非均勻壓電薄板面內(nèi)自由振動(dòng)的精確解

劉宗民， 張 健， 宋海燕

(哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院，哈爾濱 150001)

板的面內(nèi)振動(dòng)發(fā)生在平行于板平面的方向上，因其振動(dòng)頻率一般遠(yuǎn)高于通常的激勵(lì)頻率，所以相對(duì)于發(fā)生在垂直于板平面方向的橫向振動(dòng)而言，關(guān)于板面內(nèi)振動(dòng)的研究是很少的。雖然面內(nèi)振動(dòng)的早期研究可以追溯到19世紀(jì)Rayleigh的開拓性工作[1]，但一百多年來(lái)面內(nèi)振動(dòng)的研究一直處于停滯狀態(tài)。近年來(lái)，隨著高速飛行器和高速艦船的不斷發(fā)展，以及直線型壓電超聲電機(jī)的研制，面內(nèi)振動(dòng)問(wèn)題顯得尤為突出，板的面內(nèi)振動(dòng)問(wèn)題逐漸成為當(dāng)前工程領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)，并引起國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。

邢譽(yù)峰、劉波[2-4]指出，行駛中的船舶或飛行器在外界快速流動(dòng)流體的激勵(lì)下，會(huì)發(fā)生面內(nèi)振動(dòng)，并采用空間坐標(biāo)分離變量方法(非逆法)給出了板殼在簡(jiǎn)支和固支邊界任意組合情況下自由振動(dòng)的封閉(非級(jí)數(shù))形式精確解。劉劍等[5]指出，利用面內(nèi)振動(dòng)模態(tài)是直線型超聲電機(jī)發(fā)展的主流。通過(guò)其結(jié)構(gòu)的合理設(shè)計(jì)，在這種新型直線型超聲電機(jī)中，矩形壓電陶瓷薄板既充當(dāng)了把電能向機(jī)械能轉(zhuǎn)換的角色，又充當(dāng)了驅(qū)動(dòng)振子(定子)的作用。Bardell等[6]采用瑞利-里茲方法計(jì)算了板面內(nèi)自由振動(dòng)的頻率，并對(duì)面內(nèi)振動(dòng)的早期研究進(jìn)行較為全面的梳理與評(píng)述。Gorman[7-9]采用疊加方法對(duì)自由、簡(jiǎn)支與固支邊界條件下的矩形板面內(nèi)自由振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了研究。Du等[10-11]采用改進(jìn)的傅里葉級(jí)數(shù)方法分析了彈性支撐板的面內(nèi)自由振動(dòng)問(wèn)題。裴然等[12]采用二維改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)方法研究了矩形板結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)特性。王青山等[13]采用改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法(Improved Fourier Series Method,IFSM) 對(duì)矩形板在任意邊界下的面內(nèi)自由振動(dòng)特性進(jìn)行了研究。Masahiro[14]對(duì)沿板厚方向極化的壓電矩形板的面內(nèi)振動(dòng)進(jìn)行了二維瞬態(tài)分析。

王保林等[15]指出，要得到非均勻材料的力學(xué)問(wèn)題的精確解是非常困難的。本文假設(shè)壓電材料參數(shù)沿厚度方向以同一指數(shù)形式變化，給出了非均勻壓電薄板面內(nèi)自由振動(dòng)的基本方程。應(yīng)用分離變量方法，對(duì)四邊簡(jiǎn)支非均勻壓電薄板的面內(nèi)自由振動(dòng)的精確解進(jìn)行了研究，并通過(guò)算例討論了相關(guān)問(wèn)題。邢譽(yù)峰等提出的分離變量方法，是一個(gè)研究面內(nèi)自由振動(dòng)精確解的行之有效的方法，本文在以往彈性薄板面內(nèi)自由振動(dòng)精確解研究的基礎(chǔ)上，將面內(nèi)自由振動(dòng)精確解的研究拓展到了非均勻壓電薄板，這既是對(duì)以往研究的發(fā)展，同時(shí)也會(huì)促進(jìn)面內(nèi)自由振動(dòng)在非均勻材料力學(xué)領(lǐng)域的研究。

1 基本方程

非均勻壓電薄板的基本方程為

本構(gòu)關(guān)系

(1)

幾何方程

(2)

考慮到壓電板很薄(h/ai?1)，所以可以用應(yīng)力沿厚度的平均值描述壓電薄板的應(yīng)力狀態(tài)[16]，即

(3)

將式(1)和(2)代入(3)，可得恒定電場(chǎng)下非均勻壓電薄板的面內(nèi)自由振動(dòng)微分方程

(4)

面內(nèi)自由主振動(dòng)可以寫成

(5)

把式(5)代入式(4)可得

(6)

第一種邊界條件SS1[2]：

(7)

第二種邊界條件SS2[2]：

(8)

式中

2 精確解

式(5)分離變量形式的精確解為

(9)

式中

φ1=A1cos(Ωx)+A2sin(Ωx),

φ2=A3cos(Λx)+A4sin(Λx),

ψ1=B1cos(Ty)+B2sin(Ty),

ψ2=B3cos(Zy)+B4sin(Zy)

將邊界條件(7)和(8)代入式(9)，可得相應(yīng)的本征函數(shù)和本征方程，如表1和表2所示。

表1對(duì)邊x=0和a為SS1和SS2的四種組合及對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)和本征值方程

Tab.1Theeigenvalueequationsandeigenfunctionsforthesimplesupportoppositeedgesx=0，a

邊界條件本征值方程本征函數(shù)SS2-SS2SS1-SS1SS2-SS1SS1-SS2sin(Ωa)=0sin(Ωa)=0cos(Ωa)=0cos(Ωa)=0u1(x)=k1sin(Ωx),v1(x)=cos(Ωx)u1(x)=k1cos(Ωx),v1(x)=sin(Ωx)u1(x)=k1sin(Ωx),v1(x)=cos(Ωx)u1(x)=k1cos(Ωx),v1(x)=sin(Ωx)

兩種簡(jiǎn)支邊界條件在四條邊上有6種不同的組合，分別為:SS1-SS1-SS1-SS1，SS2-SS2-SS2-SS2，SS1-SS2-SS2-SS2，SS1-SS1-SS2-SS2，SS1-SS2-SS1-SS2， SS1-

表2對(duì)邊y=0和b為SS1和SS2的四種組合及對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)和本征值方程

Tab.2Theeigenvalueequationsandeigenfunctionsforthesimplesupportoppositeedgesy=0，b

邊界條件本征值方程本征函數(shù)SS2-SS2SS1-SS1SS2-SS1SS1-SS2sin(Tb)=0sin(Tb)=0cos(Tb)=0cos(Tb)=0u2(y)=cos(Ty),v2(y)=k3sin(Ty)u2(y)=sin(Ty),v2(y)=k3cos(Ty)u2(y)=cos(Ty),v2(y)=k3sin(Ty)u2(y)=sin(Ty),v2(y)=k3cos(Ty)

SS1-SS1-SS2。

由表1和表2可知SS1-SS1-SS1-SS1板的本征函數(shù)為

U(x,y)=k1cos(Ωx)sin(Ty)

V(x,y)=k3sin(Ωx)cos(Ty)

(10)

把式(10)代入式(6)，并整理可得

[(1+a1)Ω2+(1+a2)T2]β2+β4=0

(11)

由式(11)解出頻率參數(shù)β，可得

(12)

3 算 例

以四邊簡(jiǎn)支(SS1-SS1-SS1-SS1)情況為例，非均勻壓電矩形薄板厚度h=0.02 m，維度a×b=1 m×1.2 m。BaTiO3材料參數(shù)參照文獻(xiàn)[17]。

當(dāng)k的取值變化時(shí)，四邊簡(jiǎn)支非均勻壓電矩形薄板面內(nèi)自由振動(dòng)的頻率,如表3所示。

表3 非均勻壓電薄板面內(nèi)自由振動(dòng)頻率Tab.3 Frequency for free in-plane vibrations of inhomogeneous rectangular piezoelectric plate

四邊簡(jiǎn)支情況下，不均勻系數(shù)k與頻率ω的關(guān)系,如圖1所示。

圖1 不均勻系數(shù)k與面內(nèi)振動(dòng)頻率ω的關(guān)系圖Fig.1 The relationship between non-uniform coefficient k and frequency for free in-plane vibrations ω

由圖1可看出，當(dāng)k取正數(shù)時(shí)，隨著k值增大，頻率

也隨之增大，頻率增速由頻率的階數(shù)決定，階數(shù)越高，頻率增長(zhǎng)的越快；當(dāng)k取負(fù)數(shù)時(shí)，隨著k值減小，頻率隨之增大，相應(yīng)的增幅也越快。當(dāng)選取SS2-SS2-SS2-SS2，SS1-SS2-SS2-SS2，SS1-SS1-SS2-SS2，SS1-SS2-SS1-SS2，SS1-SS1-SS1-SS2這5種四邊簡(jiǎn)支情況時(shí)，也可以得到如上結(jié)論。

四邊簡(jiǎn)支情況下，前四階振型,如圖2所示。

將非均勻壓電薄板退化為非均勻彈性薄板，當(dāng)k的取值變化時(shí)，四邊簡(jiǎn)支非均勻彈性薄板面內(nèi)自由振動(dòng)的頻率,如表4所示。

當(dāng)k=0時(shí)，η*(0)=1，非均勻彈性薄板退化為均勻彈性薄板，頻率參數(shù)β,如表5所示。

由表5可以看出，四邊簡(jiǎn)支均勻彈性薄板面內(nèi)自由振動(dòng)頻率參數(shù)β與文獻(xiàn)[2,18]的結(jié)果相差很小,可以證明本文所給精確解的正確性。

(a) SS1-SS1-SS1-SS1前四階振型圖

(b) SS2-SS2-SS2-SS2前四階振型圖

(c) SS1-SS2-SS1-SS1前四階振型圖

(d) SS1-SS2-SS2-SS1前四階振型圖

(e) SS1-SS2-SS1-SS2前四階振型圖

(f) SS1-SS2-SS2-SS2前四階振型圖圖2 四邊簡(jiǎn)支情況前四階振型圖Fig.2 The fourth order vibration modes of simply supported表4 非均勻彈性薄板面內(nèi)自由振動(dòng)頻率Tab.4 Frequency for free in-plane vibrations of inhomogeneous rectangular elastic plate

k頻率序號(hào)12345678910Ωa/π0110012202Tb/π1011220132-3ω/105 Hz0.098 10.117 70.153 20.165 80.196 20.228 80.235 40.255 00.294 30.306 5-2ω/105 Hz0.089 30.107 10.139 40.150 90.178 50.208 20.214 20.232 10.267 80.278 8-1ω/105 Hz0.084 10.100 90.131 30.142 10.168 10.196 00.201 70.218 50.252 20.262 60ω/105 Hz0.082 30.098 80.128 60.139 20.164 70.192 00.197 60.214 10.247 00.257 21ω/105 Hz0.084 10.100 90.131 30.142 10.168 10.196 00.201 70.218 50.252 20.262 62ω/105 Hz0.089 30.107 10.139 40.150 90.178 50.208 20.214 20.232 10.267 80.278 83ω/105 Hz0.098 10.117 70.153 20.165 80.196 20.228 80.235 40.255 00.294 30.306 5注:楊氏模量E=72×109 Pa,泊松比υ=0.3

表5 均勻彈性薄板面內(nèi)自由振動(dòng)頻率參數(shù)Tab.5 Frequency parameters for free in-plane vibrations of homogeneous rectangular elastic plate

4 結(jié) 論

本文假設(shè)壓電材料參數(shù)沿厚度方向以同一指數(shù)形式變化，給出了非均勻壓電薄板面內(nèi)自由振動(dòng)的基本方程。應(yīng)用分離變量方法，給出了四邊簡(jiǎn)支非均勻壓電薄板面內(nèi)自由振動(dòng)的精確解。

分析了非均勻壓電薄板的不均勻系數(shù)與面內(nèi)自由振動(dòng)頻率之間變化規(guī)律。在四邊簡(jiǎn)支情況下，當(dāng)不均勻系數(shù)取正數(shù)時(shí)，隨著數(shù)值的增大，頻率也隨之增大，頻率增速由頻率階數(shù)決定，階數(shù)越高，頻率增長(zhǎng)的越快；當(dāng)不均勻系數(shù)取負(fù)數(shù)時(shí)，隨著數(shù)值的減小，頻率隨之增大，頻率增速由頻率階數(shù)決定，階數(shù)越高，頻率增長(zhǎng)的越快。研究表明非均勻壓電材料可以通過(guò)調(diào)整材料的組成，使其動(dòng)力學(xué)性能得以提高，從而滿足結(jié)構(gòu)特殊的功能需要。

將非均勻壓電薄板退化為非均勻彈性薄板，得到四邊簡(jiǎn)支非均勻彈性薄板面內(nèi)自由振動(dòng)頻率。進(jìn)一步將非均勻彈性薄板退化為均勻彈性薄板，得到四邊簡(jiǎn)支均勻彈性薄板面內(nèi)自由振動(dòng)的頻率參數(shù)，并驗(yàn)證了其精確解的正確性。