各有一個(gè)線性項(xiàng)的兩個(gè)新的混沌系統(tǒng)及其異結(jié)構(gòu)同步

鮮永菊， 夏 誠， 鐘 德， 徐昌彪

(1. 重慶郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院， 重慶 400065； 2. 重慶郵電大學(xué) 光電工程學(xué)院， 重慶 400065)

混沌理論的研究和應(yīng)用在許多領(lǐng)域[1-5]得到了極大的關(guān)注。自Lorenz于1963年發(fā)現(xiàn)第一個(gè)混沌吸引子[6]以來，許多學(xué)者提出了各種新型混沌系統(tǒng)，如Chen系統(tǒng)[7]，Lü系統(tǒng)[8]，Liu系統(tǒng)[9]等。大多數(shù)混沌系統(tǒng)屬于非線性系統(tǒng)，且具有非零特征根的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，但仍有許多特殊的系統(tǒng)存在。文獻(xiàn)[10]報(bào)告了一個(gè)沒有平衡點(diǎn)的系統(tǒng)。Yang等發(fā)現(xiàn)了一個(gè)只有兩個(gè)穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)的類Lorenz混沌系統(tǒng)[11]，同時(shí)還發(fā)現(xiàn)了一個(gè)具有一個(gè)鞍點(diǎn)和兩個(gè)穩(wěn)定焦節(jié)點(diǎn)的混沌系統(tǒng)[12]。孫常春等[13]提出了一個(gè)具有無窮平衡點(diǎn)的三維混沌系統(tǒng)。這些系統(tǒng)的發(fā)現(xiàn)促進(jìn)了人們對(duì)混沌現(xiàn)象更深入的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步豐富和完善了混沌理論。

在混沌理論的研究中，另一個(gè)重要的研究課題是混沌同步。在實(shí)際同步中，由于各種原因很難保證兩個(gè)系統(tǒng)能完全相同，尤其是混沌同步技術(shù)在保密通信中的應(yīng)用。因?yàn)橥ㄐ畔到y(tǒng)的發(fā)送端和接收端不同，而采用不同的混沌系統(tǒng)將會(huì)提高通信系統(tǒng)的安全性。因此，如何設(shè)計(jì)異結(jié)構(gòu)同步控制器，使得系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)穩(wěn)定的同步，并將異結(jié)構(gòu)同步控制技術(shù)應(yīng)用到保密通信中增加保密安全性，將更加具有現(xiàn)實(shí)意義。羅小華等[14]采用異結(jié)構(gòu)自適應(yīng)同步控制實(shí)現(xiàn)了Liu系統(tǒng)和Rǒssler系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)同步，兩個(gè)系統(tǒng)分別屬于廣義Lorenz系統(tǒng)族和廣義Chen系統(tǒng)族。李建平等[15]構(gòu)造主動(dòng)控制器實(shí)現(xiàn)了Lorenz混沌系統(tǒng)和Qi混沌系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)同步，兩個(gè)系統(tǒng)均屬于廣義Lorenz系統(tǒng)。于娜等[16]利用Lyapunov直接法在響應(yīng)系統(tǒng)中構(gòu)造非線性函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)同步。本文采用主動(dòng)控制同步法對(duì)兩個(gè)新系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)異結(jié)構(gòu)同步，兩個(gè)系統(tǒng)均屬于廣義Lü系統(tǒng)族。

基于以上研究，本文構(gòu)建了兩個(gè)只有一個(gè)線性項(xiàng)的新型混沌系統(tǒng)，它們均有線平衡，且都為不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。此外，該組混沌系統(tǒng)中的拓?fù)漶R蹄和拓?fù)潇匾餐ㄟ^拓?fù)漶R蹄理論和數(shù)值計(jì)算進(jìn)行了討論?；跅l件Lyapunov穩(wěn)定性理論，采用主動(dòng)控制同步法實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)新混沌系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)同步。數(shù)值仿真和理論分析驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)控制器的有效性。

1 系統(tǒng)模型及其基本特性

系統(tǒng)(1)的數(shù)學(xué)模型為：

(1)

系統(tǒng)(2)的數(shù)學(xué)模型為：

(2)

式中：x，y，z為系統(tǒng)變量；ax和az為實(shí)常數(shù)。

1.1 系統(tǒng)(1)的特性分析

取參數(shù)az=-0.3，初始值為[2，2，2] ，系統(tǒng)(1)存在一個(gè)典型的吸引子，如圖1所示。此時(shí)三個(gè)Lyapunov指數(shù)為L1=0.148，L2=0.001，L3=-2.168，其Lyapunov維數(shù)為DL=2.070，顯然系統(tǒng)(1)處于混沌態(tài)。

(a) x-y

(b) x-z

(c) y-z圖1 系統(tǒng)(1)的相圖Fig.1 Phase diagram of system (1)

1) 平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性

令式(1)的左邊等于0，得：

(3)

取az=-0.3時(shí)，系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)為：

S0=(0，y*，0)(y*∈R)，

S1= (0.381，-0.155，0.184)，

S2= (-0.381，0.225，-0.184)。

其中S0=(0，y*，0)(y*∈R)為線平衡。

線性化系統(tǒng)(1)，得其Jacobi矩陣為：

在S0處，特征根為λ1=λ2=0，λ3=-0.3，則S0不穩(wěn)定；在S1處，特征根為λ1=-0.474，λ2=0.105，λ3=0.437，則S1為不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)；在S2處，特征根為λ1=-0.165+0.192i，λ2=-0.165-0.192i，λ3=-0.338，則S2為穩(wěn)定平衡點(diǎn)。

2) Lyapunov指數(shù)和分岔圖

采用Jacobi矩陣方法得Lyapunov指數(shù)譜，如圖2所示。系統(tǒng)變量z隨系統(tǒng)參數(shù)az變化的分岔圖，如圖3所示?？芍到y(tǒng)通向混沌的道路為倍周期分岔道路。

圖2 系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)譜Fig.2 Lyapunov exponent spectrum of system (1)

圖3 系統(tǒng)(1)的分岔圖Fig.3 Bifurcation diagram of system (1)

1.2 系統(tǒng)(2)的特性分析

取參數(shù)ax=-2，初始值為[2，2，2] ，系統(tǒng)(2)存在一個(gè)典型的吸引子，如圖4所示。此時(shí)三個(gè)Lyapunov指數(shù)為L1=0.632，L2=-0.001，L3=-24.733，其Lyapunov維數(shù)為DL=2.026，顯然系統(tǒng)(2)處于混沌態(tài)。

(a) x-y

(b) x-z

(c) y-z圖4 系統(tǒng)(2)的相圖Fig.4 Phase diagram of system (2)

1) 平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性

令式(2)的左邊等于0，得：

(4)

取ax=-2時(shí)，系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)為：

S0=(0，y*，0)(y*∈R)，

S1=(2.219，0.901，2.219)。

其中S0=(0，y*，0)(y*∈R)為線平衡。

線性化系統(tǒng)(2)，得其Jacobi矩陣為：

在S0處，特征根為λ1=λ2=λ3=0；在S1處，特征根為λ1=3.634+4.478i，λ2=3.634-4.478i，λ3=-15.381?？芍胶恻c(diǎn)都是不穩(wěn)定點(diǎn)。

2) Lyapunov指數(shù)和分岔圖

采用Jacobi矩陣方法得Lyapunov指數(shù)譜，如圖5所示。系統(tǒng)變量z隨系統(tǒng)參數(shù)ax變化的分岔圖，如圖6所示?？芍植韴D呈倒分岔，即系統(tǒng)通向混沌的道路為倍周期分岔道路。

圖5 系統(tǒng)(2)的Lyapunov指數(shù)譜Fig.5 Lyapunov exponent spectrum of system (2)

圖6 系統(tǒng)(2)的分岔圖Fig.6 Bifurcation diagram of system (2)

2 新系統(tǒng)中的拓?fù)漶R蹄與拓?fù)潇?/h2>

令Z為度量空間，D是Z緊子集，H：D→Z是一個(gè)滿足存在D的m個(gè)互不相交的連通子集[D1，D2，…，Dm]，且對(duì)于每個(gè)Di都有H|Di連續(xù)。

推論1[17-19]如果Hm(D1)|→D1，Hm(D1)|→D2，Hn(D2)|→D1且Hn(D2)|→D2，那么存在一個(gè)緊不變子集K?D，使Hm+n|K半共軛于2位移映射，并且拓?fù)潇貫閑nt(H)≥1/(m+n)log 2。

例1系統(tǒng)(1)的拓?fù)漶R蹄與拓?fù)潇?/p>

取az=-0.3，初始條件為[2，2，2]。選取的Poincare截面為：

Π={(x，y，z)|z=0}

定義Poincare映射P：Π→Π為：對(duì)每個(gè)(x，y，0)∈Π，P(x，y，0)是系統(tǒng)(1)在初始條件(x，y，0)的流下的第一回歸映射。經(jīng)過多次嘗試，找到了一個(gè)拓?fù)漶R蹄，如圖7所示，其馬蹄映射，如圖8所示。

圖7 系統(tǒng)(1)的拓?fù)漶R蹄Fig.7 Topological horseshoe of system (1)

圖8 系統(tǒng)(1)的馬蹄映射Fig.8 Horseshoe map of system (1)

其中D1的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為：

(1.695957249，-1.852777778)

(1.683596654，-1.906481481)

(1.744749071，-2.015740741)

(1.755157993，-1.952777778)

D2的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為：

(1.760362454，-1.960185185)

(1.751905204，-2.021296296)

(1.863150558，-2.086111111)

(1.864451673，-2.025000000)

數(shù)值計(jì)算表明，H下的兩個(gè)子集D1和D2連續(xù)。由圖7和圖8可以看出：H4(D1)|→D1，H4(D1)|→D2，H2(D2)|→D1，H2(D2)|→D2。根據(jù)推論1可知，系統(tǒng)的一次回歸Poincare映射與一個(gè)2移位映射拓?fù)浒牍曹?，其拓?fù)潇貫閑nt(H)≥1/6log 2。因?yàn)橥負(fù)潇貫檎?，表明系統(tǒng)(1)是混沌的。

例2系統(tǒng)(2)的拓?fù)漶R蹄與拓?fù)潇?/p>

取ax=-2，初始條件為[2，2，2]。選取的Poincare截面為：

Π={(x，y，z)|z=0}

定義Poincare映射P：Π→Π為：對(duì)每個(gè)(x，y，0)∈Π，P(x，y，0)是系統(tǒng)(2)在初始條件(x，y，0)的流下的第一回歸映射。經(jīng)過多次嘗試，找到了一個(gè)拓?fù)漶R蹄，如圖9所示，其馬蹄映射如圖10所示。

圖9 系統(tǒng)(2)的拓?fù)漶R蹄Fig.9 Topological horseshoe of system (2)

圖10 系統(tǒng)(2)的馬蹄映射Fig.10 Horseshoe map of system (2)

其中D1的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為：

(2.325840232，0.893711420)

(2.350715510，0.811921296)

(2.249348751，0.652970679)

(2.220742182，0.733217593)

D2的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為：

(2.209548306，0.714699074)

(2.235045466，0.628279321)

(2.155444576，0.509452160)

(2.128703653，0.595871914)

數(shù)值計(jì)算表明，H下的兩個(gè)子集D1和D2連續(xù)。由圖9和圖10可以看出：H2(D1)|→D1，H2(D1)|→D2，H2(D2)|→D1，H2(D2)|→D2。根據(jù)推論1可知，系統(tǒng)的一次回歸Poincare映射與一個(gè)2移位映射拓?fù)浒牍曹棧渫負(fù)潇貫閑nt(H)≥1/4log 2。因?yàn)橥負(fù)潇貫檎?，表明系統(tǒng)(2)是混沌的。

3 混沌系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)同步

采用條件Lyapunov控制方法使系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)達(dá)到混沌同步。取驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為：

(5)

其中x1，x2，x3為系統(tǒng)變量。

響應(yīng)系統(tǒng)為：

(6)

其中y1，y2，y3為系統(tǒng)變量，u1，u2，u3為控制器。

設(shè)計(jì)控制器為：

(7)

其中k為正的增益常數(shù)。

系統(tǒng)的同步誤差為：

(8)

采用四階Runge-Kutta(ODE45)算法進(jìn)行數(shù)值仿真。令驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的初值為x1(0)=2，x2(0)=2，x3(0)=2；響應(yīng)系統(tǒng)的初值為y1(0)=1，y2(0)=2，y3(0)=3。

同步誤差系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜如圖11所示。當(dāng)k∈[0，0.35)時(shí)，同步誤差系統(tǒng)的LE1>0，誤差系統(tǒng)表現(xiàn)為非穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)k∈[0.35，5]時(shí)，同步誤差系統(tǒng)表現(xiàn)為穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)。k=0.35時(shí)，其條件Lyapunov指數(shù)分別為L1=-0.040，L2=-1.839，L3=-12.470，同步誤差e1，e2，e3的曲線如圖12所示，顯然驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到了穩(wěn)定同步。即當(dāng)k≥0.35時(shí)，系統(tǒng)的同步誤差穩(wěn)定到原點(diǎn)，即驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了混沌同步。

圖11 同步誤差系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜Fig.11 Lyapunov exponent spectrum of the synchronization error system

圖12 同步誤差e1,e2,e3Fig.12 Synchronization errors of e1,e2 and e3

4 結(jié) 論

本文提出了兩個(gè)均有線平衡和各有一個(gè)線性項(xiàng)的混沌系統(tǒng)，對(duì)該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)性質(zhì)進(jìn)行了研究，給出了系統(tǒng)的相圖、Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖。借助拓?fù)漶R蹄和數(shù)值計(jì)算，得到了兩個(gè)系統(tǒng)的拓?fù)漶R蹄，其拓?fù)潇胤謩e為ent(f)≥1/6log 2和ent(f)≥1/4log 2?；跅l件Lyapunov穩(wěn)定性理論，采用主動(dòng)控制同步法，設(shè)計(jì)了一個(gè)簡(jiǎn)單的同步控制器，以實(shí)現(xiàn)兩個(gè)系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)同步。理論分析和數(shù)值仿真結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)控制器是有效的。