數(shù)學思想方法在初中問題解決中的滲透

吳小敏

摘要：結合平時的教學，介紹數(shù)學思想方法在具體題型中的應用。

關鍵詞：數(shù)學思想方法、教學、應用

在初中數(shù)學教學中，教師不僅要注重基本的概念、公式、定理等的教學，知識與技能水平，還應重視數(shù)學思想方法的滲透，以達到有效培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力，提高學生綜合數(shù)學素質(zhì)的目的。“所謂數(shù)學思想是對數(shù)學知識的本質(zhì)認識，是對數(shù)學規(guī)律的理性認識，是從某些具體的數(shù)學內(nèi)容和對數(shù)學的認識過程中提煉上升的數(shù)學觀點。數(shù)學思想方法是處理數(shù)學問題的指導思想和基本策略，是數(shù)學的靈魂?！?/p>

下面結合平時的教學，介紹數(shù)形結合、方程與函數(shù)、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化四種重要的數(shù)學思想方法在具體題型中的應用。

一、數(shù)形結合思想.在初中數(shù)學教學中，數(shù)形結合思想主要體現(xiàn)在兩方面：一是以形助數(shù)，即用幾何圖形的直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)

系;二是以數(shù)助形，用數(shù)之間的聯(lián)系來闡明幾何圖形的某些屬性，從而巧妙快速的解決問題。

例1： X2+9=A，求得最小值是多少？

分析：由X2+9=X2=32，PQ2=OP2-OQ2，（12-x）2+36=（12-x）2+62的形式，聯(lián)想到兩點間的距離公式。由x2+9=A，（12-x）2+36=B（12-x）2+36=B是勾股定理形式，聯(lián)想到構造直角三角形，并利用線段最短等數(shù)學知識解題。

二、方程與函數(shù)思想。在初中數(shù)學中，把一系列字母或待求的量通過列等式方程，從而使問題獲得解決的思想方法稱為方程思想。而函數(shù)思想是在解決數(shù)學問題的過程中把各個量之間的聯(lián)系用函數(shù)關系表示出來。

例2：如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，AB=12，四邊形EFPQ是矩形，點P與點C重合，點Q、E、F分別在BC、AB、AC上（點E與點A、點B均不重合）.

（1）當AE=8時，求EF的長;

（2）設AE=x，矩形EFPQ的面積為y.

①求y與x的函數(shù)關系式;

②當x為何值時，y有最大值，最大值是多少？

【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵AB=12，∠A=30°，

∵矩形，∴EF∥BC，

（2）①∵AB=12，AE=x，點E與點A、點B均不重合，∴0

∵矩形，∴EF∥BC，∠CFE=90°，∴∠AFE=90°，

在Rt△AFE中，∠A=30°，

三、分類討論思想。分類討論思想就是根據(jù)事物具有的共性和差異性的特點，進行分別歸類。

例3：如圖，在銳角△ABC中，BC=12，△ABC的面積為48，D、E分別是邊AB、AC上的兩個動點（D不與A、B重合），且保持DE∥BC，以DE為邊，在點A的異側作正方形DEFG.設DE=x，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為y，試求y關于x的函數(shù)關系式，寫出x的取值范圍，并求出y的最大值.

分析：根據(jù)點的變化，找出臨界狀態(tài)，進行分類。

解： 分兩種情況：

①如圖，當正方形DEFG在△ABC的內(nèi)部時，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為正方形DEFG的面積.

∵DE=x，

∴y=x2，此時x的范圍是0

②如圖3，當正方形DEFG的一部分在△ABC的外部時，設DG與BC交于點Q，EF與BC交于點T，△ABC的高AM交DE于N，

∵DE=x，DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC

∴4.8

∴△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為

當0

當4.8

∴當X=6時，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為24。

∵24>23.04，∴重疊部分的面積的最大值為24.

四、化歸與轉(zhuǎn)化思想。所謂化歸與轉(zhuǎn)化思想是指通過數(shù)學問題內(nèi)部的聯(lián)系，在轉(zhuǎn)化中將問題歸結到熟悉的知識上，從而使問題獲得解決的方法。這是使問題簡化的思想方法。充分體現(xiàn)了數(shù)學的特質(zhì)：追求簡單化！

例4：⊙O是以原點為圓心，√2為半徑的圓，點P是直線y=-x+6上的一點，過點P作⊙O的一條切線PQ，Q為切點，求切線長PQ的最小值。

分析：因為，OQ2=OP2-OQ2，OQ是半徑，是個定值，所以，求PQ的最值，就是求OP得最值。所以問題進行轉(zhuǎn)化。接著再利用垂線段最短，求出OP的最小值。

教學中只有通過培養(yǎng)學生的數(shù)學思想，并在這種思想的支配下進行解題分析，才能將知識運用得得心應手，這種融入數(shù)學思想方法的教學才會收到事半功倍的成效。

參考文獻：

《怎樣解題.數(shù)學思維的新方法》 美 波利亞2011.11

《幾何原本》古希臘 歐幾里得2011.3