作圖軟件介入數(shù)學(xué)課堂，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式轉(zhuǎn)變

摘 要：2017新版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出：“學(xué)生需要獲得必要的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能、感悟數(shù)學(xué)基本思想、不斷積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過程（四基）?！逼渲?，“積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”這一提法在平時(shí)教學(xué)實(shí)踐中關(guān)注度不夠，所以相對(duì)缺乏，而且既然要“積累”所以更因該多給學(xué)生在課堂內(nèi)外實(shí)踐的機(jī)會(huì)，從而改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式；另外，很多高一學(xué)生對(duì)函數(shù)缺乏興趣，普遍認(rèn)為抽象又晦澀難懂，一進(jìn)高中就對(duì)數(shù)學(xué)有了懼怕感。基于以上兩個(gè)原因，我嘗試以一節(jié)函數(shù)圖象的應(yīng)用課為切入點(diǎn)，手機(jī)為輔助教學(xué)工具，開展一次教學(xué)活動(dòng)，減弱學(xué)生對(duì)函數(shù)的懼怕感，培養(yǎng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，幫助他們建立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，為整個(gè)高中三年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：信息技術(shù)；基本活動(dòng)；經(jīng)驗(yàn)學(xué)習(xí)；方式轉(zhuǎn)變

一、本課預(yù)期達(dá)成的目標(biāo)

1.知識(shí)與技能：以智能手機(jī)軟件Desmos為工具，運(yùn)用基本函數(shù)圖象的變換，畫出日常生活中常見的幾何商標(biāo)，進(jìn)一步掌握函數(shù)圖象、性質(zhì)及圖像的基本變換。

2.過程與方法：在運(yùn)用智能手機(jī)軟件Desmos畫商標(biāo)的過程中，體會(huì)基本函數(shù)圖象及變換，發(fā)展想象力、創(chuàng)造力，提高分析問題和解決問題能力。

3.情感、態(tài)度、價(jià)值觀：感受數(shù)學(xué)之美，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

二、本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)

1.基本函數(shù)的圖象與性質(zhì)。

2.基本函數(shù)圖象與變換。

三、本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)

對(duì)幾何商標(biāo)進(jìn)行抽象、概括，與已有的基本函數(shù)圖象建立

聯(lián)系。

四、教學(xué)工具以及軟件準(zhǔn)備

教師及每個(gè)學(xué)生攜帶智能手機(jī)，安裝數(shù)學(xué)軟件Desmos（免費(fèi)app），課前教師和學(xué)生共同學(xué)習(xí)軟件的基本操作。

五、學(xué)生知識(shí)能力儲(chǔ)備

1.函數(shù)定義以及相關(guān)概念與性質(zhì)；

2.已掌握的常見函數(shù)，比如一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、冪指對(duì)函數(shù)、三角函數(shù)等；

3.一些常見的圖像變換，比如平移變換、對(duì)稱變換、絕對(duì)值變換等；能用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；

4.高一學(xué)生已經(jīng)具備了一定的數(shù)形結(jié)合能力。

六、本節(jié)課的研究策略（流程）

首先由老師提出問題，學(xué)生分組討論并且自主確定函數(shù)模型，然后根據(jù)所選擇的函數(shù)模型寫出函數(shù)解析式然后使用繪圖軟件作出函數(shù)圖象，下一步是組間交流檢驗(yàn)所畫出的圖像是否符合要求，哪個(gè)組畫得更合理，如果不符合要求則重新分組討論改進(jìn)函數(shù)模型，如果符合要求則流程結(jié)束。

七、實(shí)施過程

1.[復(fù)習(xí)]基本函數(shù)的圖象及其相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。

2.[引入]以學(xué)生熟悉的麥當(dāng)勞的品牌標(biāo)志引入課題。

教師：大家都看過麥當(dāng)勞的品牌標(biāo)志，同學(xué)們能不能在Desmos軟件里輸入一個(gè)函數(shù)解析式，從而畫出麥當(dāng)勞的圖像呢？

3.[問題初步解決]

學(xué)生A：可以輸入正弦函數(shù)的圖象；

提問：正弦函數(shù)圖象與麥當(dāng)勞的logo一致嗎？

學(xué)生A：還需要添加絕對(duì)值；

教師：如何加絕對(duì)值？

學(xué)生A：y=sinx；

教師用Desmos作圖并投影展示，同時(shí)復(fù)習(xí)兩種常見函數(shù)絕對(duì)值變換，即，y=

f（x）→y=f（x）與y=f（x）→y=f（x）

并提問：y=sinx行

不行？

學(xué)生甲思考后回答：也可以；

教師：完成了嗎？

學(xué)生A：振幅偏小；

教師：振幅等于多少比較合適呢？

學(xué)生A：4

教師改進(jìn)Desmos解析式：y=4sinx

提問：很好！感覺比較像了，但老師覺得還有一個(gè)很大的問題；

學(xué)生A搶答：還需要加上定義域，x∈[-π，π]

教師：很好！但是手機(jī)軟件Desmos好像不支持輸入定義域怎么辦？

學(xué)生沉默。

教師提示：x∈[-π，π]等價(jià)于（x+π）·（x-π）≥0故把解析式變?yōu)閥=sinx+0·即可得到所需要的圖象。教師改進(jìn)Desmos解析式（圖1），學(xué)生表示認(rèn)可。

教師：剛才A同學(xué)用了三角函數(shù)模型畫出了麥當(dāng)勞的logo，我想大家一定還有其他思路，請(qǐng)操作手機(jī)，用你自己的思路畫出麥當(dāng)勞的logo，可以小組討論；

學(xué)生B通過投影演示他的畫法：

使用二次函數(shù)和絕對(duì)值變換構(gòu)造函數(shù)

y=x·（6-x），x∈[-6，6]

學(xué)生C通過投影演示他的畫法：

直接把二次函數(shù)開方，可以直接生成定義域，

但是開方之后外面要乘以4

y=4

4.[歸納小結(jié)]

教師繼續(xù)提問：請(qǐng)大家總結(jié)一下，剛才我們使用了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，利用手機(jī)畫畫的步驟是什么？

學(xué)生自主歸納，教師由學(xué)生的歸納寫出研究策略。

5.[問題的拓展研究]

教師：有了研究策略之后，請(qǐng)同學(xué)們分組討論，嘗試用函數(shù)圖象畫一顆心出來。

學(xué)生D演示所在小組的成果；

教師問學(xué)生D：你們組是怎么完成這幅畫的？

學(xué)生D：圖的上班部分是用剛才畫麥當(dāng)勞logo的辦法畫的，下班部分用了一個(gè)二次函數(shù)就畫出來了。

教師：那么函數(shù)的解析式是如何確定的呢？

學(xué)生D：上面一半圖形的解析式為y=4，下半個(gè)圖象二次函數(shù)的開口向上，先確定大致頂點(diǎn)的位置是（0，-8），然后設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a·x2-8，（a>0），然后再根據(jù)x軸上方圖象與x軸交于兩個(gè)點(diǎn)（±6，0），代入之后就可以得到a=，所以二次函數(shù)的解析式為y=x2-8，x∈[-6，6]。（圖2）

教師歸納：確定了定點(diǎn)之后我們常用待定系數(shù)法來求出函數(shù)解析式，待定系數(shù)方是一個(gè)常用的求函數(shù)解析式的方法。

教師：剛才D同學(xué)所在小組的畫還有沒有改進(jìn)意見？

學(xué)生E：心的圖象底部應(yīng)該是尖的，而剛才畫的二次函數(shù)圖象底部是圓的。

教師：那么如何操作呢？

學(xué)生E：第四象限的圖象有點(diǎn)像指數(shù)函數(shù)，可以把指數(shù)函數(shù)向下平移得到，然后第三象限可以使用絕對(duì)值變換畫出一個(gè)偶

函數(shù)。

教師：很好！請(qǐng)具體說明一下怎么求出所需要的函數(shù)解析

式的；

學(xué)生E：先設(shè)定心性圖象的底部頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-8），而指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)（0，1），所以第一步需要把指數(shù)函數(shù)圖象向下平移9個(gè)單位，然后就可以設(shè)圖像解析式為y=ax-9，由于圖象還經(jīng)過點(diǎn)（±6，0），代入后得到，然后后對(duì)函數(shù)進(jìn)行加絕對(duì)值變換，得到函數(shù)解析式為y=-9，x∈[-6，6]。

教師演示圖象（圖3）；

6.[課堂學(xué)習(xí)小結(jié)]

教師小結(jié)：這節(jié)課大家總結(jié)一下我們學(xué)習(xí)了什么，你有什么收獲？

（學(xué)生自主小結(jié)）

7.[課后作業(yè)布置]

（1）剛才同學(xué)們畫的“心”形的圖案還是有改進(jìn)余地的，由于時(shí)間關(guān)系沒有做得完美，課后請(qǐng)繼續(xù)改進(jìn)；

（2）根據(jù)課堂所學(xué)嘗試畫一個(gè)你自己喜歡的畫。

八、啟發(fā)與思考

在“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代，現(xiàn)代信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用正在對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生深刻影響。像Desmos這樣的數(shù)學(xué)軟件，能讓學(xué)生很容易的建立簡(jiǎn)單圖形與數(shù)學(xué)表達(dá)式之間的聯(lián)系，體會(huì)圖形與圖形、圖形與解析式的關(guān)系。另外，現(xiàn)在的中學(xué)生對(duì)手機(jī)的使用非常感興趣，而且熟練程度比老師更高，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用信息技術(shù)學(xué)習(xí)、探索和解決問題非常符合學(xué)生年齡特征，學(xué)生不僅僅在課堂上非常投入，課后學(xué)生仍然興趣不減，他們畫了很多圖片并截屏給我，并表示可以畫更復(fù)雜的圖形。

不僅僅是學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的增加，我認(rèn)為這節(jié)課更重要的收獲是發(fā)現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變。

1.在“打怪升級(jí)”中不知不覺地提升自身的核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)。游戲能吸引學(xué)生的主要原因是在不停的“打怪升級(jí)”中得到獎(jiǎng)勵(lì)，讓游戲中得到心理上的滿足，而我們傳統(tǒng)課堂上獎(jiǎng)勵(lì)就比較少，而在這節(jié)課上學(xué)生在建模的過程中一邊利用手機(jī)畫畫，一邊感悟并理解數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)聯(lián)，所畫的作品每次進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)都能得到隊(duì)友和老師的認(rèn)可和表揚(yáng)，這與手機(jī)中得到的獎(jiǎng)勵(lì)太類似了，學(xué)生的觀察歸納、抽象思維及運(yùn)算能力在一次次作品的改進(jìn)中自然而然得到了提高。

2.學(xué)習(xí)流程的改變。從流程上講，傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)任務(wù)流程是：

教師布置學(xué)習(xí)任務(wù)學(xué)生完成老師布置任務(wù)教師批改并講評(píng)學(xué)生訂正。這節(jié)課上學(xué)生的學(xué)習(xí)流程是以學(xué)生為主體自主完成，這個(gè)過程并不需要教師進(jìn)行批改講評(píng)，而是由學(xué)生自己對(duì)剛才畫出的圖象進(jìn)行評(píng)價(jià)并提出改進(jìn)方向，然后逐步改進(jìn)，教師只是起到輔助的作用，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中體驗(yàn)了用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界。

3.從參與上來講，一般的數(shù)學(xué)解題過程是由學(xué)生獨(dú)立完成的，而學(xué)生利用手機(jī)打網(wǎng)游往往是組隊(duì)打的，手機(jī)上手之后這節(jié)課自然變成了團(tuán)隊(duì)合作，學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中，分工明確，有人提出函數(shù)模型，有人觀察質(zhì)疑，有人實(shí)施具體操作，有人負(fù)責(zé)計(jì)算，在互相合作完成任務(wù)過程中，促進(jìn)了數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，逐步形成程序化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神。

4.從封閉轉(zhuǎn)向開放，一般的數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)總是以單一知識(shí)點(diǎn)為主的學(xué)習(xí)，比如說某一章節(jié)中某一小節(jié)的知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)，而這節(jié)課打破了這個(gè)特點(diǎn)，函數(shù)圖象的選擇由學(xué)生自主決定，涉及的知識(shí)點(diǎn)不限于課本上的某一節(jié)或某一章的內(nèi)容，而且選用的這些知識(shí)點(diǎn)在不在同一章節(jié)，不同內(nèi)容還必須要綜合在一起應(yīng)用才能完成任務(wù)，另外這節(jié)課還把數(shù)學(xué)與藝術(shù)結(jié)合在一起，也可以說是跨學(xué)科教學(xué)。

5.積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，本節(jié)課內(nèi)容上雖然看起來是玩玩手機(jī)畫畫圖，但本質(zhì)是一節(jié)問題驅(qū)動(dòng)下的研究性學(xué)習(xí)，老師在課堂上拋出了問題，既使用指定的工具及軟件并利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)畫出一些簡(jiǎn)單的圖象，整個(gè)活動(dòng)中教師只是起到引導(dǎo)作用，學(xué)生從數(shù)學(xué)的視角分析問題、構(gòu)建函數(shù)模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題，在畫畫過程中主動(dòng)用到了很多數(shù)學(xué)知識(shí)，而且自然而然地把這些數(shù)學(xué)知識(shí)綜合在一起，比平時(shí)解題收獲更大，在一次次的改進(jìn)中，學(xué)生畫出的圖象越來越完美，也讓他們心靈上得到了很大的成就感和滿足感。我認(rèn)為這個(gè)研究過程就是“積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的過程。學(xué)生在小組合作交流討論的過程中，加深了對(duì)函數(shù)相關(guān)知識(shí)的理解，同時(shí)獨(dú)立思考、分析問題和解決問題能力都得到了進(jìn)步。

最后，我想說高中階段能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)之美的機(jī)會(huì)不多，現(xiàn)在學(xué)生能真真切切的感受到，“畫畫”讓數(shù)學(xué)更美麗，更精彩！

作者簡(jiǎn)介：錢嶸，（1972.11—），男，漢族，上海市同濟(jì)大學(xué)第二附屬中學(xué)，籍貫：上海，本科，中學(xué)一級(jí)，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)。

課題：函數(shù)圖像演變畫商標(biāo)。

編輯 馬曉榮