微觀分析圖象 探微尋法悟理

安徽省金寨第一中學(xué) 六安市名師工作室 (郵編：237331)

解決函數(shù)問(wèn)題思維切入點(diǎn)從何而來(lái)？靈感因何而生？毫無(wú)疑問(wèn)，對(duì)圖象的分析必不可少，很多時(shí)候，靈感來(lái)自圖象.分析圖象有時(shí)需要把握全局，分析整體，有時(shí)只需微觀探究，盯準(zhǔn)局部，微觀分析，尤其涉及函數(shù)零點(diǎn)、極值點(diǎn)問(wèn)題.筆者在文[1]進(jìn)行了討論，近日研究部分高考題，更發(fā)現(xiàn)微觀分析圖象，找到解題靈感之重要性，現(xiàn)舉例說(shuō)明.

1 見(jiàn)微知理

題1(2018年全國(guó)高考理科(Ⅲ)卷21題)已知函數(shù)f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.

(1)若a=0，證明：當(dāng)-10時(shí)，f(x)>0；

(2)若x=0是f(x)的極大值點(diǎn)，求a.

分析第二問(wèn).函數(shù)的定義域是(-1,+∞).由(1)可知a≥0不合題意，只要考慮a<0.現(xiàn)在利用f(x)的微圖結(jié)合f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)分析.

第一，注意到f(0)=0，f(x)在x=0處連續(xù)，若f(x)在x=0處取得極大值，則f(x)在x=0的鄰域(-δ,δ)(鄰域：本文中指“極小”的區(qū)間，下同)內(nèi)，恒有f(x)≤0，可作出其“微圖”，如圖1.

圖1

第二，f(x)在x=0處取得極大值，則在x=0的鄰域(-δ,δ)內(nèi)f(x)先增后減，f′(x)在x=0處先正后負(fù)且f′(0)=0，對(duì)應(yīng)的f′(x)微圖應(yīng)為：在y軸左邊圖象在x軸上方，y軸右邊圖象在x軸下方.

圖2

h(x)在x=0的鄰域(-δ,δ)內(nèi)連續(xù)，且h(x)=0，在x=0的鄰域(-δ,δ)內(nèi)的微圖同圖1，這樣，問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)h(x)在x=0處取得極大值(結(jié)合微圖分析，實(shí)現(xiàn)解決極值問(wèn)題的“函數(shù)轉(zhuǎn)化”).下面求出h(x)的導(dǎo)數(shù)，再結(jié)合“微圖”對(duì)h(x)的導(dǎo)數(shù)h′(x)進(jìn)行分析.

圖3

(1)當(dāng)6a+1>0時(shí)，φ(x)如圖3(只需關(guān)注圖象在x=0的鄰域(-δ,δ)，下同)，取δ

圖4

(2)當(dāng)6a+1<0時(shí)，φ(x)如圖4，取δ

圖5

(3)當(dāng)6a+1=0時(shí)，φ(x)如圖5，取δ

從上述問(wèn)題解決過(guò)程可以看出，用圖象輔助分析函數(shù)極值不一定要分析函數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)的整體狀況，只要探究極值點(diǎn)附近如何變化(這一點(diǎn)很重要，它可以避免了暫時(shí)對(duì)參數(shù)的討論)，瞄準(zhǔn)極值點(diǎn)附近函數(shù)局部圖象，局部放大，微觀分析.因此，凡涉及極值問(wèn)題，在分析圖象時(shí)均要想到“微圖分析”，既要分析函數(shù)在極值點(diǎn)附近的微圖，看“單調(diào)變化”；又要分析導(dǎo)函數(shù)在其零點(diǎn)附近的微圖，看“正負(fù)變化”，觀察導(dǎo)函數(shù)正負(fù)“走向”，如：是正負(fù)不變，還是由正變負(fù)或由負(fù)變正？從而知道函數(shù)能否取到極值，是極大值還是極小值.

微觀分析，也是極限思想的應(yīng)用，如構(gòu)造函數(shù)h(x)時(shí)，在x=0的鄰域(-δ,δ)內(nèi)，2+x+ax2>0，h(x)與f(x)同號(hào)；分析導(dǎo)數(shù)h′(x)時(shí)，在x=0的鄰域(-δ,δ)內(nèi)，(1+x)>0，2+x+ax2>0，使問(wèn)題簡(jiǎn)化.

2 探微索果

題2(山東省2015年高考理科21)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)+a(x2-x)，其中a∈R.

(1)討論函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；

(2)若?x>0，f(x)≥0成立，求a的取值范圍.

分析第二問(wèn).顯然a<0不合題意，a=0，合題意.現(xiàn)在分析a>0時(shí)的情形.

雖然不知道f(x)在(0,+∞)整體單調(diào)性，但由于f(0)=0，所以微區(qū)間(0,δ)內(nèi)，f(x)必然單增，亦即通過(guò)“微區(qū)間”分析，使隱含的信息凸顯(如本例中在(0,δ)內(nèi)函數(shù)必須單增)，使問(wèn)題解決的思維暴露.同樣的方法可以解決以下問(wèn)題.

題3 (2017年全國(guó)高考理科(Ⅲ)卷21題)已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx.

(1)若f(x)≥0，求a的值；

(2)略.

圖6

分析(1)函數(shù)定義域?yàn)?0,+∞)，注意到f(1)=0，f(x)連續(xù)，因此，若f(x)≥0，則在x=1的鄰域內(nèi)函數(shù)微圖如圖6，即x=1是函數(shù)極小值點(diǎn)，所以f′(1)=0，a=1(f(x)≥0的必要條件)，現(xiàn)在只要證明a=1時(shí)，f(x)≥0即可(易證，過(guò)程略).

題4(四川省2015年高考理科21題)已知函數(shù)f(x)=-2(x+a)lnx+x2-2ax-2a2+a，其中a>0.

(1)設(shè)g(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，討論g(x)的單調(diào)性；

(2)證明：存在a∈(0,1)，使得f(x)≥0在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立，且f(x)=0在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)有唯一解.

簡(jiǎn)析第二問(wèn)難度很大，用微圖輔助分析.

圖7

微圖分析使我們發(fā)現(xiàn)了隱含較深的“關(guān)系”，找到了問(wèn)題解決的切入點(diǎn).本例中，x0既是零點(diǎn)又是極小值點(diǎn)，滿(mǎn)足f′(x0)=0和f(x0)=0，并利用f′(x0)=0實(shí)現(xiàn)變量之間轉(zhuǎn)化.

3 以微定向

函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題中，我們經(jīng)常要求零點(diǎn)所在區(qū)間或證明某一單調(diào)區(qū)間上存在零點(diǎn)，用零點(diǎn)附近的微圖能夠確定解決問(wèn)題的努力方向，再結(jié)合不等式放縮分析求解.

題5 (2017年全國(guó)高考理科I卷21題)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

圖8

而當(dāng)00，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，上述兩個(gè)區(qū)間各有一個(gè)零點(diǎn).但對(duì)于高中學(xué)生而言，極限方法不在學(xué)習(xí)內(nèi)容之內(nèi)，學(xué)生難以理解，教師難以講清楚，高考標(biāo)準(zhǔn)答案中也極力回避用極限方法求解(包括用洛必達(dá)法則求極限)，因此，只要能夠在這兩個(gè)區(qū)間上找到使f(ξ)>0的ξ值即可.分析可知，f(x)含零點(diǎn)在內(nèi)的局部圖象如圖8(實(shí)線部分).

由于求f(x)的零點(diǎn)或得出f(ξ)>0的點(diǎn)ξ比較困難，考慮放縮成比原函數(shù)小且能夠求出零點(diǎn)的函數(shù)(圖中的虛線部分，一般與原函數(shù)在放縮的區(qū)間上單調(diào)性一致).

①先考慮區(qū)間(-lna,+∞)，怎樣找到使f(ξ)>0的ξ值呢？關(guān)鍵是在區(qū)間(-lna,+∞)上找到比f(wàn)(x)小的函數(shù)φ(x)(這是微圖分析的結(jié)果).

由于x>0時(shí)，ex>x，當(dāng)aex+(a-2)>0時(shí)(注：只要x>ln(2-a)，就有aex+(a-2)>0成立，我們就在x>ln(2-a)時(shí)進(jìn)行放縮)，

f(x)=ae2x+(a-2)ex-x=ex[aex+(a-2)]-x>x[aex+(a-2)]-x.

②再分析在區(qū)間(-∞,-lna)上能否尋找到使f(ξ)>0的ξ值.事實(shí)上，可以通過(guò)“試取”的方法得到ξ，但為了說(shuō)明微圖的作用，并利用放縮法求解，同樣用上述方法分析.

圖9

當(dāng)然，放縮的方式有無(wú)數(shù)種，但無(wú)論如何變式，都是基于對(duì)零點(diǎn)附近圖象探究而得到的啟發(fā).如果零點(diǎn)附近圖象如圖9(實(shí)線代表原函數(shù)，虛線代表放縮后的函數(shù))，則放縮應(yīng)朝著大于原函數(shù)的方向進(jìn)行.

用圖微觀分析的作用是：怎樣通過(guò)放縮找到并證明包含函數(shù)零點(diǎn)的區(qū)間端點(diǎn).圖象是不等式放縮的直觀顯現(xiàn)和幾何解釋?zhuān)瑢W(xué)生理解更易.如果不用微圖分析，學(xué)生有時(shí)很難理解為什么要用不等式放縮，為什么朝著比原函數(shù)小(或者大)的函數(shù)方向放縮.

準(zhǔn)確作圖，以微圖分析，是基本的數(shù)學(xué)能力，養(yǎng)成用圖分析的習(xí)慣，是基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)的體現(xiàn)，微圖使思維“可視”，微圖使思維插上翅膀.函數(shù)教學(xué)時(shí)，要培養(yǎng)學(xué)生作圖用圖的意識(shí)，以圖助思維，以圖尋思路.