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    三角形垂心的一個(gè)有趣性質(zhì)
    ——兼擂題(121)的解答

    2019-04-18 03:26:00重慶市長(zhǎng)壽龍溪中學(xué)郵編401249

    重慶市長(zhǎng)壽龍溪中學(xué) (郵編:401249)

    《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》2019年第1期上的擂題(121)是趙忠華老師提供的一個(gè)有趣的幾何問題:

    擂題(121) 設(shè)H是△ABC的垂心,J為BC的中點(diǎn),點(diǎn)M,N在邊BC上,BM=CN,且B,M,N,C四點(diǎn)按此順序排列.過H且垂直于HM的直線交AB于點(diǎn)E,過H且垂直于HN的直線交AC于點(diǎn)F,則JH⊥EF.

    下面我們用坐標(biāo)法證明這個(gè)命題.

    證明如圖1,設(shè)AO是△ABC的BC邊上的高.

    圖1

    以BC所在直線為x軸,以AO所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.易知(R為△ABC外接圓半徑):

    A(0,2RsinBsinC),B(-2RcosBsinC,0),C(2RsinBcosC,0),H(0,2RcosBcosC).

    則BC的中點(diǎn)J為(Rsin(B-C),0).

    又設(shè)M(-2RcosBsinC+m,0),N(2RsinBcosC-m,0)(其中m≠a=2RsinA).

    而EH⊥MH,可求得HE的方程為:

    x(2RcosBsinC-m)+2yRcosBcosC=4R2cos2Bcos2C.

    又,AB的方程為:

    xsinB-ycosB=-2RsinBcosBsinC.

    解得兩直線的交點(diǎn)E的坐標(biāo)為:

    同理可得F的坐標(biāo)為:

    注參數(shù)m不能取a(否則題設(shè)中的E,F(xiàn)將不存在),除此外,m可取其它任意實(shí)數(shù)值.這表明:擂題中只需M,N在直線BC上且關(guān)于J對(duì)稱(但不能與B,C重合)即可,不必限定為圖1中的順序.

    下面給出該擂題的若干有趣推論.

    推論1 如圖1,在擂題(121)條件下,△MHE與△NHF反向相似.

    顯然,上式左邊兩向量的夾角與右邊兩向量的夾角相等,因此有:

    由此易知:△MHE∽△NHF.

    而它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)繞向相反,所以是反向相似.證畢.

    圖2

    推論2 如圖2,H是△ABC的垂心,J為BC的中點(diǎn).M,N在直線BC上且關(guān)于J對(duì)稱.過H且垂直于HM的直線交直線AC于點(diǎn)D,交直線AB于點(diǎn)E;過H且垂直于HN的直線交AC于點(diǎn)F,交直線AB于點(diǎn)G,則(i)EF//DG;(ii) △MDE與△NGF反向相似.

    證明(i)擂題中已證:JH⊥EF.同理可證:JH⊥DG.所以EF//DG.

    (ii)推論1中已證△MHE與△NHF反向相似.同理可證:△MHD與△NHG反向相似.并且這兩對(duì)相似三角形的相似比都是|MH|:|NH|.由此易得結(jié)論.證畢.

    另外,注意到擂題的證明中得到的E,F(xiàn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù),即有:

    推論3 如圖1,在擂題(121)條件下,則BC邊上的高AO平分EF.

    特別地,當(dāng)M、N與J重合時(shí),EF過垂心H,由推論3得:

    圖3

    推論4 如圖3,設(shè)H是△ABC的垂心,J為BC的中點(diǎn),過H且垂直于HJ的直線交直線AB于點(diǎn)E,交直線AC于點(diǎn)F,則H是EF的中點(diǎn).

    評(píng)注(評(píng)注人:郭要紅,2019年3月31日) 本擂題收到正確攻擂稿件4份,按時(shí)間順序,作者依次是吳波(重慶市長(zhǎng)壽龍溪中學(xué),401249,2019年2月22日),張?jiān)迫A(四川省成都華西中學(xué),610051,2019年2月23日),個(gè)屋院(2019年2月24日),孫純祥(忠縣臨港初級(jí)中學(xué),404342,2019年2月27日)。我們選擇刊登吳波老師的來稿作為本擂題的解答,吳老師也是擂題獎(jiǎng)金的獲得者. 文章署名表明作者擁有文章的著作權(quán)與文責(zé)自負(fù),懇請(qǐng)作者來稿注明真實(shí)姓名。

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