一道作圖題的命制及反思

南京師范大學(xué)附屬中學(xué)新城初級(jí)中學(xué) (郵編：210017)

筆者有幸參與了南京市建鄴區(qū)一模試卷的命制工作，其中解答題第22題作圖題給筆者留下深刻印象，以下是筆者的一些思考，以期對(duì)讀者有所啟發(fā)．

1 試題呈現(xiàn)

圖1

題目如圖，已知點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，利用直尺和圓規(guī)確定一條過點(diǎn)P的直線，分別交AO、BO于點(diǎn)E、F，使得OE=OF．(不寫作法，保留作圖痕跡)

2 命題過程

2.1 初步方案

在初中數(shù)學(xué)中，尺規(guī)作圖被分為兩類：一類是“基本作圖”：作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作一個(gè)角的平分線；作一條線段的垂直平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線．還有一類是“利用基本作圖的作圖”：已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形；已知一直角邊和斜邊作直角三角形．過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓；作三角形的外接圓、內(nèi)切圓；作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形．它們都是初中生必須掌握的基本技能．

由于尺規(guī)作圖的嚴(yán)格規(guī)定，使其具備了極高的思維價(jià)值．南京市最近幾年在初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試中均出現(xiàn)一道內(nèi)涵豐富的尺規(guī)作圖題，它既是對(duì)學(xué)生的動(dòng)手能力進(jìn)行考查，又是對(duì)幾何基礎(chǔ)知識(shí)、基本圖形的綜合考查．一模試卷具有中考試卷仿真性的特點(diǎn)，整卷中需要一道思維含量高的作圖題．根據(jù)命題雙向細(xì)目表的要求，試題的知識(shí)點(diǎn)以等腰三角形為載體，難度系數(shù)為0.5-0.6，切入點(diǎn)廣，便于不同認(rèn)知風(fēng)格學(xué)生解決問題．

2.2 形成初稿

計(jì)劃擬定后，翻閱有關(guān)資料，有一道練習(xí)題吸引了筆者的注意．

圖2

如圖2， 點(diǎn)P是∠AOB的平分線上的一點(diǎn)，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形．

圖3

圖4

圖5

此題有兩種解法．如圖3，過點(diǎn)P分別作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，根據(jù)“AAS”或“HL”可得△POM和△PON全等；如圖4，過點(diǎn)P作EF⊥OP交OA、OB于點(diǎn)E、F，根據(jù)“ASA”可得△POE和△POF全等．圖4中的△EOF就是等腰三角形，從命題的知識(shí)點(diǎn)角度符合要求，但難度偏低，區(qū)分度不高．于是，命題組改變素材條件，把“點(diǎn)P是∠AOB的平分線上的一點(diǎn)”改為“點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)”，從特殊到一般，弱化條件后的命題難度有所提升．但在答案的制定上，受思維慣性影響，利用化歸思想，在角平分線OC上找一個(gè)點(diǎn)M，使得過M點(diǎn)垂直于OC的直線過點(diǎn)P即可．本題答案如圖5，作∠O平分線OC；過點(diǎn)P作OC的垂線PM交OA于E，交OB于F，則EF為求作的圖形．

2.3 完善解答

圖6

本題的作法不唯一，比較開放，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)有必要給出有可能出現(xiàn)的答案，方便教師閱卷和評(píng)分，有效減少評(píng)分的誤差，提高試題的信度．作圖題常見思路，就是把分析法與綜合法相互結(jié)合，關(guān)注基本軌跡，即同時(shí)滿足兩個(gè)軌跡的點(diǎn)，就是同時(shí)滿足兩個(gè)條件的點(diǎn)．筆者作出符合條件要求的圖6，觀察圖形，分析結(jié)果，剖析本題的條件，如圖7所示．

圖7

若滿足條件2：OE=OF，但直線EF不過點(diǎn)P，本質(zhì)就是做一個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)的等腰三角形，再作一條平行于底的直線就是滿足條件的圖形．作已知直線的平行線，在初中階段可以通過角的數(shù)量關(guān)系，或平行四邊形的性質(zhì)作出．于是，答案會(huì)出現(xiàn)下列幾種作法．

圖8

如圖8，作OM=ON；連接OP交MN于Q；作∠OPE=∠OQM；作直線EP交OB于點(diǎn)F，則EF為求作的直線．

圖9

如圖9，作OM=ON；連接PN；作PN的中點(diǎn)C；連接MC并延長(zhǎng)至點(diǎn)Q，使得CQ=CM；作直線PQ分別交AO、BO于點(diǎn)E、F，則EF為求作的直線．

圖10

如圖10，作OM=ON；連接PM；以P為圓心，MN為半徑作弧，以N為圓心，MP為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)Q；作直線PQ分別交AO、BO于點(diǎn)E、F，則EF為求作的直線．

圖11

圖12

上述三種作法是先保證兩線段相等的基礎(chǔ)上，再保證直線過點(diǎn)P，即通過作平行線的方式獲得，圖6中兩個(gè)條件是并列關(guān)系，故我們也可以先保證直線過點(diǎn)P，再保證兩線段相等．如圖11，過點(diǎn)P作PM∥OB，交OA于點(diǎn)M；以M為圓心，MP為半徑作弧交OA于點(diǎn)E；作直線EP交OB于點(diǎn)F，則EF為求作的直線．

圖13

線段OE=OF等價(jià)于∠OEF=∠OFE，由圖5分析可以得到已知∠O是等腰三角形的頂角，∠OEF，∠OFE均為該等腰三角形的底角，由等腰三角形的知識(shí)，∠OFE可以用∠O表示為兩種形式．

圖14

圖15

如圖13，作∠EPO=∠QOM，由同位角相等，兩直線平行，得到EP∥QO．

如圖14，在OQ上任作點(diǎn)Q，連接PQ，并作出中點(diǎn)G，連接OG并延長(zhǎng)至點(diǎn)M，使得MG=OG；作直線MP分別交AO、BO于點(diǎn)E、F，由對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形得到MP∥QO．如圖15，由兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形得到MP∥QO．

圖16

從特殊線段角度，筆者也得到了一種作法：如圖16，過點(diǎn)P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為M、N；延長(zhǎng)NP至點(diǎn)Q；作∠QPM的角平分線PE；直線PE交OB于點(diǎn)F，則EF為求作的直線．

3 反思

尺規(guī)作圖是研究幾何問題不可缺少的環(huán)節(jié)和方法，可以訓(xùn)練學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓ぷ鲬B(tài)度．本題入口寬，方法多樣，但最后全區(qū)的得分率卻低于0.4，究其原因，其一教材在編寫時(shí)把尺規(guī)作圖的內(nèi)容分散到各個(gè)章節(jié)中，沒有單獨(dú)地整理，學(xué)生缺乏系統(tǒng)性．二是部分教師理念陳舊，操作程序多是“直接告訴”，不講尺規(guī)作圖的意義，忽視說理和證明，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)尺規(guī)作圖的理解不夠，不利于學(xué)生的發(fā)展．

尺規(guī)作圖可以作為把外部操作活動(dòng)轉(zhuǎn)化為內(nèi)部思維活動(dòng)的問題載體．課標(biāo)提供了五個(gè)基本作圖，一般的作圖問題就是轉(zhuǎn)化為若干個(gè)基本作圖來實(shí)現(xiàn)，所以要關(guān)注基本作圖，提高作圖技能訓(xùn)練，學(xué)生不僅要知道作圖的步驟，而且要能知道實(shí)施這些步驟的理由，充分讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流，思維暴露的過程，在討論中不斷思考，多角度對(duì)問題進(jìn)行強(qiáng)化，循序漸進(jìn)，由淺入深，由單一到綜合，滲透圖形變換的思想．方法從多樣化向優(yōu)化延伸，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，豐富解題經(jīng)驗(yàn)，加深對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的理解．對(duì)于復(fù)雜作圖，要厘清尺規(guī)作圖的一般方法：在理解題目的基礎(chǔ)上畫出草圖，把綜合法與分析法結(jié)合，分析作出的圖形滿足條件必須符合相應(yīng)的特征，再進(jìn)一步思考滿足這種特征的圖形通過怎樣的基本作圖獲得．