平板施擾，激勵臺對下平板Z向施加幅值約為20 mg，頻率為10 Hz正弦干擾。

上平板Z向的加速度響應(yīng)如圖17所示，2 s時加控，加控后上平板Z向的加速度幅值從6.92 mg減小到0.86 mg，振動傳遞率相應(yīng)地從-9.22 dB降到-27.33 dB，隔振效果良好。

圖17 隔振實驗中上平板Z向的加速度響應(yīng)

Fig.17Zdirection acceleration response of the upper plate in vibration isolation experiment

4) 下平板受掃頻擾動

工況：激振器不對上平板施擾，激勵臺對下平板Z向施加頻率為5～100 Hz的正弦干擾，掃頻速率為0.5 Hz/s，干擾的幅值在5～10 Hz區(qū)間內(nèi)由5 mg線性增加到20 mg，在10～100 Hz區(qū)間內(nèi)保持約20 mg。

因為Skyhook是一種經(jīng)典的隔振控制方法，所以實驗中采用了Skyhook進(jìn)行對比實驗。無控、Skyhook控制以及Skyhook和自適應(yīng)濾波的復(fù)合控制三種情況下Z向的振動傳遞率曲線，如圖18所示。

圖18 Z向振動傳遞率Fig.18 Z direction transmissibility

由圖18可以看出，無控系統(tǒng)在5 Hz左右存在共振峰，在18 Hz達(dá)到-20 dB的衰減率。Skyhook成功降低了共振頻率處的峰值，但在其它頻率處的控制效果有限。本文設(shè)計的Skyhook和自適應(yīng)濾波的復(fù)合控制使系統(tǒng)在7.3 Hz即可達(dá)到-20 dB的衰減率，大幅提高了低頻隔振性能，效果優(yōu)于Skyhook。

在30 Hz以后，無控和復(fù)合控制的隔振效果相同，這是因為在30 Hz以后被動隔振已經(jīng)達(dá)到了良好的隔振效果，下平板擾動只會引起很小的桿向加速度響應(yīng)，因此在自適應(yīng)律中的死區(qū)技術(shù)的作用下，自適應(yīng)濾波方法不工作，避免了不必要的能源消耗。

5) 上、下平板同時受定頻擾動

工況：激振器對上平板施加幅值約為1 N，頻率為20 Hz的正弦干擾力，同時激勵臺對下平板Z向施加幅值為1 mg，頻率為7 Hz的正弦干擾。

上平板的加速度響應(yīng)如圖19所示，2 s時加控，加控后Z向加速度振幅從8.31 mg降到0.86 mg，振幅衰減達(dá)到89.7%；繞Y向的角加速度振幅從0.733 rad/s2降到0.076 rad/s2，振幅衰減達(dá)到89.6%。結(jié)果表明，當(dāng)上、下平板同時受到擾動時，控制器仍可以達(dá)到顯著的控制效果。

(a) Z方向

(b) Y轉(zhuǎn)動方向圖19 隔/抑振實驗中上平板的加速度響應(yīng)

Fig.19 Acceleration responses of the upper plate in vibration isolation/suppression experiment

6) 上、下平板同時受掃頻擾動

工況：激振器對上平板施加幅值約為0.7 N，頻率為5～100 Hz的正弦干擾力，掃頻速率為0.5 Hz/s，同時激勵臺對下平板Z方向施加頻率為5～100 Hz的正弦干擾，掃頻速率為0.5 Hz/s，干擾的幅值在5～10 Hz區(qū)間內(nèi)由1 mg線性增加到10 mg，在30～100 Hz區(qū)間內(nèi)保持約10 mg。

無控和加控下上平板加速度的頻域響應(yīng),如圖20所示。

(a) Z方向

(b) Y轉(zhuǎn)動方向圖20 隔/抑振掃頻實驗中上平板的加速度頻域響應(yīng)

Fig.20 Acceleration responses of the upper plate in vibration isolation/suppression sine sweep experiment

由圖20可以看出，在6～50 Hz頻率范圍內(nèi)，加控系統(tǒng)的加速度響應(yīng)與無控系統(tǒng)相比可實現(xiàn)至少12 dB的衰減，進(jìn)一步表明了本文設(shè)計的控制器實現(xiàn)寬帶隔振與抑振的能力。

5 結(jié) 論

(1) 通過在自適應(yīng)濾波控制回路的基礎(chǔ)上引入增加主動阻尼的Skyhook控制回路，有效地消除了控制通道小阻尼比特性對自適應(yīng)濾波算法穩(wěn)定性的不利影響。

(2) 所提出的結(jié)合Skyhook的自適應(yīng)濾波控制方法成功實現(xiàn)了Stewart平臺的寬帶隔振與抑振協(xié)同控制：上平板單獨受擾時，平臺對于6～50 Hz未知直接干擾引起的擾動可實現(xiàn)16 dB以上的抑制；下平板單獨受擾時，-20 dB振動傳遞率的起始頻率由18 Hz減小至7 Hz；上下平板同時受擾時，平臺可對6～50 Hz頻率范圍內(nèi)的擾動實現(xiàn)12 dB以上的衰減。