動態(tài)灰色預測模型在崩落法礦山地表沉降預測中的應用

倪振原，明 建，金愛兵，孫金海

(1．金屬礦山高效開采與安全教育部重點實驗室，北京 100083；2．北京科技大學 土木與資源工程學院，北京 100083)

地表沉降現(xiàn)象的產生是一個復雜的過程，影響地表沉降的因素具有復雜多樣的特點，主要有地下礦產資源的開采、地表工程的施工、地質結構的變化等因素，這些影響因素或多或少地影響了巖土體的沉降，但不同影響因素對沉降量影響的比重無法準確獲得[1-2]。如果能夠準確地預測礦區(qū)地表沉降的變化量或者趨勢，將對礦床開采產生巨大的經濟價值和社會意義，因此建立數(shù)學或數(shù)值模型對地下開采引起的地表沉降進行研究及預測一直是采礦工程和巖土工程領域研究的重點[3-5]。

國內外學者采用很多方法對地表沉降問題進行了預測研究，例如有限單元[6]、灰色系統(tǒng)理論[7-8]、神經網絡[9-10]等，分析原理各不相同，分析誤差也存在差異。由于地表沉降監(jiān)測范圍大，時間長且監(jiān)測所得的樣本數(shù)據(jù)較少，適合使用灰色理論建立模型以及分析預測[11-12]。根據(jù)現(xiàn)有研究基礎，灰色理論模型更適用于短期預測，而對于中長期預測結果更多表現(xiàn)為一種趨勢，定量參考價值較低。故本研究將等維新息[13]和等維灰數(shù)遞補方法[14-15]與灰色預測模型GM(1，1)相結合，建立動態(tài)灰色預測模型[16]。以某礦山崩落法深部開采引發(fā)的巖層移動及地表沉降數(shù)據(jù)為數(shù)據(jù)基礎，運用這些模型進行預測和分析，以證明其在預測精度和準確性上比從靜態(tài)角度考慮未來時刻狀態(tài)的灰色預測模型GM(1，1)更適于中長期預測。

1 工程概況

該鐵礦床采用無底柱分段崩落法開采，其礦巖賦存條件較差。其礦體上部存在公路及輸水管道，為此礦山采用預留垂直礦柱的方法進行地下開采。由于深部開采有可能會引起巖層移動與地表沉降，因此需要進行持續(xù)的監(jiān)測工作以避免和降低可能發(fā)生的安全隱患。

本研究根據(jù)礦區(qū)的工程地質和水文地質條件等情況，利用工程現(xiàn)場的地表監(jiān)測數(shù)據(jù)，采用理論分析方法，對礦床開采引起的地表沉降變形進行分析和預測，以便根據(jù)預測的地表沉降變形及時地調整開采方案，從而降低地面沉降變形誘發(fā)地質災害的機率，其預測結果對礦區(qū)的安全生產和社會經濟發(fā)展有積極的指導作用。

2 灰色預測模型

2.1 GM(1，1)模型建模和精度檢驗

設定原始數(shù)列為：

X(0)={X(0)(i)|i=1,2，…,n}={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}

(1)

對X(0)作一次累加生成(記作1—AGO)，即令

(2)

因GM(n，h)模型中n和h均為1，則GM(1，1)相應的微分方程為：

(3)

式中：α為發(fā)展系數(shù)；μ反映數(shù)據(jù)之間的變化關系，即灰色作用量。

根據(jù)最小二乘法解得：

(a,u)T=(BTB)-1BTYN

(4)

式中：YN=[x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(n)]T；

進一步得到時間響應系數(shù)為：

(5)

還原方程為：

(6)

式(5)和式(6)即為GM(1，1)預測的兩個基本模型。

2.2 等維灰數(shù)遞補模型和等維新息模型

對定量預測而言，隨著時間的推移，未來的眾多擾動因素將對預測系統(tǒng)施加影響。因此，雖然灰色預測模型GM(1，1)理論上能夠實現(xiàn)長期預測，但是從灰平面上觀察，僅其最近預測的一兩個數(shù)據(jù)的精度較高，剩余數(shù)據(jù)更多是反映一種趨勢。

等維灰數(shù)遞補模型的建立過程：首先用已知數(shù)據(jù)建立灰色預測模型GM(1，1)預測最近一期值，其后將預測值補充到已知數(shù)列中，再去掉最老的數(shù)據(jù)；序列再建立GM(1，1)模型繼續(xù)預測，依次循環(huán)，直至完成預測目標。該模型的特點是能夠及時補充和利用灰信息，提高灰平面的白色度，縮小預測值的灰區(qū)間；每預測一步，即對灰參數(shù)作一次修正，并隨之修正模型；可以使用較短的數(shù)列完成相對長期的預測，但是不能無限地預測下去。

等維新息模型的建立過程與等維灰數(shù)遞補模型相似，但是等維新息模型替補的數(shù)據(jù)為系統(tǒng)獲得的實際數(shù)據(jù)，而等維灰數(shù)遞補模型替補的數(shù)據(jù)為預測值。因此，前者是用新息來調整模型，后者則是用灰數(shù)來約束灰平面的大小。故在實際處理問題時，可以將兩種方法結合起來應用，從而實現(xiàn)中長期預測的目標。

3 灰色組合預測模型的實例分析

本文以山東某礦E12點沉降測量數(shù)據(jù)為例，驗證等維新息預測模型和等維灰數(shù)遞補預測模型結合應用于地表沉降的中長期定量預測的可行性。該點從2016年8月開始測量，令其初始測量值為0。實際測量值如表1所示。

表1 E12監(jiān)測點沉降測量數(shù)據(jù)

3.1 灰色預測模型與等維灰數(shù)遞補模型的對比

依據(jù)灰色預測模型GM(1，1)的數(shù)據(jù)要求為非負值，且其第1項不能為0的原則，取2016年9月至2017年2月的6期數(shù)據(jù)作為原始數(shù)列，2017年3月至2017年6月的數(shù)據(jù)作為對比。其預測結果如表2所示。

表2 灰色預測模型GM(1，1)預測結果

由表2數(shù)據(jù)可知，對于灰色預測模型GM(1，1)，作為短期預測值，其預測的數(shù)據(jù)值僅僅只有最近1～2個數(shù)據(jù)具有實際意義。而隨著時間推移，預測值與實際值之間的差距逐漸擴大，不再具有實際意義。此時需要對該模型進行修正，將原始數(shù)據(jù)進行滑動平均處理，利用等維灰數(shù)遞補方法將第7期所預測值帶入新的模型中，并去除第1期的數(shù)據(jù)，預測第8期的數(shù)據(jù)，以此循環(huán)建模，可以獲得較好的預測結果。

表3 等維灰數(shù)遞補模型預測數(shù)據(jù)

由表3可知，應用等維灰數(shù)遞補方法能夠較灰色預測模型GM(1，1)降低40%～50%的預測誤差，精度得到了較大的提升，經過修正后可進行中長期的預測，但隨著時間的推移仍存在一定的誤差，因此也不能無限地預測下去。

3.2 兩種動態(tài)灰色預測模型組合預測

由以上所得，等維灰數(shù)遞補方法可在一定程度上提高模型預測精度，故可利用等維新息方法將已知的實測數(shù)據(jù)帶入模型中進行預測，即將第7期實測數(shù)據(jù)代入模型中，去除第1期數(shù)據(jù)，得到新預測值；再將第8期實測數(shù)據(jù)代入模型中，去除第2期數(shù)據(jù)，如此循環(huán)遞補。而后將無實測數(shù)據(jù)部分利用等維灰數(shù)遞補方法進行預測，此時所得預測數(shù)據(jù)的精度將進一步提高，模型的預測值與實際值進一步接近。因此本研究將前10期數(shù)據(jù)由等維新息預測模型預測，11至15期數(shù)據(jù)由等維灰數(shù)遞補預測模型預測，預測的結果如表4所示。

動態(tài)灰色預測模型組合預測結果與各單體預測模型之間的修正數(shù)比較，如圖1所示。

由表4和圖1可知，應用等維新息預測模型獲得的第1至10期預測結果與表3中應用等維灰數(shù)遞補預測模型獲得的預測值進行比較，前者誤差得到進一步的降低，灰色模型的預測精度得到進一步的提高，更趨近于實測值；同時，利用等維灰數(shù)遞補預測模型預測的第11至第15期數(shù)據(jù)也符合之前實測值的增長趨勢，不存在較大偏差。

表4 兩種動態(tài)灰色預測模型組合預測結果

圖1 灰色預測模型修正數(shù)比較Fig.1 The residuals of the forecasting models

試驗結果表明，將等維灰度遞補方法和等維新息方法結合運用于灰色系統(tǒng)中，及時添加新息并去除老數(shù)據(jù)，并利用新息調整模型、灰數(shù)約束灰平面大小的方法進一步提高了模型的預測精度、減少了預測誤差，較單獨使用等維灰數(shù)遞補方法的灰色預測模型的預測值更趨近于實測值。雖然兩種動態(tài)灰色預測方法能夠大幅度地減少預測誤差，提高模型精度，但也無法無限地進行長期預測，需要在獲取實測數(shù)據(jù)后及時將其添加入系統(tǒng)，通過新息調整模型，提升精度。

4 結論

針對某鐵礦床應用無底柱分段崩落法開采深部礦體時礦區(qū)地表沉降數(shù)據(jù)的特點，本研究以灰色預測模型GM(1，1)為基礎，采用等維新息和等維灰數(shù)遞補兩種動態(tài)灰色預測方法對礦山地表的沉降量進行了中長期預測研究。研究結果表明動態(tài)灰色預測模型的預測結果與實測數(shù)據(jù)趨勢一致性較高，其預測精度有較大提高。該模型適用于礦區(qū)地表沉降的中長期預測，能夠為降低礦床開采和礦區(qū)地表的安全隱患提供依據(jù)。