基于彎矩影響系數(shù)的軸系安裝狀態(tài)評估逆計(jì)算方法

陳昊，周瑞平*，雷俊松，張建軍

1武漢理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，湖北武漢430063

2中國船級社上海規(guī)范研究所，上海200135

0 引 言

船舶推進(jìn)軸系安裝狀態(tài)的好壞直接影響到軸系長期運(yùn)行的可靠性，必須在其安裝完成后進(jìn)行檢驗(yàn)，確定軸系的狀態(tài)。應(yīng)變檢測是一種精度高且適用性強(qiáng)的檢測方法，已成為船舶軸系安裝檢測的主要方法之一。針對船舶推進(jìn)的應(yīng)變測試技術(shù)發(fā)展至今已有30余年，其測試方法和分析模型也有很多種。Cowper等［1］利用應(yīng)變測量和力矩平衡原理，在集裝箱船和車輛滾裝船上進(jìn)行了實(shí)船測試及軸承負(fù)荷分析。汪驥等［2］研究了基于應(yīng)變波形和力矩平衡原理的軸承負(fù)荷檢測方法，這兩者都是以力矩平衡原理直接計(jì)算出艉軸承和中間軸承的軸承負(fù)荷，無法計(jì)算主機(jī)負(fù)荷和其他狀態(tài)參數(shù)。Zhang等［3］提出了一種結(jié)合傳遞矩陣法和應(yīng)變檢測對渦輪機(jī)組軸系狀態(tài)進(jìn)行分析的方法，其測量對象為渦輪機(jī)組，相對船舶推進(jìn)軸系其測點(diǎn)布置限制較少。美國船級社（ABS）［4］結(jié)合應(yīng)變測量與遺傳算法開發(fā)了軸承變位測量軟件，并將其應(yīng)用于船體變形研究。日本船級社（NK）［5］在其軸系校中指南中介紹了彎矩影響數(shù)以及如何將其用于軸承變位求解的方法，但沒有對不同類型軸系的測點(diǎn)布置規(guī)律和布點(diǎn)優(yōu)化進(jìn)行系統(tǒng)研究。

目前，軸系校中計(jì)算的理論方法主要有傳遞矩陣法、三彎矩法和有限元法。其中，傳遞矩陣法在截面數(shù)過多時(shí)易產(chǎn)生較大的累積誤差；三彎矩法計(jì)算精度較高，相比有限元法具有編程容易的特點(diǎn)［6］。三彎矩法雖然求解計(jì)算量大，但其將軸系整體受力情況歸納到了一個(gè)矩陣方程中，便于分析軸系各部分之間的相互影響。

本文將從三彎矩方程入手，推導(dǎo)彎矩影響系數(shù)，借助軸系任意截面彎矩與軸承變位的線性關(guān)系，列線性方程來推算軸系狀態(tài)。首先，對彎矩影響系數(shù)的特性進(jìn)行研究，推導(dǎo)不同軸系以直接求解最大軸承數(shù)，并在此基礎(chǔ)上得出適用于不同軸系類型的測點(diǎn)布置規(guī)律。然后，對不同測點(diǎn)布置下求解矩陣的條件數(shù)進(jìn)行分析，得出測點(diǎn)優(yōu)化布置的原則。最后，根據(jù)38 500 DWT散貨船實(shí)軸測試數(shù)據(jù)推算其軸系狀態(tài)，驗(yàn)證計(jì)算方法的正確性，為軸系應(yīng)變測試提供一種新的思路。

1 彎矩影響系數(shù)法

1.1 彎矩影響系數(shù)的推導(dǎo)

對于具有n個(gè)截面的變截面梁軸系模型，一共可以列出n-2個(gè)三彎矩方程［7］：

式中，li為軸系各單元的長度；EiIi為彎曲剛度；qi為均布載荷；Mi為各截面的彎矩；zi為各截面的撓度。再加上首、尾截面2個(gè)邊界條件方程以及n個(gè)虛支承處支反力為0或?qū)嵵С刑帗隙葹檩S承變位的補(bǔ)充方程，共計(jì)2n個(gè)方程，可以解出n個(gè)截面彎矩和n個(gè)截面撓度，將其表示成矩陣形式：

式中，A為2n×2n的系數(shù)矩陣；向量C=［e1…en f1…fn］T中各項(xiàng)由方程右側(cè)常數(shù)確定，對于建立完成的模型，這兩者是定常的；向量X=［M1…Mnz1…zn］T為一個(gè)2n行的列向量，表示所要求解的彎矩與撓度。式（2）又可以表示為A-1·C=X，包含2n個(gè)方程，前n個(gè)用于求解彎矩的方程可以表示為

式中：xi為第i個(gè)軸承的變位；ci為直線狀態(tài)下該截面處的彎矩值；ain為第n個(gè)軸承單位變位對第i個(gè)截面所造成的彎矩變化量，即彎矩影響系數(shù)，kN。對于含有n個(gè)軸承和m個(gè)截面的軸系來說，其彎矩影響系數(shù)可以組成一個(gè)m×n的矩陣，每一列都為一個(gè)軸承對所有截面的彎矩影響系數(shù)。

1.2 基于彎矩影響系數(shù)的軸系狀態(tài)逆計(jì)算方法

在推導(dǎo)出彎矩影響系數(shù)后，利用軸承變位與截面彎矩之間的線性關(guān)系，列出線性方程可以求解軸承變位，進(jìn)而得出軸系整體狀態(tài)：

式中，xn為第n個(gè)軸承的實(shí)際變位；為第n個(gè)軸承的實(shí)際彎矩；Mn0為第n個(gè)軸承在直線狀態(tài)下的彎矩。理想情況下，若要求得n個(gè)軸承的變位，只需測得n個(gè)截面處的彎矩即可。需要注意的是，為得出正確的計(jì)算結(jié)果，必須盡可能正確簡化模型來得到正確的直線彎矩值。

2 測點(diǎn)布置規(guī)律與優(yōu)化原則

2.1 彎矩影響系數(shù)性質(zhì)

研究發(fā)現(xiàn)，式（4）中的系數(shù)矩陣是不滿秩的，原因是矩陣各行線性相關(guān)，造成矩陣奇異。要找出矩陣奇異的原因，必須對彎矩影響系數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究。圖1為4#軸承彎矩影響系數(shù)在軸線方向上的分布。

圖1 軸承彎矩影響系數(shù)分布圖Fig.1 Distribution of bending moment influence coefficient on shaft

從圖1可以看出：每個(gè)軸承的彎矩影響系數(shù)在軸線長度方向上都為連續(xù)直線，且在每一跨梁內(nèi)斜率、截距均各不相同；越靠近軸承的截面其彎矩影響系數(shù)越大，越遠(yuǎn)離軸承的截面其彎矩影響系數(shù)越?。粡拇合虼伎?，在第1個(gè)軸承前（包括第1個(gè)軸承處）及最后一個(gè)軸承后（包括最后一個(gè)軸承處），彎矩影響系數(shù)均為0。

對含有n個(gè)軸承的軸系，由于彎矩影響系數(shù)與截面位置成線性關(guān)系，第1跨梁和第n-1跨梁內(nèi)獨(dú)立彎矩?cái)?shù)最大為1，第2至第n-1跨梁內(nèi)獨(dú)立彎矩?cái)?shù)最大為2，當(dāng)跨梁內(nèi)待測彎矩?cái)?shù)大于最大獨(dú)立彎矩?cái)?shù)時(shí)，可以依據(jù)線性關(guān)系確定跨梁中所有截面的彎矩。前一跨梁內(nèi)所有截面彎矩確定后，后一跨梁會(huì)減少1個(gè)獨(dú)立彎矩?cái)?shù)。

將1～n-1跨梁內(nèi)所有獨(dú)立彎矩?cái)?shù)相加，可以發(fā)現(xiàn)整個(gè)軸系最多只存在n-2個(gè)獨(dú)立彎矩，這就造成了彎矩影響系數(shù)矩陣的秩最大為n-2，即使軸系上布置超過n-2個(gè)測點(diǎn)，最多也只存在n-2個(gè)獨(dú)立方程，若測點(diǎn)布置不合理，比如將所有測點(diǎn)布置在同一跨梁內(nèi)，獨(dú)立方程數(shù)會(huì)低于n-2。

為求解出全部軸承的變位，需對軸系進(jìn)行處理。若所有跨梁都可以布置測點(diǎn)，選擇任意n-2個(gè)跨梁各布置一處彎矩測點(diǎn)，并將首個(gè)軸承和末軸承的變位設(shè)為0，這相當(dāng)于對軸系整體作剛性約束。整個(gè)軸系的變位可以表示為［0 x1x2…xn-10］，而軸系實(shí)際可能是在此基礎(chǔ)上旋轉(zhuǎn)一定角度。這樣的旋轉(zhuǎn)不會(huì)改變軸承間相對位置，對于軸系校中計(jì)算不會(huì)產(chǎn)生影響。

與渦輪機(jī)等軸系不同的是，船舶推進(jìn)軸系受現(xiàn)場條件的限制，有部分跨梁，如艉軸管內(nèi)和主機(jī)內(nèi)部無法布置測點(diǎn)，這樣會(huì)導(dǎo)致獨(dú)立彎矩?cái)?shù)進(jìn)一步減少。因此，需要針對這類軸系作出假設(shè)。圖2與圖3分別為單艉軸承和雙艉軸承軸系彎矩影響系數(shù)的分布情況。

圖2 單艉軸承彎矩影響系數(shù)圖Fig.2 Bending moment influence coefficient for single stern tube bearing shaft

圖3 雙艉軸承軸系彎矩影響系數(shù)圖Fig.3 Bending moment influence coefficient for double stern tube bearing shaft

由圖2與圖3可以看到，對于單艉軸承和雙艉軸承軸系，由于測點(diǎn)布置位置受限，軸上獨(dú)立彎矩?cái)?shù)分別為NIB+1與NIB+2，其中，NIB為中間軸承數(shù)。為求出所有軸承的變位，對軸系進(jìn)行如下假設(shè)：

1）艉軸管及船艉結(jié)構(gòu)剛度很大，將艉軸管軸承的變位均設(shè)為0或已知量。

2）主機(jī)內(nèi)軸段無法布置測點(diǎn)，但考慮到主機(jī)軸承一般是整體安裝，對于單艉軸承軸系，以彎矩影響系數(shù)方程計(jì)算中間軸承和1號主機(jī)軸承變位，假設(shè)其余主機(jī)軸承變位與1號主機(jī)軸承相同或所有主機(jī)軸承按已知傾斜角位于同一直線上；對于雙艉軸承軸系，以彎矩影響系數(shù)方程計(jì)算中間軸承和第1，2號主機(jī)軸承變位，假設(shè)其余主機(jī)軸承與1，2號主機(jī)軸承位于同一條直線上。在這樣的假設(shè)下，通過給定艉軸承高度并補(bǔ)充主機(jī)軸承約束，可以通過式（5）和式（6）分別對單艉軸承和雙艉軸承進(jìn)行軸承變位求解。

式中：對于單艉軸承模型，N為NIB+1，對于雙艉軸承模型，N為NIB+2；Ln1為第n個(gè)主機(jī)軸承與第1個(gè)主機(jī)軸承間的距離；Nmb為主機(jī)軸承數(shù)；xASTB與xFSTB分別為后艉和前艉軸承給定高度；s為單艉軸承模型中給定的主機(jī)軸承傾角，若主機(jī)水平安裝，則s=0。

2.2 測點(diǎn)優(yōu)化布置原則

實(shí)測中，因操作或者儀器本身的精度問題，測得的彎矩會(huì)有一定的誤差。將測點(diǎn)布置在跨梁內(nèi)不同的位置得出的不同求解矩陣對誤差的敏感度不同，反映在實(shí)際的測試中表現(xiàn)為，即使所有測點(diǎn)的彎矩絕對測量誤差都很小，計(jì)算出的軸承變位也可能與真實(shí)值有很大偏差。因此，在布置測點(diǎn)時(shí)，應(yīng)該選擇合理的位置。

為找出可能引起求解矩陣誤差敏感度上升的位置，針對圖4所示的測點(diǎn)布置方案，研究了誤差敏感度與T1～T4這4個(gè)測點(diǎn)在各自跨梁內(nèi)位置的關(guān)系，得到圖5。其中圖5（a）表示誤差敏感度隨T2，T3測點(diǎn)在同一跨梁內(nèi)位置變化的情況，圖5（b）表示誤差敏感度隨T1，T4測點(diǎn)在各自跨梁內(nèi)位置變化的情況。圖中誤差敏感度是用求解矩陣的條件數(shù)表征的，條件數(shù)越大，表示矩陣的誤差敏感度越大。為便于研究，每次只有2個(gè)測點(diǎn)的位置發(fā)生改變，其他測點(diǎn)位置保持不變。

圖4 測點(diǎn)布置圖Fig.4 Arrangement of strain test points

圖5 誤差敏感度圖Fig.5 Plot of error sensitivity

由圖5（a）可以看出，若同一跨梁內(nèi)布置有2個(gè)測點(diǎn)，則2個(gè)測點(diǎn)的位置相距越近，矩陣條件數(shù)越大；當(dāng)2個(gè)測點(diǎn)接近重合時(shí)，條件數(shù)趨于無窮大。因此，在同一跨梁內(nèi)布置2處測點(diǎn)時(shí)，應(yīng)增大這2個(gè)測點(diǎn)間的距離。

由圖5（b）可以看出，T1測點(diǎn)靠近1#軸承時(shí)以及T4測點(diǎn)靠近4#軸承時(shí)，矩陣條件數(shù)都會(huì)急劇上升，當(dāng)測點(diǎn)位置與軸承位置接近重合時(shí)，矩陣條件數(shù)會(huì)趨于無窮大。這是因?yàn)楫?dāng)測點(diǎn)位置與軸承重合時(shí)，總的獨(dú)立彎矩?cái)?shù)會(huì)減1，造成矩陣奇異。因此，若測點(diǎn)位置與軸承重合后獨(dú)立彎矩?cái)?shù)減少，應(yīng)增大測點(diǎn)與該軸承的距離。

在實(shí)際測量中，為提高計(jì)算準(zhǔn)確度，可以采集超過所需測點(diǎn)數(shù)的截面彎矩，通過最小二乘算法（LMS）進(jìn)行計(jì)算，但仍須保證有效測點(diǎn)數(shù)不少于該模型需要的獨(dú)立方程數(shù)。

圖6是利用彎矩影響系數(shù)計(jì)算船舶推進(jìn)軸系安裝狀態(tài)的逆計(jì)算流程。

圖6 彎矩影響系數(shù)法軸系安裝狀態(tài)檢驗(yàn)流程圖Fig.6 Flow diagram of bending moment influence coefficient method

3 實(shí)船驗(yàn)證

根據(jù)上文提到的軸系狀態(tài)逆計(jì)算方法，對某38 500 DWT散貨船軸系進(jìn)行了彎曲應(yīng)變測量，并根據(jù)測量結(jié)果對軸系狀態(tài)予以了反推。

3.1 彎矩測量原理

在軸上測點(diǎn)位置粘貼應(yīng)變片，通過采集軸旋轉(zhuǎn)一周內(nèi)應(yīng)變信號的變化，得出軸上對應(yīng)位置的彎曲應(yīng)變值，進(jìn)而得出該位置的彎矩值。具體原理如圖7所示。

如圖7（a）所示，應(yīng)變片從水平位置開始隨軸旋轉(zhuǎn)，由于軸表面的彎曲應(yīng)變ε與其距彎曲中性面的距離r成正比。因此，軸旋轉(zhuǎn)一周彎曲應(yīng)變的波形如圖7（b）所示，在不考慮橫向彎曲的情況下，該截面處的最大彎曲應(yīng)變εi為波形最高點(diǎn)與最低點(diǎn)差值的一半［8］，如式（7）所示。

圖7 軸上彎矩測量原理Fig.7 Principle of measurement for bending moment on shaft

若考慮橫向彎曲，則應(yīng)變的最大、最小值不出現(xiàn)在90°與270°，而是偏離一定的相位，但應(yīng)變的幅值不會(huì)發(fā)生變化。

軸上的彎矩可以用式（8）來計(jì)算［9］：

式中：Mi為測量截面i處的彎矩，kN·mm；σmax為測量截面i處的最大彎曲應(yīng)力，GPa；W為測量截面i處的抗彎截面模數(shù)，mm3；E為軸系材料的彈性模量，GPa；εi為測量截面i處最大彎曲應(yīng)變。

彎矩測量具體步驟為：

1）將主機(jī)第一缸盤車至上止點(diǎn)位置；

2）在軸上0°與180°位置粘貼2組應(yīng)變片，組成惠斯通半橋橋路，再將測量電路與數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)連接；

3）利用盤車機(jī)將主機(jī)盤車一周，同時(shí)開始采集數(shù)據(jù)；

4）利用動(dòng)態(tài)信號采集分析系統(tǒng)對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，計(jì)算各測點(diǎn)的彎矩值。

3.2 模型建立與測點(diǎn)布置

38 500 DWT散貨船為雙艉軸承軸系，包含1道中間軸承和6道主機(jī)軸承，因此需要的有效測點(diǎn)數(shù)為3。為驗(yàn)證不同測點(diǎn)位置測得的彎矩對計(jì)算結(jié)果的影響，在軸上布置了5處測點(diǎn)，將5個(gè)測點(diǎn)按每組3個(gè)進(jìn)行組合，可以得出9組逆計(jì)算結(jié)果。圖8為現(xiàn)場布置測點(diǎn)和粘貼應(yīng)變片的照片，圖9為5處測點(diǎn)在軸上分布的示意圖。實(shí)驗(yàn)測得的5個(gè)測點(diǎn)的彎矩值如表1所示。

表1 38 500 DWT散貨船軸系應(yīng)變測試結(jié)果Table 1 Tested strain of 38 500 DWT bulk carrier

根據(jù)測點(diǎn)彎矩值將測點(diǎn)組合后計(jì)算出9組變位，如圖10所示。

圖10 軸承變位逆計(jì)算結(jié)果Fig.10 Recalculated bearing offsets

各組合求解矩陣的條件數(shù)如表2所示。可見，T1+T2+T4，T1+T2+T5與T3+T4+T5這3組的條件數(shù)比其他組大了1～2個(gè)數(shù)量級，求解矩陣誤差敏感度上升，這是因?yàn)?號與2號測點(diǎn)相互距離很近、3號測點(diǎn)與中間軸承距離很近。結(jié)果T1+T2+T4與T3+T4+T5這2組結(jié)果非常不合理，T1+T2+T5組結(jié)果也存在較大誤差。

去除這3組結(jié)果，將其余結(jié)果取平均值作為最終結(jié)果輸出，計(jì)算各軸承負(fù)荷，如表3所示。

從表3中可以看出，計(jì)算負(fù)荷與頂舉負(fù)荷誤差最大為3.14%，第1道主機(jī)軸承計(jì)算為負(fù)值，而在實(shí)際頂舉中也是脫空狀態(tài)。圖11為根據(jù)軸承變位計(jì)算所得各截面的剪力、彎矩、撓度、轉(zhuǎn)角，可以為全部評估軸系安裝狀態(tài)提供參考。

表2 各測點(diǎn)組合求解矩陣條件數(shù)Table 2 The condition number under different combinations of measuring points

表3 軸承負(fù)荷計(jì)算結(jié)果Table 3 Calculation results of bearing load

圖11 剪力彎矩及撓度轉(zhuǎn)角圖Fig.11 Plot for recalculated sheer force，bending moment，deflection and slope on shaft

4 結(jié) 語

軸系安裝后，獲得其準(zhǔn)確的安裝狀態(tài)對于安裝質(zhì)量的評估非常重要。本文提出的基于彎矩影響系數(shù)的逆計(jì)算方法相比傳統(tǒng)方法可獲得軸系的完整狀態(tài)，在軸系安裝未達(dá)標(biāo)時(shí)，其計(jì)算出的軸承變位可以為下一步調(diào)整提供依據(jù)，同時(shí)計(jì)算出的剪力、彎矩、轉(zhuǎn)角等數(shù)據(jù)也可對軸系受力狀態(tài)作更全面的分析。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了文中計(jì)算方法和測點(diǎn)布置原則的正確性。相比盤車工況的相對靜止?fàn)顟B(tài)，軸系在實(shí)際運(yùn)轉(zhuǎn)過程中的受力情況將更加復(fù)雜，運(yùn)用無線應(yīng)變檢測技術(shù)對軸系實(shí)際運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)的監(jiān)測是今后很有價(jià)值的研究方向。