高考“函數(shù)的零點(diǎn)”題型分類(lèi)及解題策略分析

張旭

摘 要：函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題是高考常考的內(nèi)容之一，若判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是否存在零點(diǎn)，只需判斷區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值是否異號(hào)；若判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，需要將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的解，再由方程的解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)新函數(shù)的圖象的交點(diǎn)；若利用導(dǎo)數(shù)則可以解決一些較復(fù)雜函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：函數(shù)零點(diǎn)；圖象交點(diǎn)；方程解

函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題是近些年高考出題的熱點(diǎn)問(wèn)題，考查題型以選擇題為主，偶爾出現(xiàn)在填空題和解答題之中。零點(diǎn)問(wèn)題綜合性較強(qiáng)，滲透數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法，成為高考的生長(zhǎng)點(diǎn)和學(xué)生的失分點(diǎn)。為幫助考生攻克這一難點(diǎn)，下面筆者通過(guò)對(duì)新課標(biāo)高考題的分析，歸納總結(jié)函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)題型和解題策略，希望對(duì)大家有所幫助。

一、函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷

涉及求零點(diǎn)所在區(qū)間范圍的題型，可以利用零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行求解。

利用存在性定理求解時(shí)，需要計(jì)算出區(qū)間端點(diǎn)處得函數(shù)值符號(hào)，如不能得到端點(diǎn)處的函數(shù)值可考慮用二分法繼續(xù)求證或作圖觀察函數(shù)圖象的交點(diǎn)所在的大致區(qū)間。

例1.若方程ln（x+1）+2x-1=0的根為x=m，則（ ）

A.0

解：設(shè)f（x）=ln（x+1）+2x-1，則f（0）=-1<0，f（1）=ln2+1>0，所以0

二、求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或方程的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題

求零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題是高考中最常見(jiàn)的零點(diǎn)題型，如果所給函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，可以考慮利用存在性定理證明函數(shù)存在零點(diǎn)，然后再證明函數(shù)在此區(qū)間是單調(diào)函數(shù)即可。如果所給函數(shù)含有一個(gè)以上的零點(diǎn)，可以采用數(shù)形結(jié)合的方法求解。如將f（x）轉(zhuǎn)化為

f（x）=g（x）-h（x）的形式，則可以作出g（x）和h（x）的圖象，兩個(gè)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

例2.若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（-x）=f（x），f（2-x）=

f（x），且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，其圖象是四分之一圓，則函數(shù)H（x）=xex-f（x）在區(qū)間[-3，1]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）

A.5 B.4 C.3 D.2

解：函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且f（x+2）=f（-x）=f（x），即函數(shù)f（x）是以2為周期的函數(shù)。記g（x）=xex，則有g(shù)′（x）=（x+1）ex，當(dāng)x<-1時(shí)，g′（x）<0；當(dāng)x>-1時(shí)，g′（x）>0，由此畫(huà)出g（x）=xex的圖象，進(jìn)而得到y(tǒng)=xex的圖象，結(jié)合圖象知，函數(shù)y=xex與y=f（x）的圖象在[-3，1]上共有4個(gè)交點(diǎn)，故選B。

在將原函數(shù)轉(zhuǎn)化時(shí)要注意轉(zhuǎn)化的函數(shù)圖象要盡量簡(jiǎn)單，方便作圖。另外，在作圖時(shí)可能會(huì)涉及圖象的平移、翻折變換、復(fù)雜的函數(shù)甚至需要求導(dǎo)，因此，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中學(xué)生要熟悉基本初等函數(shù)及變形后的函數(shù)圖象。

三、復(fù)合型函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題

對(duì)于復(fù)合型函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，往往給出的函數(shù)都是分段函數(shù)，直接代入較為復(fù)雜，為學(xué)生解題帶來(lái)極大困難。為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，我們一般需要先將復(fù)合型函數(shù)f[g（x）]拆分為兩個(gè)函數(shù)y=

f（t），t=g（x）。然后根據(jù)函數(shù)f（t）的零點(diǎn)情況確定t的值或范圍，再分別作出函數(shù)y=t和y=g（x）的圖象，根據(jù)兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的情況就能最終確定復(fù)合型函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)了。

例3.已知函數(shù)f（x）=，x≤1log2（x-1），x>1則函數(shù)F（x）=f[f（x）]-2f（x）-的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）

A.4 B.5 C.6 D.

解：令t=f（x），則F（x）=f（t）-2t-，其零點(diǎn)由F（x）=0，得f（t）=2t+，作出函數(shù)y=f（t）與y=2t+■的圖象，根為t=0或t∈（1，2）。當(dāng)t=0時(shí)，x=2；當(dāng)t∈（1，2）時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)F（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4，故選A。

四、求函數(shù)所有零點(diǎn)和的問(wèn)題

求函數(shù)零點(diǎn)之和的問(wèn)題是最近幾年高考出現(xiàn)的新類(lèi)型題，它一般會(huì)將函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題和零點(diǎn)問(wèn)題結(jié)合在一起進(jìn)行考查，題目較難，對(duì)學(xué)生的綜合解題能力要求高。對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題的解答需要我們先利用作圖的方式找到零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)性分別求出兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心（通常兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性相同）。由函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知零點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性，關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心對(duì)稱(chēng)的零點(diǎn)和為對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心橫坐標(biāo)的2倍。由此，可以確定所有零點(diǎn)的和。

例4.函數(shù)f（x）=+2sinπx-在x∈[-3，5]上的所有零點(diǎn)之和為（ ）

A.4 B.6 C.8 D.10

解：因?yàn)閒（x）=-2cosπx，所以函數(shù)f（x）的零點(diǎn)即為函數(shù)y=與函數(shù)y=2cosπx的交點(diǎn)，作出函數(shù)y=與函數(shù)y=2cosπx的圖象，由圖知，有8個(gè)交點(diǎn)，而x=1是兩函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，所以函數(shù)f（x）所有零點(diǎn)之和為4×2=8，故選C。

參考文獻(xiàn)：

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編輯 段麗君