設(shè)計(jì)“驚異型”課堂提問 彰顯數(shù)學(xué)神奇魅力

浙江衢州市教育局教研室 (郵編：324002)

浙江省衢州一中 李 盛 (郵編：324000)

理想的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，是讓學(xué)生忘記自己在學(xué)習(xí)，進(jìn)入一種忘我的投入狀態(tài)中，在無意識或潛意識中記憶、領(lǐng)會(huì)或“再創(chuàng)造”大量的數(shù)學(xué)知識.這樣就要求我們在課堂教學(xué)中，要讓數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)的思想方法，“進(jìn)入學(xué)生骨子，流入學(xué)生心田”，讓學(xué)生全身心投入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之中，這樣才能達(dá)到學(xué)習(xí)的高境界，并一輩子都難忘記.

提出具有震撼力的令人驚異型的數(shù)學(xué)問題，適當(dāng)?shù)貙?shù)學(xué)問題進(jìn)行夸大，設(shè)置懸念，是吸引學(xué)生課堂注意力，讓學(xué)生盡快進(jìn)入理想數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一條重要途徑.通過驚異型數(shù)學(xué)問題的教學(xué)，可以化神奇為平凡，化復(fù)雜為簡單，化抽象為直觀，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，讓學(xué)生充分體會(huì)到數(shù)學(xué)的美妙,激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維火花，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 驚異型數(shù)學(xué)問題的概念

查閱百度在線詞典，驚異的意思是：感到意外，奇怪;驚奇詫異.令人驚異的數(shù)學(xué)問題,就是先將疑問懸在那兒，讓學(xué)生念念不忘，存有種種猜想，在蓄積了一段時(shí)間后，再解開“懸念”，給出結(jié)果.目的是通過設(shè)置懸念，在問題的某一部分設(shè)置一個(gè)疑問或矛盾沖突，以造成學(xué)生某種急切期待和熱烈關(guān)心的心理，吸引學(xué)生的注意力.

驚異型數(shù)學(xué)問題深刻反映了數(shù)學(xué)是深?yuàn)W的,變化莫測又讓人捉摸不透特點(diǎn)，就是突破常規(guī)，在兼顧教育和教學(xué)功能的同時(shí)，更為注重?cái)?shù)學(xué)問題的獨(dú)特風(fēng)格，以及富有創(chuàng)造力的表達(dá)方式與手法，使數(shù)學(xué)問題具有“爆炸性”，具有瞬間動(dòng)人心魄的震撼力和獨(dú)特的魅力.設(shè)計(jì)優(yōu)秀的驚異型數(shù)學(xué)問題，給學(xué)生帶來的不僅是聽覺和視覺沖擊．而是心靈的震撼，可以提高學(xué)生對數(shù)學(xué)課的興趣，改變學(xué)生對數(shù)學(xué)課枯燥無味的刻板印象.

2 驚異型數(shù)學(xué)問題的設(shè)計(jì)原則

要讓課堂數(shù)學(xué)問題具有驚異性，關(guān)鍵是要提高數(shù)學(xué)問題的震撼力，讓提問變成“高層次”的提問，確實(shí)能震動(dòng)學(xué)生的心靈.其中最重要的一環(huán)，是驚異型數(shù)學(xué)問題的創(chuàng)作設(shè)計(jì)，需遵循如下創(chuàng)作原則.

2.1 科學(xué)性原則

設(shè)計(jì)驚異型數(shù)學(xué)問題，無論是文字表述的形式還是問題創(chuàng)意，都必須是科學(xué)的，不會(huì)出現(xiàn)歧義.

2.2 新穎性原則

提問的新穎性，能導(dǎo)致創(chuàng)造性理解.驚異型數(shù)學(xué)問題的設(shè)計(jì)一定要新穎, 要與時(shí)俱進(jìn)地保持對社會(huì)、事物等高度的關(guān)注與前瞻性的思考，充分發(fā)揮想象力，采用各種創(chuàng)作手段，用一種與眾不同的視角，將自己的教學(xué)觀念表達(dá)和教學(xué)風(fēng)格淋漓盡致地施展于問題創(chuàng)作中，道出自己的個(gè)性思考.讓數(shù)學(xué)問題以更具個(gè)性化、更具創(chuàng)新意識的表達(dá)方式和更具創(chuàng)新的表現(xiàn)手法，邁向科學(xué)性、藝術(shù)性、實(shí)驗(yàn)性等更為廣泛的探索之路.

2.3 “震撼”性原則

創(chuàng)意是數(shù)學(xué)問題的靈魂.所以“驚異型”數(shù)學(xué)問題的設(shè)計(jì)，要突出創(chuàng)意“驚異”的震撼作用：讓它對于學(xué)生來說，應(yīng)該有一定的內(nèi)涵，耐人尋味，有時(shí)驚奇詫異有時(shí)疑，最后如同醍醐灌頂，直指人心.它不是潺潺溪水細(xì)細(xì)流淌，也不是和風(fēng)細(xì)雨潤物無聲．而是暴風(fēng)驟雨電閃雷鳴.精彩與深刻，尢如豁然打開了一扇智者進(jìn)出的頭腦風(fēng)暴“旋轉(zhuǎn)門”，在一瞬間讓學(xué)生豁然開朗，有所頓悟，正是驚異型問題的優(yōu)點(diǎn)所在.

2.4 主題性原則

“驚異型”數(shù)學(xué)問題的設(shè)計(jì)必須切主題，與教學(xué)內(nèi)容緊密相聯(lián)，能夠?qū)?shù)學(xué)課堂教學(xué)有一定的暗示或提示作用.要以精煉性的文字,螺絲殼里做道場，要簡潔，完整，有力，深刻，豐富，強(qiáng)有力地表達(dá)出問題的特殊心理效應(yīng)，隱含令人震撼深思的主題，給學(xué)生帶來強(qiáng)烈的心靈撼動(dòng)，這是驚異型數(shù)學(xué)問題的永久魅力所在.

2.5 簡練性原則

一個(gè)好的構(gòu)思得來不易，“驚異型”數(shù)學(xué)問題的設(shè)計(jì)要簡短而精練，方便地傳達(dá)設(shè)計(jì)者的創(chuàng)作意圖.

簡，要簡得明白，練要體現(xiàn)干練. 盡量追求一種含蓄、凝練的意境，突出本質(zhì)，把豐富的含義和多樣化的形式統(tǒng)一在一個(gè)簡約的整體結(jié)構(gòu)中，用最少的字將令人拍案叫絕的構(gòu)思給學(xué)生最明確的意義和問題指向，言簡意賅，達(dá)到了簡約和含蓄的完美結(jié)合.

由于很多學(xué)生對文采非常敏感而且也很看重，“驚異型”數(shù)學(xué)問題有一定的文采，短小精悍，讀起來自然會(huì)賞心悅目，無疑會(huì)一下子喚出學(xué)生心中那份珍藏的美感，讓學(xué)生領(lǐng)悟到比短短幾句話更多的內(nèi)容.

總之，“驚異型”數(shù)學(xué)問題的設(shè)計(jì)，要題不驚人思不休，經(jīng)過許許多多次的反復(fù)雕琢,精益求精，才能成為精髓.

3 驚異型數(shù)學(xué)問題的作用

“問題是數(shù)學(xué)的心臟”,數(shù)學(xué)問題在數(shù)學(xué)教學(xué)中占有不可忽視的重要位置.許多著名數(shù)學(xué)問題，我們總是津津樂道、如數(shù)家珍.它們會(huì)在潛移默化中充實(shí)我們的心靈、深刻影響我們的數(shù)學(xué)審美情趣，甚至理性思維方式和行為方式.

我們曾以“你的課中所提數(shù)學(xué)問題，震撼過學(xué)生的心靈嗎？”為題，對數(shù)學(xué)教師進(jìn)行訪談式調(diào)查，結(jié)果給我們的是頂級震撼，很多數(shù)學(xué)教師認(rèn)為：數(shù)學(xué)問題一般不可能震撼學(xué)生心靈.但一滴水，在一些人看來，也許是微不足道的.然而，當(dāng)它在極其干旱的環(huán)境中，與一些“極其渺小”的生命個(gè)體聯(lián)系起來產(chǎn)生的效應(yīng)卻能直叩人們的心靈，其產(chǎn)生的力量也會(huì)重重地撞擊人的心扉.一個(gè)好的數(shù)學(xué)問題，猶如炒菜中的味精，能起到?jīng)Q定性的驚異震撼作用.下面我們用實(shí)例來加以說明：

3.1 讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的神奇魅力

有驚異型數(shù)學(xué)問題的課會(huì)很精彩!不是刻意炒作，也不要懷疑課堂中學(xué)生的激動(dòng)是否理智，只要弄明白這個(gè)驚異型數(shù)學(xué)問題有著怎樣的獨(dú)特之處，讓學(xué)生懷揣著急切和疑惑走向數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)，心中的疑惑也就有了答案.

案例1(“向量方法在立體幾何中的應(yīng)用”第一課時(shí)引入，李世杰課堂教學(xué)實(shí)錄):

(1)師:寫出與向量a={1，2，3}平行的一個(gè)向量.

生:{2，4，6}

(2)師:再寫出與向量a={1，2，3}平行的一個(gè)向量.

生:{3，6，9}

(3)師:你一分鐘內(nèi)能寫出一千個(gè)與a平行的向量嗎？

一千個(gè)平行向量，這似乎是一個(gè)宏大的數(shù)學(xué)問題，也是充滿神秘感且獨(dú)具魅力的一個(gè)數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生深感驚異.課堂內(nèi)飄逸的空氣中透著靜謐和諧，因?yàn)檫@個(gè)問題帶給學(xué)生的震撼實(shí)在太多了，學(xué)生惟一不變的動(dòng)作是張大著嘴，那種場景令人嘆為觀止.

生1:只有一分鐘,寫不出來.一個(gè)個(gè)地寫,時(shí)間來不及.

生2:不可能.

師:你現(xiàn)在不能做到的事情,想一想用數(shù)學(xué)的方法能不能做到，再想一想.

生3:ta.

師:對.應(yīng)用參數(shù)的方法可以寫出一千個(gè)與a平行的向量.但怎么表示呢?書面表達(dá)非常重要.

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出兩種表示方法:

答案12a,3a,…,1001a.

答案2ta,t=3,4,…1002,t∈N.(為本節(jié)課中直線的向量方程作伏筆)

師小結(jié)生活中遇到解決不了的問題,就想一想用數(shù)學(xué)的方法能不能解決.如上面問題的解決,充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔性和應(yīng)用的廣泛性.

注上述數(shù)學(xué)問題是從學(xué)生意想不到的角度提出的，在課堂上學(xué)生往往認(rèn)為這是根本不可能做到的.課堂教學(xué)實(shí)踐表明: 通過這一驚異型數(shù)學(xué)問題的解決,讓學(xué)生切實(shí)感受到數(shù)學(xué)的神奇魅力，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)課的興趣，并切身體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的廣泛性.

3.2 加深學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解

驚異型課堂提問，可以深化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的理解,溝通知識之間的相互聯(lián)系,在知識獲得的同時(shí),加深情感體驗(yàn)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力.

案例2(李盛課堂教學(xué)簡錄) 寫出一萬個(gè)對數(shù)函數(shù).

師分析題目要求寫出的是對數(shù)函數(shù)，根據(jù)定義，一定具有y=logax這種形式，而對數(shù)函數(shù)里的x、y是不變的，因此，要寫出一萬個(gè)對數(shù)函數(shù)，只要給出一萬個(gè)不同的a值就行了.問題是：怎樣表述這一萬個(gè)對數(shù)函數(shù)？

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出兩種表述策略：

方法1(列舉式)y=log2x,y=log3x,y=log4x,…,y=log10001x.

方法2(體現(xiàn)函數(shù)思想)y=logax,a=2,3,4,…,10001,a∈N.

上面廖廖數(shù)筆，就寫出了一萬個(gè)對數(shù)函數(shù)，學(xué)生感到十分新奇，震撼，并產(chǎn)生共鳴.顯然，方法2更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡潔性，由于讓a動(dòng)了起來，可以讓學(xué)生很好地體驗(yàn)對數(shù)函數(shù)細(xì)微的深刻內(nèi)涵，既培養(yǎng)了學(xué)生的函數(shù)感，又加深了學(xué)生對對數(shù)函數(shù)的理解.

這在課堂中是一分鐘的驚異！充分顯示了數(shù)學(xué)問題的震撼力，這種簡約之下的數(shù)學(xué)震撼，也是數(shù)學(xué)的藝術(shù)魅力所在！

也許有學(xué)生會(huì)提出：y=logax,a=1,2,3,4,…,10000,a∈N.這里可提示學(xué)生思考：有沒有問題？學(xué)生們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)a=1不符合規(guī)定，可加深學(xué)生對對數(shù)底數(shù)不能為1的理解.

注案例1和案例2中的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生領(lǐng)略到了什么是驚異性數(shù)學(xué)問題,往往也是大氣的數(shù)學(xué)問題(主要是指數(shù)量大、規(guī)模大、場面大、含量大而視覺沖擊力強(qiáng)、心理震撼力大的數(shù)學(xué)問題)，它給學(xué)生視覺、心理的沖擊、震撼非常大，并給學(xué)生留有懸念和無限的想象空間，能在短短的幾秒鐘內(nèi)抓住學(xué)生的心，讓學(xué)生產(chǎn)生欲罷不能、先睹為快的強(qiáng)烈沖動(dòng)，吸引學(xué)生急著去了解事情的真相.

因此，從某種意義上講，這種驚異型的數(shù)學(xué)問題，是一種不可多得的“抓心”藝術(shù)，能有效觸動(dòng)學(xué)生的心靈，讓靈動(dòng)的智慧和人文的光輝溢滿課堂，使課堂教學(xué)高潮迭起，容易激發(fā)學(xué)生的興奮點(diǎn)，帶給學(xué)生一種全新的體驗(yàn)，為學(xué)生創(chuàng)造廣闊的想象空間，經(jīng)歷一次美好的精神旅行，自然提升了數(shù)學(xué)問題的教學(xué)價(jià)值和審美價(jià)值.

3.3 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)化的觀念

在一定程度上，數(shù)學(xué)問題是我們認(rèn)識世界、把握世界和改造世界的一種方式.對實(shí)際問題的背景進(jìn)行數(shù)學(xué)化處理，可以讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀念認(rèn)識世界，用數(shù)學(xué)的語言描述世界，通過數(shù)學(xué)化解決，可以充分發(fā)揮數(shù)學(xué)對生活的指導(dǎo)作用，化神奇為平凡，用數(shù)學(xué)的方法改造世界，產(chǎn)生“變不可能為可能”的奇跡，是發(fā)展和培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識和應(yīng)用能力的關(guān)鍵.

案例3一個(gè)小和尚,早晨上山,到山頂后在寺內(nèi)寄宿一夜,第二天早晨仍按照原路下山,和尚的速度不一定,在路上可以走走、停停、跑跑，請問和尚上山和下山時(shí)經(jīng)過的時(shí)間相同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( )

A.0個(gè) B.1個(gè)

C.2018個(gè) D.A、B、C都有可能

分析初看這個(gè)問題與數(shù)學(xué)無關(guān).實(shí)際上是數(shù)學(xué)中的存在性問題，利用交軌模型可以獲得解決.

把一個(gè)和尚上山下山問題，改為等價(jià)的一個(gè)和尚上山，另一個(gè)和尚下山的軌跡相交問題，這樣“和尚上山和下山時(shí)經(jīng)過的時(shí)間相同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)”，等于兩個(gè)和尚分別上山和下山時(shí)的相遇點(diǎn)個(gè)數(shù).

(1)第一層次答案:由于路程與時(shí)間的關(guān)系， 0個(gè).如：第一天小和尚6點(diǎn)上山，用了1個(gè)半小時(shí)到山上,第二天小和尚8點(diǎn)下山，用了1個(gè)小時(shí)，9點(diǎn)到山下.這樣和尚上山和下山時(shí)經(jīng)過的時(shí)間相同的點(diǎn)就不存在；

(2)第二層次答案:剛好相遇，和尚上山和下山時(shí)經(jīng)過的時(shí)間相同的點(diǎn)為1個(gè)；

(3)第三層次答案:如果和尚是個(gè)調(diào)皮的小和尚，來回跑動(dòng)，相遇交點(diǎn)就可以為任意個(gè)(有限個(gè)).

知識的作用在于應(yīng)用.從本例可見,神奇的數(shù)學(xué)知識，可以應(yīng)用在人生的每個(gè)方面，亦可以應(yīng)用在生活的每個(gè)細(xì)節(jié)上.掌握數(shù)學(xué)知識的遷移與應(yīng)用規(guī)律，實(shí)現(xiàn)學(xué)以致用,可以提高數(shù)學(xué)的綜合能力.

3.4 改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式

案例4(李盛課堂教學(xué)實(shí)錄)你一分鐘能解一萬道數(shù)學(xué)題嗎？

課堂中提出該問題的時(shí)候，多數(shù)學(xué)生都認(rèn)為：這是不可能的.但教學(xué)的效果是驚人的.經(jīng)過反復(fù)引導(dǎo)，學(xué)生們給出了如下幾個(gè)答案：

答案1一萬個(gè)數(shù)學(xué)計(jì)算題

0×a=,a=1,2,…,10000.

萬題同答案：0.

答案2一萬個(gè)方程組

萬題同一解：

答案3一萬個(gè)周期函數(shù)

求函數(shù)f(x)=cosax(a=1,2,…,10000)的最小正周期.

實(shí)際上，這只是一般化的數(shù)學(xué)結(jié)論具有的一萬個(gè)特例,是學(xué)生們平常都會(huì)做都會(huì)求的數(shù)學(xué)常識，只是沒有從這樣的視角去分析挖掘而已.

追問1你一分鐘能解的一萬個(gè)數(shù)學(xué)題，會(huì)是什么樣的數(shù)學(xué)問題？

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出：具有共性的批量數(shù)學(xué)問題.

批量解題，打開了數(shù)學(xué)創(chuàng)造之門，這是數(shù)學(xué)創(chuàng)造的奇跡.

追問2如果你一分鐘能解一萬個(gè)數(shù)學(xué)題，用的是什么數(shù)學(xué)思想方法？

引導(dǎo)學(xué)生提煉出：對字母參數(shù)進(jìn)行功能開發(fā)，將一般性結(jié)論中的字母參數(shù)“動(dòng)態(tài)化”，是函數(shù)思想的創(chuàng)造性應(yīng)用.

當(dāng)然，這是開放性問題，答案不惟一.

注一個(gè)驚異型數(shù)學(xué)問題，具有磅礴大氣，課堂上再配上整齊排列的重磅大字，會(huì)強(qiáng)烈地刺激著學(xué)生的興奮點(diǎn).從視覺效果上看，有一種恢弘的氣勢，讓學(xué)生產(chǎn)生一種“大江東去”的豪邁和“飛流直下三千尺”的痛快淋漓，可以有效改變學(xué)生的思考方式，經(jīng)常把數(shù)學(xué)知識與生活實(shí)際聯(lián)系起來，加深知識內(nèi)涵的理解，同時(shí)也改進(jìn)了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生切實(shí)意識到數(shù)學(xué)是有用的，數(shù)學(xué)處處有神奇.

4 驚異型數(shù)學(xué)問題的創(chuàng)作來源

4.1 改造常規(guī)課堂提問

案例5在“兩角差的余弦公式”教學(xué)中，教材引入設(shè)計(jì)的是測電視塔高度問題.開課后精心設(shè)計(jì)懸念式詩意導(dǎo)言：“我們能不能，不上山測得山高，不過河測得河寬，不爬上電視塔測得塔高，這是什么神秘武器？學(xué)習(xí)了本節(jié)課的內(nèi)容后，你就會(huì)知道結(jié)果了”.這句導(dǎo)言激發(fā)了學(xué)生極大的探索熱情.

注教學(xué)中不以纖巧華美的詞藻取勝，而是以平易通俗、準(zhǔn)確有力、能為所有學(xué)生接受的語言征服學(xué)生，取得令人拍案叫絕的結(jié)果.

①

通常把上式寫成a>0,b>0,c>0,d>0時(shí)，

②

提出問題 對于二個(gè)正數(shù)，有不等式①成立；對于四個(gè)正數(shù)， 有不等式②成立，我們自然會(huì)猜測:對于三個(gè)正數(shù)，也存在類似的不等式，即

③

想一想能否直接由不等式①推出不等式③？不等式①也是不等式③的特殊情形嗎？

試一試類似于上面做法，應(yīng)用不等式②推證8個(gè)正數(shù)的類似不等式(通常稱為算術(shù)——幾何平均值不等式)，并通過特殊化得到5個(gè)，6個(gè)，7個(gè)正數(shù)的類似不等式(通常稱為算術(shù)——幾何平均值不等式)，它的一般情形也是成立的.

評注通過加一加，不僅獲得了新的不等式，還讓學(xué)生學(xué)到了創(chuàng)新的一般技法：加一加，乘一乘，變一變，想一想，試一試.問題設(shè)計(jì)巧奪天工，結(jié)果出人意料，由四元，八元基本不等式來反推出小于四元，八元的基本不等式，結(jié)論還可推到一般形式，學(xué)生會(huì)震撼問題奇特而耐人尋味.這種反向論證的新方法，既讓學(xué)生體驗(yàn)了n元平均不等式證明的歷史脈絡(luò)，又學(xué)到了數(shù)學(xué)創(chuàng)新的方法.

4.2 精心預(yù)設(shè), 光芒四射

經(jīng)過精心預(yù)設(shè)，我們可以將一些普通數(shù)學(xué)問題改造成讓學(xué)生驚異的數(shù)學(xué)問題.如：

案例7(李世杰課堂教學(xué)實(shí)錄)在函數(shù)模型教學(xué)中, 講授折紙中的學(xué)問.

師:數(shù)學(xué)真神奇，現(xiàn)代高科技本質(zhì)上是數(shù)學(xué)技術(shù).古希臘物理學(xué)家阿基米德說過:“給我一個(gè)支點(diǎn),我能撬動(dòng)地球.”這句話運(yùn)用了夸張和比喻等修辭方法，作為一名教師,總希望能找到這樣一個(gè)四兩撥千斤的支點(diǎn),撐起整個(gè)課堂,最大限度的點(diǎn)燃學(xué)生的主體性.我們數(shù)學(xué)中能不能想到類似說法.

生:沉思,默想.

師:給我一張紙，送你上月球.

生1:不可能.

生2，生3，生4眾說紛紜:我給你一張紙,你送我上月球.

師:如果怎么簡單,就能把你送上月球,那還要航天部門干什么?顯然,這是一個(gè)虛擬的數(shù)學(xué)問題,下面我們進(jìn)行數(shù)學(xué)化剖析.

(出示問題) 一張厚度為0.1毫米的薄紙，不斷對折，折51次后，紙疊得有多厚？

想象一下，你手里有一張足夠大的白紙.現(xiàn)在，你的任務(wù)是，把它折疊51次.那么，它有多高？

一個(gè)冰箱？一層樓？或者一棟摩天大廈那么高？不是，差太多了，這個(gè)厚度超過了地球和太陽之間的距離.

師生一起探討, 發(fā)現(xiàn):不斷對折，折51次后，紙疊得有多厚？

圖1

現(xiàn)在要把這一張紙對折51次,其厚度的計(jì)算就應(yīng)該為0.1毫米的2的51次方倍，計(jì)算后的答案是：2.25億千米！2.25億千米是什么概念？

地球的赤道長度是40075.24千米，2.25億千米就相當(dāng)于繞赤道56189.3圈！太陽與地球之間的距離是1.5億千米左右(在遠(yuǎn)日點(diǎn)，距離是1.5億公里；在近日點(diǎn)，距離在1.47億公里以內(nèi))，2.25億千米相當(dāng)于太陽與地球之間的距離的1.5倍！

一般地，對折x次后,厚度的增長規(guī)律滿足函數(shù)模型y=0.1×2x.

注數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系是這么密切，這個(gè)問題蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)道理，潛藏著神奇的數(shù)學(xué)奧秘.高中學(xué)生雖已讀了十幾年數(shù)學(xué)知識了，但可能都是紙上談兵，只會(huì)做題和考試，而建模是去解決實(shí)際問題.從書中到書外，從理論到實(shí)踐，這是一次飛躍.每張紙對折一次，厚度就翻一倍.而隨著厚度的增加，折了七八次后，折疊起來的紙張就會(huì)很厚了，而可供折疊的紙面積就越小，再想繼續(xù)對折就不可能了 (參見文獻(xiàn)3) .這類案例在數(shù)學(xué)中數(shù)不勝數(shù)，而此問題絕對是一枝奇葩.處處綻放著數(shù)學(xué)智慧的幽默之花，充滿了濃郁的人文關(guān)懷氣息，別有另一番風(fēng)味，讓學(xué)生感悟生命、享受震撼，驚異到無語.使學(xué)生經(jīng)歷了無與倫比的情感歷程.相信即使到老，這批學(xué)生也不會(huì)忘卻這一個(gè)動(dòng)人的數(shù)學(xué)問題.

4.3 抓住課堂現(xiàn)場的細(xì)微契機(jī)生成

教學(xué)不是完全根據(jù)教師的事先預(yù)設(shè)按部就班地進(jìn)行.在課堂中發(fā)現(xiàn)和關(guān)注可以開發(fā)的課堂細(xì)節(jié)，反映教師的睿智和思想；捕捉和利用細(xì)節(jié)，則體現(xiàn)教師的實(shí)力和功力. 只有師生的思維在碰撞中產(chǎn)生了“火花”，課堂教學(xué)才能不斷生成.

案例8(李盛課堂教學(xué)實(shí)錄)在上函數(shù)定義域用區(qū)間表示時(shí)，初次引入無窮大“∞”符號，有學(xué)生嘀咕：無窮大是什么東西？

師：(靈機(jī)一動(dòng)追問)無窮大與我們的生活有關(guān)嗎？

很多學(xué)生的回答是：無關(guān).太大了.

師：真的無關(guān)嗎？

生：沉思

師：實(shí)際上，無窮大與我們的生活密切相關(guān).如我們?nèi)我庾哌^一步，就包括“無窮”多個(gè)位置.只是由于習(xí)慣成自然，沒有這樣去思考聯(lián)想罷了.

注這是讓學(xué)生驚異的一個(gè)數(shù)學(xué)問題，它具有簡約精悍的獨(dú)特風(fēng)格和扣人心弦的震撼魅力.拉近了學(xué)生生活與“無窮大”概念的距離，加深了學(xué)生對所學(xué)知識的理解.

4.4 開發(fā)體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識與思想方法應(yīng)用價(jià)值的提問

案例9《體外震波碎石機(jī)》的工作原理見示意圖，它是如何將碎石的能量輸入人體內(nèi)的？

如圖2，在焦點(diǎn)A位置固定一個(gè)火花塞，在某一瞬間通入幾萬伏的高壓電，發(fā)生電火花，電火花的能量足夠?qū)⑻幱诘诙裹c(diǎn)的堅(jiān)硬如鋼結(jié)石打碎.

圖2

知識背景電火花的能量經(jīng)半橢球反射杯進(jìn)行聚焦，能量傳送到第二焦點(diǎn).如果結(jié)石剛好位于該處，則被此能量擊碎.

評注問題盡管不大，但能很好體現(xiàn)焦點(diǎn)的應(yīng)用價(jià)值，留給學(xué)生無限感嘆.

4.5 依托數(shù)學(xué)創(chuàng)新理論進(jìn)行設(shè)計(jì)

一個(gè)數(shù)學(xué)新概念的出現(xiàn)，往往能帶來一個(gè)全新數(shù)學(xué)領(lǐng)域的誕生.

案例10 函數(shù)與方程是重要的數(shù)學(xué)模型，它們以“解集”的方式刻畫自然形態(tài).不等式也有解集，我們能用不等式的解集來表述大自然千姿百態(tài)的美麗嗎？

答案是肯定的.借助高級軟件和編程，我們得到了令人驚異的結(jié)果，舉二個(gè)實(shí)例：

圖4

圖3

(1)不等式[1+(x+y)4][1+(y-x)4][1+(3-2y)4]≤82的解集圖案(如圖3)，形似金元寶，我們把此不等式稱為金元寶不等式；

(2)不等式sinx+siny+cos(x+y)≥1+4sinxsinycos(x+y)的解集圖案(如圖4).

圖5

整個(gè)圖案是由“環(huán)環(huán)相扣”的基本圖案(如圖5)通過上下左右周期性平移組成. 我們把此不等式稱為環(huán)環(huán)相扣不等式.

評注一個(gè)個(gè)枯燥的不等式演變成一張張精美生動(dòng)的幾何圖形，精美絕倫,美倫美奐, 這是“數(shù)學(xué)之美”的新發(fā)現(xiàn),在文獻(xiàn)[2-8]中也作過研究.這些驚異型數(shù)學(xué)問題的教學(xué)，不僅從形式上觸及學(xué)生的視覺網(wǎng)膜，而且有“視覺沖擊力”和“情感震撼力” ，其創(chuàng)意穿過學(xué)生頭腦，觸及學(xué)生的心靈. 有助于增強(qiáng)課堂教學(xué)的感染力和效果，寓教于樂，大大激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，學(xué)生不僅用聆聽，還用心去體會(huì)享受.

5 驚異型數(shù)學(xué)問題的教學(xué)實(shí)效及有待繼續(xù)研究的問題

驚異型數(shù)學(xué)問題的教學(xué)，不僅從形式上觸及學(xué)生的視覺網(wǎng)膜，而且有“視覺沖擊力”和“情感震撼力” ，其創(chuàng)意穿過學(xué)生頭腦，觸及學(xué)生的心靈, 增強(qiáng)課堂教學(xué)的感染力和效果，將會(huì)開辟出一個(gè)數(shù)學(xué)教育新天地.寓教于樂，大大激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，學(xué)生不僅用聆聽，還用心去體會(huì)享受.高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐證明：有意識用一些恰當(dāng)?shù)捏@異型數(shù)學(xué)問題引導(dǎo)教學(xué)，能夠很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)的神奇魅力，只要適時(shí)恰當(dāng)使用，能提高課堂教學(xué)的藝術(shù)性，有效提高課堂教學(xué)效率.用問題驚異性震撼課堂，學(xué)生能更深刻感受數(shù)學(xué)思想方法的精妙絕倫.有待研究的問題有以下三個(gè).

5.1 要緊緊圍繞教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行設(shè)計(jì)

一個(gè)好的驚異型數(shù)學(xué)問題，源于對教材內(nèi)容準(zhǔn)確、深刻地解讀，和寬闊、深厚的數(shù)學(xué)文化構(gòu)建，要緊緊圍繞教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行設(shè)計(jì)，關(guān)鍵是如何和內(nèi)容有機(jī)結(jié)合，使之水乳交融，渾然一體，要按照美的規(guī)律來創(chuàng)造，作為美的信息載體，成為人類文化情感和美質(zhì)的積淀. 且比常規(guī)教法更適合學(xué)生，這樣可以充分發(fā)揮師生雙方的積極性.

驚異型問題并不一定適用于所有的課堂教學(xué)，問題設(shè)計(jì)不當(dāng)會(huì)導(dǎo)致不好的后果.所以對驚異型問題所具有的極強(qiáng)的感染力和滲透力，應(yīng)該綜合認(rèn)識和運(yùn)用.

5.2 內(nèi)容選用要精美

課堂教學(xué)是一門藝術(shù)，課堂教學(xué)中驚異型數(shù)學(xué)問題的成功運(yùn)用同樣也是一門藝術(shù).數(shù)學(xué)是一座智慧的城堡，在這神秘的世界里有許多驚異型數(shù)學(xué)趣題，教學(xué)中選用的內(nèi)容一定要精美,要有教學(xué)魅力，體現(xiàn)在可吸引學(xué)生的注意力繼續(xù)學(xué)習(xí)，有審美價(jià)值，有長久深遠(yuǎn)的感染力、穿透力與親和力.

但一個(gè)驚異型數(shù)學(xué)問題的集聚，有些像一個(gè)鏡子的碎片重新收錄在一起，從不同向度看，映出的鏡像都會(huì)不同，這就要求我們在選用時(shí)要作深層次的思考.

5.3 使用時(shí)機(jī)要恰當(dāng)

驚異型數(shù)學(xué)問題使用的時(shí)機(jī)要恰當(dāng)，是在上課之初，還是在快下課時(shí)，是在講授前，還是在講授中或講授后，都要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和授課實(shí)際精心安排.

6 結(jié)語

本文提出了“驚異型”數(shù)學(xué)問題的概念，討論了驚異型數(shù)學(xué)問題的設(shè)計(jì)原則，揭示了驚異型數(shù)學(xué)問題在教學(xué)中的作用，總結(jié)了驚異型數(shù)學(xué)問題的創(chuàng)作來源，最后提出幾個(gè)有待繼續(xù)研究的相關(guān)問題.

教學(xué)實(shí)踐證明：創(chuàng)設(shè)有效的驚異型數(shù)學(xué)問題，能夠很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)的神奇魅力，適時(shí)恰當(dāng)使用,能有效提高課堂教學(xué)效率.我們的研究僅僅是冰山一角，希望能起到拋磚引玉的作用.樂于見到有更多更好的超級驚異型數(shù)學(xué)問題的出現(xiàn)，以提高數(shù)學(xué)的震撼力，用那精巧的情節(jié)和簡練中透出的深度，在課堂中一下子就能擊中學(xué)生的內(nèi)心，撼動(dòng)學(xué)生的心靈，讓他們體會(huì)到：數(shù)學(xué)這么有用，數(shù)學(xué)真神奇！相信驚異型數(shù)學(xué)問題的生命力會(huì)很強(qiáng)，在數(shù)學(xué)園地會(huì)占據(jù)一席之地，煥發(fā)著勃勃生機(jī),不但能夠承載思想，傳播真理，而且能夠改變?nèi)说乃季S方式，震撼心靈.