巧用圓錐曲線表達(dá)式解決簡單的最值和方程問題

徐暢

摘 要：解決和圓錐曲線相聯(lián)系的最值和方程問題，因所需知識概括性較強(qiáng)、分析能力要求高、區(qū)分度十分明顯而成為高考命題者青睞的一個(gè)熱點(diǎn)，但利用好圓錐曲線的表達(dá)式解決和圓錐曲線相聯(lián)系的最值和方程問題確是較為簡捷而方便的途徑，通過例子，進(jìn)行了詳細(xì)闡釋。

關(guān)鍵詞：圓錐；曲線；定義；最值；方程；問題

解決和圓錐曲線相聯(lián)系的最值和方程問題，因所需知識概括性較強(qiáng)、分析能力要求高、區(qū)分度十分明顯而成為高考命題者青睞的一個(gè)熱點(diǎn)，但利用好圓錐曲線的表達(dá)式解決和圓錐曲線相聯(lián)系的最值和方程問題確是較為簡捷而方便的途徑，下面列舉一一說明。

一、圓錐曲線的表達(dá)式

（1）橢圓表達(dá)式PF1+PF2=2a（2a>F1F2）

（2）雙曲線表達(dá)式PF1-PF2=2a（2a

（3）拋物線表達(dá)式PF=d（d為點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離）

二、典型例題

例1.（1）點(diǎn)P的位置在y2=4x的軌跡上，如果P到點(diǎn)A（3，4）和P到準(zhǔn)線的距離和最小，那么P的坐標(biāo)是 。

（2）點(diǎn)Q在y2=4x的軌跡上，如果Q到B（4，1）與Q到焦點(diǎn)F的距離和最小，那么Q的坐標(biāo)是 。

思路分析：（1）A在y2=4x外，如所示圖，連PF，則PH=PF，因而易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，距離和最小。

（2）而B在y2=4x內(nèi)，如所示圖，作QR⊥l交于R，則當(dāng)B、Q、R三點(diǎn)共線時(shí)，距離和最小。

圖1

解：（1）（2，2）

連接PF，當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，AP+PH=AP+PF最小，AF為一條直線，方程則為y=（x-1）即y=2（x-1），聯(lián)立y2=4x得P（2，2）（得到的另外交點(diǎn)（，-）不?。?。

（2）（，1）

過Q作QR⊥l交于R，當(dāng)B、Q、R三點(diǎn)共線時(shí)，BQ+QF=BQ+QR最小，此時(shí)Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，代入y2=4x得x=，∴Q（，1）

例2.P是+=1軌跡上的動點(diǎn)，P到+=1的右焦點(diǎn)F與P到點(diǎn)A（1，1）距離和最小值是 。

思路分析：PF為橢圓的一個(gè)焦半徑，利用橢圓的表達(dá)式將PF用另一焦半徑PF′表示出來，然后在利用三點(diǎn)共線求出最值。

解：（1）4-

設(shè)左焦點(diǎn)為F′，則F′（-1，0）連AF′、PF′

PA+PF′=PA+2a-PF′=2a-（PF′-PA）≥2a-AF′=4-

當(dāng)P是F′A與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，PA+PF值最小，為4-。

例題啟示：以上例題是利用圓錐曲線的表達(dá)式將點(diǎn)與點(diǎn)的距離和點(diǎn)與線的距離相互轉(zhuǎn)化的典型，解決了三點(diǎn)共線的最值問題，請同學(xué)們仔細(xì)體會。

例3.圓M與圓C1：（x+1）2+y2=36內(nèi)切，跟圓C2：（x-1）2+y2=4外切，求M的圓心軌跡方程。

思路分析：不妨設(shè)圓M的半徑為r，利用圓與圓的位置關(guān)系與半徑的關(guān)系可以得到兩個(gè)等式，等式1：

MC1=6-r；等式2：MC2=2+r然后兩式相加即可得到結(jié)果

解：設(shè)圓M的半徑為r由動圓M與圓C1內(nèi)切可得MC1=6-r，由動圓M與圓C2

外切可得MC2=2+r，∴MC1+MC2=8

故由橢圓的表達(dá)式可知點(diǎn)C1和C2是M圓心橢圓軌跡的兩個(gè)焦點(diǎn)，軸長是8。得2a=8，a=4，c=1，b2=15，故M的圓心軌跡方程是+=1

例題啟示：在得到關(guān)系式MC1+MC2=8后，我們可直接根據(jù)橢圓的表達(dá)式寫出方程，而無需再用距離公式列式求解，即列出+=8，再移項(xiàng)，平方，相當(dāng)于將橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)了一遍，較

繁瑣！

例4.在△ABC中，B（-10，0），C（10，0），且sinC-sinB=sinA，求點(diǎn)A的軌跡方程。

思路分析：先利用正弦定理在方程sinC-sinB=sinA兩邊同乘以2R（R為外接圓半徑），將三角形中角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊長的關(guān)系，然后再利用雙曲線的表達(dá)式求出點(diǎn)A的軌跡方程。

解：sinC-sinB=sinA 2RsinC-2RsinB=·2RsinA

∴AB-AC=BC

即，AB-AC=16

∴點(diǎn)A的路徑軌跡是去掉頂點(diǎn)的右支曲線

∵2a=16，2c=20，

∴a=8，c=10，b=6。

所求軌跡方程為：-=1（x>0）（x>8）。

例題啟示：以上例題中AB-AC=16是利用雙曲線表達(dá)式直接得到點(diǎn)A的軌跡方程，簡捷而方便。

例5.長度為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線y=x2上移動，AB中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到x軸的最短距離。

思路分析：（1）可直接利用拋物線設(shè)點(diǎn)，如設(shè)A（x1，x12），B（x2，x22），又設(shè)AB中點(diǎn)為M（x0，y0）用弦長公式及中點(diǎn)公式得出y0關(guān)于x0的函數(shù)方程，再用函數(shù)思想求出最短距離。

（2）M到x軸的距離是一種“點(diǎn)線距離”，可先考慮M到準(zhǔn)線的距離，想到使用表達(dá)式。

思路1：設(shè)端點(diǎn)A（x1，x12）端點(diǎn)B（x2，x22）和M（x0，y0）

得出方程組（x1-x2）2+（x12-x22）2=9 ①x1+x2=2x0 ②x12-x22=2y0 ③

由①得（x1-x2）2[1+（x1+x2）2]=9

即[（x1+x2）2-4x1x2]·[1+（x1+x2）2]=9 ④

由②③得2x1x2=（2x0）2-2y0=4x02-2y0

代入④得[（2x0）2-（8x02-4y0）]·[1+（2x0）2]=9

∴4y0-4x02=，

4y0=4x02+=（4x02+1）+-1

≥2-1=5，y0≥

當(dāng)4x02+1=3即x0=±時(shí)，y0min=，此時(shí)M±，。

思路2：如圖，2MM2=AA2+BB2=AF+BF≥AB=3

∴MM2≥，即MM1+≥，

∴MM1≥，當(dāng)AB經(jīng)過焦點(diǎn)F時(shí)取得最小值。

∴M到x軸的最短距離為。

例題啟示：思路1是一種“設(shè)而不求”的方法，先根據(jù)條件列出方程組，再利用整體消元思想消x1，x2，從而得到y(tǒng)0與x0的關(guān)系式，最終根據(jù)基本不等式解決問題。而思路2根據(jù)拋物線的表達(dá)式，將M到x軸的距離轉(zhuǎn)化成M到準(zhǔn)線的距離，依據(jù)梯形中位線，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為A、B到準(zhǔn)線的距離之和，結(jié)合曲線表達(dá)式解決問題。當(dāng)然此解法沒有驗(yàn)證AB是否經(jīng)過焦點(diǎn)F，而且點(diǎn)M的坐標(biāo)也無直接得出。

參考文獻(xiàn)：

[1]李賀偉.巧用定義解決圓錐曲線最值問題[J].中學(xué)生數(shù)理化（學(xué)習(xí)研究），2018（3）：9-10.

[2]吳浩.巧用定義 速解高考題[J].新高考（高三數(shù)學(xué)），2014（Z1）：31-32.

編輯 段麗君