一次現(xiàn)場命題比賽的全記錄

浙江省金華市第六中學(xué) (郵編：321000)

為了加強(qiáng)新高考背景下數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的信息交流，增進(jìn)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)共享，增強(qiáng)復(fù)習(xí)的針對性和實(shí)效性，提升教師的命題能力，浙江省金華市教研室決定于11月27日13:30-16:30在浙師大附中舉辦金華市首屆高中數(shù)學(xué)現(xiàn)場命題比賽.由舉辦方提供命題背景和命題方向，以校為單位(每單位三名高三教師)組隊(duì)報(bào)名參加，比賽自帶電腦，可帶資料，但比賽時(shí)不允許上網(wǎng).筆者有幸參加了此次現(xiàn)場命題比賽，并榮獲金華市一等獎(jiǎng)．經(jīng)過抽簽，得到如下命題材料.

解析幾何現(xiàn)場命題試題

要求請你改變“A、B是橢圓長軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)”狀態(tài)為“某種符合條件的兩點(diǎn)”，命制一道具有浙江特色的高考題，并做簡要解答. 現(xiàn)將本次現(xiàn)場命題比賽活動(dòng)記錄如下，供同行批評指正．

1 背景解讀

圖1

借助幾何畫板對滿足上述條件的問題進(jìn)行了演示，立馬就可以測算出數(shù)值，如圖1所示，圖形變化過程中數(shù)量關(guān)系的變化(哪怕是微小的變化)也可以直觀地顯示出來. 筆者欣喜地發(fā)現(xiàn)，在連續(xù)改變交點(diǎn)P坐標(biāo)數(shù)值時(shí)，不影響結(jié)論成立. 其實(shí)這是一個(gè)與圓錐曲線極點(diǎn)和極線有關(guān)的一個(gè)統(tǒng)一等差定理[1].

圖2

定理3 點(diǎn)A、B、D、P是拋物線C:y2=2px(p>0)上四點(diǎn)，直線AB、DP交x軸于點(diǎn)N，直線AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)AD、BP、MN的斜率為k1、k2、k3，則k1+k2=2k3．

2 題源追溯

圖3

(1)求橢圓C的方程；

(2)AB是經(jīng)過右焦點(diǎn)F的任一弦(不經(jīng)過點(diǎn)P)，設(shè)直線AB與直線l相交于點(diǎn)M，記PA、PB、PM的斜率分別為k1、k2、k3.問：是否存在常數(shù)λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由．

題源2 (2013年高考江西卷文科20題)

圖4

(1)求橢圓C的方程；

(2)如圖4所示，A、B、D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N，直線AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m，證明：2m-k為定值．

每年的高考試題似乎都出乎意料，卻又在情理之中．2013年高考江西文理卷中的解析幾何解答題更是堪稱經(jīng)典，賞析之余，無不佩服命題者的深厚功底和良苦用心．對這些題進(jìn)行深入研究，并對其進(jìn)行改編是命制高考模擬試題的常用著力點(diǎn)．

3 命題歷程

3.1 立意與選材

立意是確定試題的編寫意圖，明確考查目的(考查哪幾種能力？哪種能力為主？哪種能力為兼顧？考查哪個(gè)學(xué)科分支？考查哪部分內(nèi)容？等等)，立意是核心，選材應(yīng)服務(wù)于立意．根據(jù)抽簽材料上的要求，筆者擬命制一道圓錐曲線的綜合試題，著重考查直線方程、直線斜率及直線與圓錐曲線相交等知識，旨在考查學(xué)生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．

3.2 聯(lián)系與搭架

波利亞說：“類比是偉大的引路人．” 圓與橢圓、雙曲線、拋物線 “同宗同源”，那么圓是否具有上述類似結(jié)論成立？同時(shí)受到題源2定值問題的啟示，特初擬了如下試題．

命題1 已知圓O:x2+y2=1與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,M是圓O上任意一點(diǎn)(除去圓O與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn))．直線AM與BC交于點(diǎn)P,直線CM與x軸交于點(diǎn)N,設(shè)直線PM、PN的斜率分別為m、n，求證：m-2n為定值．

為了減少運(yùn)算的盲目性，借助幾何畫板對滿足上述信息的問題進(jìn)行了演示，發(fā)現(xiàn)m-2n始終為定值1，從而確保了命題的正確性．定值問題求解方法通常有兩種：一是特殊值求法，即將問題條件特殊化，再證明所特殊化后的定值與變量無關(guān)；二是直接推理、計(jì)算，將要求的定值表示為某個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系，再化簡這個(gè)關(guān)系消去變量，從而得到定值．本題設(shè)點(diǎn)為參數(shù)或設(shè)斜率為參數(shù)均可順利求解，有興趣的讀者可試一試．同時(shí)，設(shè)計(jì)試題框架時(shí)應(yīng)注意主干硬朗，層次分明，從而形成坯胎．試題坯胎要具有一定的彈性和伸縮性，即題設(shè)條件便于增加或減少，提問角度可提供調(diào)換，試題難度容易調(diào)節(jié)，方便加工與調(diào)整．

3.3 加工與調(diào)整

2017年浙江高考數(shù)學(xué)試卷，打破了高考中文科生和理科生的固定思維模式，開啟了文理合卷的新篇章．解析幾何解答題作為浙江新高考次壓軸題，應(yīng)充分考查學(xué)生的思維品質(zhì)與學(xué)習(xí)潛能，彰顯對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查要求．由命題1的解答過程來看，此題中的圓錐曲線以圓為載體，則略顯平和，缺乏必要梯度．同時(shí)受題源1、2定值問題的啟發(fā)，在隨后的多地高考模擬卷中出現(xiàn)了類似問題，新穎性不夠．而一道優(yōu)質(zhì)的試題往往是命題者研究成果的結(jié)晶，在同一個(gè)背景下，交換部分條件和結(jié)論，便可生成一道新題．筆者結(jié)合對相關(guān)題目的研究[2]，可得到以下試題．

試題的加工和調(diào)整，首先確保試題的科學(xué)性和適綱性，其次是精心調(diào)節(jié)難度．難度調(diào)節(jié)必須以整卷的難度分布為依據(jù)，常用的調(diào)節(jié)方法有：改變提問方式，將結(jié)論隱藏變?yōu)樘剿魇娇梢蕴岣唠y度，增設(shè)中間問可降低難度；改變題設(shè)條件，條件隱蔽化或明朗化，直接化或間接化、具體化或抽象化均可調(diào)節(jié)難度；改變綜合程度，增減知識點(diǎn)的組合，調(diào)整解題方法的結(jié)構(gòu)，變換知識和方法的綜合廣度與深度．

3.4 復(fù)核與定稿

隨著新課改的深入進(jìn)行，探究存在性問題越來越受到命題者的青睞，更是高考試卷中的?？停馕鰩缀沃械奶骄看嬖谛詥栴}主要考查學(xué)生探索解題途徑，解決非傳統(tǒng)完備問題的能力，將數(shù)學(xué)知識有機(jī)結(jié)合并賦予新的情境創(chuàng)設(shè)而成的，要求考生自己觀察、分析、創(chuàng)造性地運(yùn)用所學(xué)知識和方法解決問題．凸顯這一特性，命題2略顯不足，基于此，筆者作了微調(diào)，獲得了下述試題．

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線PA、PM、PB的斜率存在且成等差數(shù)列，試問直線AB是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．

由韋達(dá)定理得

當(dāng)x=4時(shí)，則y=4k+m,所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,4k+m).

于是kPA+kPB

由直線PA、PM、PB的斜率成等差數(shù)列，得

由于l不經(jīng)過點(diǎn)P,則k+m-y0≠0,故

化簡得(m+k)(m+4k)=0.

當(dāng)m=-k時(shí)，則直線AB的方程為y=kx-k,必過定點(diǎn)(1,0)；

當(dāng)m=-4k時(shí)，則直線AB的方程為y=kx-4k,必過定點(diǎn)(4,0)．

綜上，直線AB必過定點(diǎn)(1,0)或(4,0)．

復(fù)核工作通常需要兩人以上進(jìn)行，才能防止先入為主，重新細(xì)寫答案，盡可能把各種可能的解答都寫出來進(jìn)行比較，以保證達(dá)到考查目的．往往有可能發(fā)現(xiàn)更簡潔的解法，可能出現(xiàn)其考查的有效性與預(yù)先的設(shè)計(jì)意圖大相徑庭，如出現(xiàn)這種情況有時(shí)會前功盡棄，推倒重來．復(fù)核的另一項(xiàng)工作就是文字功夫，對試題的字詞句及數(shù)學(xué)符號都要一一推敲，連標(biāo)點(diǎn)符號也不能放過．對每一個(gè)細(xì)節(jié)都得顧及，包括試題的陳述和答案的編寫，都在這一步完成．

4 點(diǎn)滴感悟

命題很難無中生有，教師需要解題經(jīng)驗(yàn)的積累，需要命題素材的挖掘，需要理念素養(yǎng)的熏陶，需要命題技術(shù)的提升．一道試題的成型往往意味著時(shí)間的投入和精力的付出，同時(shí)得到經(jīng)驗(yàn)的積累和能力的提升．只要我們能做一個(gè)有心人，勤奮鉆研，點(diǎn)滴積累，就會在專業(yè)上得到很大提高．