周期平均控制下固定翼雙旋彈角運(yùn)動特性分析

張鑫，姚曉先，楊忠，郭致遠(yuǎn)

1. 北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081 2. 魯東大學(xué) 交通學(xué)院，煙臺 264025

現(xiàn)代戰(zhàn)爭要求武器的打擊精度高，附帶損傷??；同時為了降低成本，有效利用庫存，常規(guī)彈藥簡易制導(dǎo)化技術(shù)得到了發(fā)展。其中，常見的一種方法是將常規(guī)引信替換為修正引信[1-2]。鴨式布局雙旋彈[3]作為修正彈藥的一種，其修正引信和彈體由軸承連接，分別繞彈體縱軸低速和高速旋轉(zhuǎn)，這樣既可以為引信的正常工作提供條件，又可以保持彈丸的陀螺穩(wěn)定性。

目前，國內(nèi)外對鴨式布局雙旋彈的研究較多。Costello和Peterson[4]發(fā)展了雙旋彈的線性化理論，并利用該理論研究了雙旋彈的穩(wěn)定問題。法德聯(lián)合Saint-Louis研究所(ISL)對雙旋彈進(jìn)行了一系列系統(tǒng)性研究[5-11]。Chang等[12]研究了鴨式布局雙旋彈前后體的旋轉(zhuǎn)特性以及其間的耦合關(guān)系。許諾等[13-14]推導(dǎo)了固定翼雙旋彈的動力學(xué)模型，分析了其角運(yùn)動特性和飛行穩(wěn)定性；對固定翼雙旋彈的非線性動力學(xué)進(jìn)行了分岔特性分析，并研究了各系統(tǒng)參數(shù)對其動力學(xué)分岔特性的影響。常思江等[15]研究了鴨式布局雙旋彈的前體鴨舵周期性干擾引起的強(qiáng)迫運(yùn)動。張冬旭[16]研究了一種固定翼雙旋修正機(jī)構(gòu)的方案和系統(tǒng)設(shè)計，采用基準(zhǔn)脈沖和反饋脈沖的形式來解算控制偏差。

對于固定翼雙旋修正組件，傳統(tǒng)的控制方法不能獲得幅值可調(diào)的控制力。文獻(xiàn)[17-18]提出了2種基于周期平均思想的控制力連續(xù)可調(diào)控制方法，但是并沒有分析在周期平均控制下彈體的角運(yùn)動響應(yīng)。在此基礎(chǔ)上，本文基于固定翼雙旋彈的動力學(xué)模型，分析了周期平均控制下固定翼雙旋彈的角運(yùn)動響應(yīng)，進(jìn)而根據(jù)雙旋彈的角運(yùn)動特性和執(zhí)行機(jī)構(gòu)的性能給出了周期平均控制角頻率的選擇范圍，并仿真驗證了上述分析。

1 角運(yùn)動模型

與常規(guī)鴨式布局雙旋彈相比，固定翼雙旋彈由于采用了固定角度舵片，其成本更低、結(jié)構(gòu)更簡單。如圖1所示，雙旋彈可分為前體和后體兩部分，后體為與彈體固連的部分，前體為帶有固定舵片的低速旋轉(zhuǎn)鴨舵部分。舵片1和舵片3組成一對差動舵，用于為前體提供減旋力矩；舵片2和舵片4組成一對控制舵，用于產(chǎn)生作用于彈體的控制力。當(dāng)不需要彈道修正時，前體在差動舵的作用下低速反向自由旋轉(zhuǎn)，對彈道的平均修正作用近似為零；當(dāng)需要進(jìn)行彈道修正時，前體中的軸向電機(jī)按照修正指令控制前體的滾轉(zhuǎn)角度。

圖1 固定翼雙旋彈執(zhí)行機(jī)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of actuator of dual-spin projectile with fixed-canards

忽略舵面控制力的效果，只考慮控制力矩的影響，則得到固定翼雙旋彈角運(yùn)動方程為

Δ″+(H-iP)Δ′-(M+iPT)Δ=

(1)

Δ=Δ1+Δp+ΔF

(2)

式中：Δ1為式(1)對應(yīng)的齊次方程的通解；Δp為由重力引起的動力平衡角；ΔF為舵控制作用引起的角運(yùn)動的強(qiáng)迫響應(yīng)。

齊次方程的通解Δ1可寫為

Δ1=C1e(λ1+iω1)s+C2e(λ2+iω2)s

(3)

式中：系數(shù)C1和C2由初始條件決定；λ1和λ2為阻尼指數(shù)；ω1和ω2為角運(yùn)動頻率，可表示為[6]

(4)

(5)

雙旋彈屬于靜不穩(wěn)定彈，有kz>0，也即M>0。同時雙旋彈的陀螺穩(wěn)定性也保證了P2>4M[6]。綜上易得，ω1,2>0且ω1>ω2，因此也將ω1稱為快圓運(yùn)動頻率，將ω2稱為慢圓運(yùn)動頻率。

由重力引起的動力平衡角Δp可表示為

(6)

對于舵控制引起的角運(yùn)動的強(qiáng)迫響應(yīng)，當(dāng)采用周期平均控制時，前體滾轉(zhuǎn)角周期性變化，因此可采用傅里葉變換，將帶前體滾轉(zhuǎn)角的項eiγw寫為

(7)

(8)

式中：k為整數(shù)；T0為在自變量為弧長s時周期平均控制的周期，即前體滾轉(zhuǎn)角變化的周期；ω0為弧長s域中周期平均控制的角頻率，并且有ω0=2π/T0。

由于雙旋彈為旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈，因此有λ1,2<0，于是ikω0≠λ1,2+iω1,2。根據(jù)常系數(shù)線性微分方程理論，對于式(7)中的某一項ckeikω0s，其引起的角運(yùn)動強(qiáng)迫響應(yīng)，也就是式(1)的一個特解可寫作

ΔF,k=CF,keikω0s

(9)

將式(9)代入式(1)，令重力相關(guān)項為零，則可得到

CF,k=

(10)

則周期平均控制下角運(yùn)動強(qiáng)迫響應(yīng)ΔF為

(11)

綜合式(3)、式(6)和式(11)，則固定翼雙旋彈在周期平均控制下的角運(yùn)動方程的解析解可由式(2) 給出。

2 角運(yùn)動分析

對于固定翼雙旋彈在周期平均控制下的角運(yùn)動方程的解析解(式(2))，由于雙旋彈的旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定性，阻尼指數(shù)λ1和λ2均小于0，因此齊次方程通解Δ1的幅值會逐漸衰減為0，衰減的速度與阻尼指數(shù)的大小有關(guān)；由重力引起的動力平衡角Δp只與重力有關(guān)；下面將重點(diǎn)分析周期平均控制下角運(yùn)動的強(qiáng)迫響應(yīng)ΔF。

由式(11)，對于周期平均控制下角運(yùn)動強(qiáng)迫響應(yīng)ΔF，將其中k=0的項單獨(dú)提出，記為ΔF,0。實際上，ΔF,0即為周期平均控制下，對應(yīng)傅里葉變換式(7)和式(8)中常數(shù)分量c0的動力平衡角。ΔF中k≠0的項對應(yīng)的是角頻率為kω0的圓運(yùn)動，記作ΔF,k。ΔF,0為周期平均控制期望得到的動力平衡角，也就是周期平均控制下得到的理想控制效果，而各項ΔF,k對應(yīng)的圓運(yùn)動為不希望的擾動，可能會對彈體的飛行產(chǎn)生不利的影響，因此希望ΔF,k的幅值相對ΔF,0越小越好。

常數(shù)分量c0對應(yīng)的動力平衡角ΔF,0可表示為

(12)

當(dāng)前體滾轉(zhuǎn)角固定時，也即γw為常數(shù)時，由前體控制產(chǎn)生的動力平衡角Δc可由式(1)求得

(13)

對比式(12)和式(13)，可定義c0的幅值|c0|為周期平均控制的效率，定義c0的相角∠c0為等效前體滾轉(zhuǎn)角，則周期平均控制產(chǎn)生的動力平衡角等效于前體的同向舵舵偏角為|c0|δw，滾轉(zhuǎn)角為γw=∠c0時產(chǎn)生的動力平衡角。于是通過調(diào)節(jié)周期平均控制的狀態(tài)，來改變c0的幅值|c0|和相角∠c0，就可以得到等效的任意方向的連續(xù)控制力的控制效果，這也是周期平均控制的原理。

對于ΔF中k≠0的項，將式(10)代入式(11)，并將式(10)的分母寫成實部和虛部分離的形式，得到

(14)

由式(14)可見，|ΔF,k|一方面受周期平均控制狀態(tài)的影響，即受ck和ω0影響；另一方面受彈本身的參數(shù)和飛行狀態(tài)的影響。由于ck與具體的周期平均控制選擇策略有關(guān)，而ω0、彈本身的參數(shù)和飛行狀態(tài)對|ΔF,k|的影響對所有周期平均控制具有普遍性，因此去掉式(10)中的ck，令CF,k,p為

(15)

則ΔF,k可化為

ΔF,k=CF,k,pckeikω0s

(16)

于是通過研究ω0、彈本身的參數(shù)和飛行狀態(tài)對|CF,k,p|的影響，得到普遍意義下的周期平均控制中|ΔF,k|的變化規(guī)律。

觀察式(15)可得，當(dāng)

kω0=ω1,2

(17)

時，CF,k,p的分母的實部為0，會造成|CF,k,p|的值迅速增大。也就是說，當(dāng)周期平均控制在弧長s域中的某諧波角頻率kω0接近彈體自身的角運(yùn)動頻率ω1,2時，將會產(chǎn)生共振現(xiàn)象，該頻次諧波對應(yīng)的圓運(yùn)動的幅值將會異常增大，對彈體控制和飛行產(chǎn)生不利影響。因此在周期平均控制策略設(shè)計時，應(yīng)使各諧波角頻率kω0，尤其是低頻諧波避開彈體自身的角運(yùn)動頻率。

由于ω1,2>0，因此當(dāng)k<0時，不會出現(xiàn)因周期平均控制導(dǎo)致共振的情況。而當(dāng)k>0并且kω0接近ω1,2時，|CF,k,p|異常增大，共振現(xiàn)象發(fā)生。

因此，在周期平均控制策略設(shè)計中，為了避免共振現(xiàn)象的發(fā)生，可選?。?/p>

ω0>pω1

(18)

作為周期平均控制角頻率ω0的設(shè)計條件。其中p應(yīng)大于1，并且p選取越大，所有kω0將越遠(yuǎn)離共振頻率，設(shè)計越保守。

另外，在滿足式(18)的設(shè)計條件下，當(dāng)|k|≥2時，|CF,k,p|將遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于|k|=1時的情況。也就是說，在ω0的設(shè)計合理時，對于周期平均控制下的強(qiáng)迫響應(yīng)ΔF，可以只考慮常數(shù)分量引起的動力平衡角和對應(yīng)基波頻率的圓運(yùn)動，因此在下面的分析中將ΔF近似表示為

ΔF=ΔF,0+CF,-1e-iω0s+CF,1eiω0s

(19)

3 周期平均控制方案

3.1 方案介紹

文獻(xiàn)[17-18]中分別介紹了2種周期平均控制方案的思想，將按這2種思想設(shè)計的方案分別命名為方案1和方案2，下面簡要介紹這2種方案。

如圖2所示，順時針方向為正方向。方案1中，前體的初始滾轉(zhuǎn)角設(shè)為γw=γ0，也就是yw軸位于圖中A方位，然后以勻速ωa經(jīng)A和C的中間位置B轉(zhuǎn)過γs到C位置，再反向以勻速ωb轉(zhuǎn)回到A位置，不斷重復(fù)上述過程。方案1是一種理想方案，未考慮到前體的加減速過程。

方案2對方案1進(jìn)行了改進(jìn)。方案2中，前體初始滾轉(zhuǎn)角與方案1相同，然后從靜止以角加速度αa從A位置勻加速到B位置，再以αa勻減速到C位置；然后反向從C位置以角加速度αb勻加速到B位置，再以αb勻減速到A位置，再不斷重復(fù)上述過程。方案2考慮到了前體的加減速過程，更具有工程實用性。

圖2 前體滾轉(zhuǎn)角示意圖Fig.2 Schematic diagram of roll angle of forward body

3.2 周期平均控制方案角運(yùn)動強(qiáng)迫響應(yīng)

計算方案1和方案2在周期平均控制下(式(11)) 的角運(yùn)動強(qiáng)迫響應(yīng)，重點(diǎn)是計算如式(8)所示的ck。使用上標(biāo)(1)和(2)分別表示方案1和方案2的對應(yīng)計算結(jié)果。

1) 方案1

在時域一個周期內(nèi)，前體滾轉(zhuǎn)角可表示為

(20)

當(dāng)假設(shè)速度為恒定時，弧長可表示為s=Vt，則在弧長s域中前體滾轉(zhuǎn)角可表示為

γw(s)=

(21)

將式(21)代入式(8)，計算得到

(22)

(23)

2) 方案2

在時域一個周期內(nèi)，前體滾轉(zhuǎn)角可表示為

γw(t)=

(24)

在弧長s域中前體滾轉(zhuǎn)角可表示為

γw(s)=

(25)

(26)

式中：

(27)

3.3 周期平均控制方案對執(zhí)行機(jī)構(gòu)的要求

式(18)確定了周期平均控制角頻率ω0設(shè)計的一個下界。由式(15)可見，一般來說ω0的值越大，|CF,k,p|越小，也就是圓運(yùn)動引起的干擾的幅值越小。但是在實際應(yīng)用中，執(zhí)行機(jī)構(gòu)的能力限制了ω0的值不能取的過大，也就是執(zhí)行機(jī)構(gòu)的能力確立了ω0的設(shè)計上界。

一種常見的雙旋彈執(zhí)行機(jī)構(gòu)內(nèi)部示意圖如圖3 所示。前體和后體間通過軸承4和軸承7連接，磁鋼2和線圈5構(gòu)成了控制前體滾轉(zhuǎn)通道的電機(jī)。執(zhí)行機(jī)構(gòu)對周期平均控制角頻率ω0的限制主要體現(xiàn)在兩方面：① 軸承對轉(zhuǎn)速的承受能力，如果前后體間相對轉(zhuǎn)速過高，超過軸承對轉(zhuǎn)速的限制，會造成軸承發(fā)熱嚴(yán)重，產(chǎn)生卡滯等現(xiàn)象；② 電機(jī)的驅(qū)動能力，電機(jī)需要能產(chǎn)生足夠的力矩驅(qū)動前體按照周期平均控制的需要轉(zhuǎn)動。

方案1是一種理想的理論方案，并沒有考慮到執(zhí)行機(jī)構(gòu)電機(jī)的變速過程，相當(dāng)于換向瞬間需要執(zhí)行機(jī)構(gòu)電機(jī)提供的力矩為無窮大，實際工程是不可能實現(xiàn)的，只能通過理論仿真實現(xiàn)，因此下面只討論方案2對執(zhí)行機(jī)構(gòu)性能的要求。設(shè)方案2 中取αa=αb，則易得到方案2中前后體間最大相對轉(zhuǎn)速ωrmax為

(28)

式中：ωAxmax為后體的最大縱軸轉(zhuǎn)速?？梢姦?選取的越大，以及在周期平均控制中使用到的γs越大，相對轉(zhuǎn)速ωrmax越大。

電機(jī)需要產(chǎn)生的力矩可近似表示為

圖3 雙旋彈執(zhí)行機(jī)構(gòu)內(nèi)部結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Schematic diagram of internal structure of actuator of dual-spin projectile

(29)

由式(28)和式(29)可見，執(zhí)行機(jī)構(gòu)的性能確定了周期平均控制角頻率ω0的上限。

4 仿真驗證

本文以155 mm固定翼雙旋彈為例進(jìn)行仿真。仿真使用的雙旋彈參數(shù)如下：前體質(zhì)量為0.235 kg， 后體質(zhì)量為41.3 kg，前體轉(zhuǎn)動慣量為1.3×10-4kg·m2，后體轉(zhuǎn)動慣量為0.133 kg·m2，彈發(fā)射時的初始速度為860 m/s，彈后體的初始轉(zhuǎn)速為230 r/s，射角為47.5°。

仿真時，前60 s無控，前體在氣動力矩的作用下反向低速自由旋轉(zhuǎn)。60 s開始控制至落地，取周期平均控制的參數(shù)γ0=π/4，γs=π。對于方案1 和方案2，均取T1=0.025 s，T2=0.012 5 s，則在60 s時有ω0≈1.8ω1。此時方案1和方案2周期平均控制下的前體滾轉(zhuǎn)角隨時間變化曲線如圖4所示?？梢?，相對于方案1，方案2考慮到了前體的加減速過程。方案1和方案2中|c0|隨γs變化的曲線如圖5所示?？梢?，2個方案分別通過在[0,2π]和[0,4.60]區(qū)間內(nèi)調(diào)節(jié)γs，可以實現(xiàn)在[0,1]區(qū)間內(nèi)調(diào)節(jié)|c0|。

在上述仿真條件下，選取時間為60 s的時刻，由式(15)計算得到的|CF,k,p|隨|kω0|變化的曲線如圖6所示。由仿真計算結(jié)果可見，當(dāng)kω0接近ω1,2時，|CF,k,p|異常增大，共振現(xiàn)象發(fā)生，與第2節(jié)的分析相符。

圖4 周期平均控制前體滾轉(zhuǎn)角隨時間變化曲線Fig.4 Variation curves of roll angle of forward body with time for period average control

上述仿真條件下的方案1和方案2的合成復(fù)迎角曲線如圖7所示。圖中各畫出了3條曲線，1條 是通過式(2)計算的解析結(jié)果，在計算過程中每隔0.1 s更新一次方程參數(shù)；1條是通過仿真得到的仿真結(jié)果，用來驗證計算結(jié)果的準(zhǔn)確性；最后1條 是周期平均等效控制的仿真結(jié)果，取等效的同向舵舵偏角為|c0|δw，等效的固定前體滾轉(zhuǎn)角為∠c0。

由圖7可見，對于方案1和方案2，計算結(jié)果和仿真結(jié)果在初始階段吻合良好，但隨時間增加計算結(jié)果的誤差逐漸積累，會造成計算結(jié)果和仿真結(jié)果逐漸偏離。當(dāng)齊次解Δ1對應(yīng)的兩圓運(yùn)動逐漸收斂后，計算結(jié)果和仿真結(jié)果又趨于吻合，最后都近似收斂到在復(fù)平面上以重力平衡角Δp和周期平均控制動力平衡角ΔF,0的迭加位置為中心點(diǎn)，對應(yīng)基波頻率的兩圓運(yùn)動。仿真結(jié)果和等效控制仿真結(jié)果的對比進(jìn)一步展示了周期平均控制對應(yīng)基波頻率的兩圓運(yùn)動的效果，兩圓運(yùn)動的幅度越小，周期平均控制越近似等效控制，也就是周期平均控制的效果越好。

圖5 |c0|隨γs變化曲線Fig.5 Variation curves of |c0| with γs

圖6 |CF,k,p|隨|kω0|變化曲線Fig.6 Variation curves of |CF,k,p| with |kω0|

第2節(jié)已說明，為了使周期平均控制對應(yīng)基波頻率的兩圓運(yùn)動的幅度較小，周期平均控制的角頻率ω0設(shè)計時應(yīng)滿足式(18)以避免共振現(xiàn)象的發(fā)生。圖8給出了方案2中ω0設(shè)計不合理時的迎角曲線。在60 s時有ω0≈ω1，ω0處于共振頻率附近。由圖8可見，設(shè)計不合理的ω0會造成過渡階段的迎角幅值異常增大，并且迎角收斂后周期平均控制對應(yīng)基波頻率的兩圓運(yùn)動的幅值過大，對周期平均控制造成不利影響。

圖7 迎角計算值和仿真值結(jié)果Fig.7 Analytical and simulation results of angles of attack

圖8 方案2共振點(diǎn)附近迎角隨時間變化曲線Fig.8 Variation curves of angles of attack with time near resonance for Case 2

5 結(jié) 論

1) 本文從雙旋彈角運(yùn)動響應(yīng)的角度給出了固定翼雙旋彈周期平均控制方法設(shè)計的理論依據(jù)。分析表明，固定翼雙旋彈在周期平均控制下的強(qiáng)迫角運(yùn)動響應(yīng)為期望得到的動力平衡角和作為擾動的對應(yīng)各階次諧波頻率的圓運(yùn)動的迭加。周期平均控制方法設(shè)計的原則即為在得到期望的動力平衡角的同時，在考慮執(zhí)行機(jī)構(gòu)性能限制的條件下，盡可能地減小各階次干擾圓運(yùn)動的幅值。

2) 當(dāng)周期平均控制的角頻率設(shè)計合理時，可以只考慮對應(yīng)基波頻率的干擾圓運(yùn)行的影響。以2種周期平均控制方案為例，分析和仿真結(jié)果均表明，將固定翼雙旋彈在周期平均控制下的受迫角運(yùn)動響應(yīng)近似為動力平衡角和對應(yīng)基波頻率的兩圓運(yùn)動的迭加，能夠正確反映周期平均控制的本質(zhì)。

3) 以固定翼雙旋彈周期平均控制方法設(shè)計原則為指導(dǎo)，得到了周期平均控制角頻率選擇的條件。為了設(shè)計出合理的周期平均控制方案，選擇周期平均控制角頻率時應(yīng)以避開彈體共振頻率為下界，以執(zhí)行機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)速限制和轉(zhuǎn)矩限制為上界。設(shè)計合理的周期平均控制方案能夠有效地解決固定舵控制力幅值不連續(xù)可調(diào)的問題，為固定翼雙旋彈控制與制導(dǎo)方案的設(shè)計提供了更多的選擇。