一種光電跟蹤平臺(tái)共軸控制的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)濾波方法

呂明明， 劉榮忠， 侯遠(yuǎn)龍， 高強(qiáng)， 王力

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 江蘇 南京 210094)

0 引言

光電跟蹤平臺(tái)是利用光電探測與自動(dòng)控制技術(shù)對(duì)目標(biāo)實(shí)施跟蹤和瞄準(zhǔn)的裝備，有固定基座、車載、艦載和機(jī)載等多種形式，廣泛應(yīng)用于軍事偵察、打擊引導(dǎo)等領(lǐng)域[1-3]。隨著目標(biāo)機(jī)動(dòng)能力的不斷增強(qiáng)，對(duì)光電跟蹤平臺(tái)跟蹤精度和動(dòng)態(tài)響應(yīng)的要求越來越高。

等效復(fù)合控制[4-7]是提高光電跟蹤平臺(tái)跟蹤性能的重要方法，通過合成目標(biāo)脫靶量和平臺(tái)伺服軸位置來估計(jì)目標(biāo)的位置和速度，并前饋到伺服控制系統(tǒng)構(gòu)成復(fù)合控制。共軸控制是基于跟蹤濾波的等效復(fù)合控制[4]，不僅具有等效復(fù)合控制的所有優(yōu)點(diǎn)，而且可以解決目標(biāo)運(yùn)動(dòng)濾波和脫靶量滯后的問題，有效地降低了伺服控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)滯后誤差，提高了目標(biāo)跟蹤精度。

由于目標(biāo)運(yùn)動(dòng)具有未知和時(shí)變等特點(diǎn)，需要采用一定的算法對(duì)其進(jìn)行濾波?？柭鼮V波(KF)是一種目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)估計(jì)算法[8]，廣泛應(yīng)用于光電跟蹤平臺(tái)。文獻(xiàn)[9]利用KF估計(jì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的速度和加速度，并作為前饋信號(hào)與伺服控制系統(tǒng)構(gòu)成復(fù)合控制，提高了系統(tǒng)的跟蹤精度。文獻(xiàn)[10]以機(jī)動(dòng)目標(biāo)的“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型為基礎(chǔ)，利用自適應(yīng)KF算法從等效的目標(biāo)位置中獲取目標(biāo)的角速度，解決了目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的在線調(diào)整問題。

針對(duì)目標(biāo)跟蹤的非線性動(dòng)態(tài)特性，通常采用擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)[11]，或者無跡卡爾曼濾波(UKF)[12]。文獻(xiàn)[13]針對(duì)EKF僅取Taylor展開的一次項(xiàng)會(huì)引入線性誤差的問題，將高次非線性部分作為附加噪聲進(jìn)行補(bǔ)償。文獻(xiàn)[5]通過仿真研究發(fā)現(xiàn)UKF具有較好的速度預(yù)測精度，容積卡爾曼濾波(CKF)在位置預(yù)測上有更好的表現(xiàn)，因此設(shè)計(jì)了基于UKF和CKF的并聯(lián)濾波器，分別估計(jì)目標(biāo)的速度和位置。

上述方法都是建立在預(yù)先設(shè)定目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型基礎(chǔ)上，如Singer模型[14]、Jerk模型[15]和“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型[10]等，對(duì)機(jī)動(dòng)性較強(qiáng)的目標(biāo)跟蹤效果不是很理想。文獻(xiàn)[6]采用優(yōu)化的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)極限學(xué)習(xí)機(jī)(ELM)對(duì)目標(biāo)狀態(tài)和脫靶量進(jìn)行學(xué)習(xí)、訓(xùn)練和融合，估計(jì)目標(biāo)的速度和加速度；但學(xué)習(xí)和訓(xùn)練需要?dú)v史數(shù)據(jù)，這在實(shí)際應(yīng)用中很難得到滿足。文獻(xiàn)[7]采用單隱層前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(SLFNs)建立目標(biāo)自適應(yīng)模型，并使用雙重EKF估計(jì)權(quán)值參數(shù)。建立的模型較復(fù)雜，計(jì)算量大，難以適應(yīng)目標(biāo)跟蹤的實(shí)際應(yīng)用。

灰色系統(tǒng)理論是由鄧聚龍教授在20世紀(jì)80年代提出的一種不確定性系統(tǒng)理論[16]。灰色系統(tǒng)是僅有部分信息已知的系統(tǒng)，介于白色系統(tǒng)和黑色系統(tǒng)之間?；疑碚摂P棄了大量樣本統(tǒng)計(jì)特性研究，通過灰色信息建立微分方程，利用累加生成來弱化數(shù)據(jù)的隨機(jī)性，適用于具有小樣本、貧信息和不確定等特點(diǎn)的光電平臺(tái)目標(biāo)跟蹤預(yù)測[17]?；疑Ｐ?GM)是灰色系統(tǒng)理論的數(shù)學(xué)模型，其中GM(1,1) 的第1個(gè)“1”表示模型采用1階方程，第2個(gè)“1”表示含有一個(gè)變量，即通過少量的數(shù)據(jù)構(gòu)成單變量的1階微分方程，是應(yīng)用最廣的灰色預(yù)測模型。當(dāng)有新的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)可以使用時(shí)，GM(1,1) 采用“新陳代謝”的方法用新數(shù)據(jù)替換最“陳舊”數(shù)據(jù)，重新運(yùn)算、調(diào)整灰色預(yù)測模型的參數(shù)以適應(yīng)目標(biāo)的機(jī)動(dòng)性。

本文利用KF能有效地估測系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性和灰色理論能弱化目標(biāo)隨機(jī)性的優(yōu)點(diǎn)，設(shè)計(jì)基于灰色預(yù)測模型和卡爾曼理論的融合濾波方法，實(shí)時(shí)在線建立目標(biāo)預(yù)測模型，并利用殘差修正策略提高預(yù)測精度。通過融合濾波有效地估計(jì)出目標(biāo)準(zhǔn)確的運(yùn)動(dòng)，提高光電平臺(tái)的跟蹤性能。

1 共軸控制原理

共軸控制是等效復(fù)合控制的完善形式[5]。復(fù)合控制是在伺服控制系統(tǒng)中加入前饋控制，在不影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的前提下，有效地提高伺服控制精度，較好地解決了控制系統(tǒng)精度與穩(wěn)定性之間的矛盾，成為光電跟蹤平臺(tái)改善跟蹤性能的主要研究方向。然而光電跟蹤平臺(tái)只能給出目標(biāo)脫靶量，無法直接使用復(fù)合控制，因此通常利用合成目標(biāo)脫靶量和伺服軸位置來替代目標(biāo)運(yùn)動(dòng)，與復(fù)合控制構(gòu)成等效復(fù)合控制。

共軸控制也稱為計(jì)算機(jī)輔助跟蹤系統(tǒng)，其原理如圖1所示。共軸控制主要包括目標(biāo)運(yùn)動(dòng)估計(jì)和伺服控制引導(dǎo)兩個(gè)部分：一是計(jì)算機(jī)根據(jù)等效的目標(biāo)位置，通過一定的濾波算法估計(jì)出目標(biāo)運(yùn)動(dòng)；二是計(jì)算機(jī)分別將估計(jì)的目標(biāo)位置和速度兩個(gè)信號(hào)傳輸至伺服控制系統(tǒng)，引導(dǎo)光電跟蹤平臺(tái)始終指向目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的跟蹤或瞄準(zhǔn)。

圖1 共軸控制原理圖Fig.1 Principle diagram of on-axis control

共軸跟蹤的兩部分功能相互獨(dú)立、互不影響，因此對(duì)伺服軸反饋元件的數(shù)據(jù)處理可以設(shè)計(jì)得很窄，從而伺服軸的控制帶寬可以較寬，既抑制了噪聲和干擾，又可以保證跟蹤的快速性和準(zhǔn)確性[7]。

2 融合濾波方法

2.1 KF

共軸控制的核心是目標(biāo)運(yùn)動(dòng)估計(jì)的準(zhǔn)確性。KF是光電跟蹤平臺(tái)最常用的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)濾波方法[4,7,10,13]。KF是一個(gè)最優(yōu)化自回歸數(shù)據(jù)處理算法，能夠從一組有限、含有噪聲的觀察序列中預(yù)測出目標(biāo)運(yùn)動(dòng)。首先以k-1時(shí)刻的最優(yōu)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)估計(jì)Xk-1為基準(zhǔn)，預(yù)測出k時(shí)刻的k/k-1；其次又在k時(shí)刻對(duì)目標(biāo)的位置進(jìn)行觀測，得到觀測值Zk；最后用觀測值Zk來修正預(yù)測值k/k-1，從而得到k時(shí)刻的最優(yōu)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)估計(jì)k. KF是一種遞推的線性最小方差估計(jì)，利用前一刻的估計(jì)值和當(dāng)前時(shí)刻的觀測值來估計(jì)當(dāng)前時(shí)刻的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)。

目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程及觀測方程[18]分別為

Xk=AXk-1+Wk-1,

(1)

Zk=HXk+Vk,

(2)

式中：Xk為m維的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)向量，可以表示目標(biāo)的角度、速度或者與光電跟蹤平臺(tái)的距離等；Zk為對(duì)應(yīng)的觀測值；A和H分別為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和觀測矩陣；Wk-1、Vk為零均值、協(xié)方差分別為Qk-1和Rk的白噪聲。

KF的狀態(tài)預(yù)測、均方差預(yù)測、濾波增益、濾波估計(jì)和均方差更新5個(gè)計(jì)算方程分別為

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

KF是一種基于目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型的濾波算法，所建立的模型既要符合實(shí)際運(yùn)動(dòng)情況，又要便于數(shù)學(xué)處理[10,14-15]。Singer模型假定目標(biāo)加速度的概率密度函數(shù)服從近似均勻分布，即隨機(jī)加速度均值為0. Jerk模型進(jìn)一步對(duì)加速度的變化率進(jìn)行分析，提高機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤精度?！爱?dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型認(rèn)為目標(biāo)在機(jī)動(dòng)時(shí)，下一時(shí)刻的加速度取值有限，且只能是在“當(dāng)前”時(shí)刻加速度的鄰域內(nèi)，加速度的“當(dāng)前”概率密度用修正的瑞利分布描述。

KF及其各種改進(jìn)形式在上述目標(biāo)運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型預(yù)先確定且與實(shí)際情況相符合的情況下，能取得很好的跟蹤效果[19]；然而實(shí)際應(yīng)用中很難甚至不可能預(yù)先建立精確的數(shù)學(xué)模型。另外在跟蹤過程中，隨著目標(biāo)狀態(tài)的變化，其運(yùn)動(dòng)模型和觀測模型均要隨之改變；否則跟蹤濾波效果會(huì)不好甚至發(fā)散。

2.2 灰色預(yù)測模型

機(jī)動(dòng)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡盡管看上去復(fù)雜凌亂，然而其中必然蘊(yùn)含著某種內(nèi)在規(guī)律，關(guān)鍵在于如何去挖掘和利用。GM預(yù)測就是利用少量已知的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)，通過累加生成來弱化隨機(jī)性，并從中提取有價(jià)值的信息，建立簡單有效的預(yù)測模型，對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)做出快速、準(zhǔn)確的預(yù)測，其主要的特點(diǎn)是少數(shù)據(jù)和實(shí)時(shí)在線建模[20]。

(8)

式中：a為發(fā)展系數(shù)；b為灰色作用量。其中灰色作用量是從目標(biāo)已知運(yùn)動(dòng)中挖掘出來的信息，反映了目標(biāo)運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律。若α=[a,b]為參數(shù)列，且

根據(jù)最小二乘法估計(jì)，(8)式的參數(shù)列滿足：

=(BTB)-1BTY.

于是計(jì)算目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的離散解，并經(jīng)還原得到k+1時(shí)刻的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)預(yù)測值為

(9)

通過GM(1,1)建立目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行預(yù)測，就是利用前k個(gè)數(shù)據(jù)來預(yù)測k+1時(shí)刻的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)。根據(jù)“新陳代謝”原則，在得到k+1時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)后，放棄原序列的初始數(shù)據(jù)，用剩余的k-1個(gè)數(shù)據(jù)和k+1時(shí)刻的新數(shù)據(jù)構(gòu)成新的序列，重新計(jì)算灰色預(yù)測模型的參數(shù)，依次迭代，以適應(yīng)目標(biāo)的機(jī)動(dòng)性。

2.3 融合方法

基于GM和卡爾曼理論的融合濾波方法，就是在KF框架上，結(jié)合灰色預(yù)測模型對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行有效估計(jì)。首先用少量前幾個(gè)時(shí)刻的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)建立灰色預(yù)測模型，預(yù)測當(dāng)前時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)；其次通過目標(biāo)脫靶量和平臺(tái)伺服軸反饋位置合成目標(biāo)等效位置作為觀測值，并在預(yù)測值和觀測值基礎(chǔ)上，用KF估計(jì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)；最后用估計(jì)值與預(yù)測值形成的殘差序列，建立殘差灰色預(yù)測模型，預(yù)測當(dāng)前時(shí)刻的殘差值，并修正目標(biāo)運(yùn)動(dòng)灰色預(yù)測模型。其融合關(guān)系如圖2所示。

圖2 灰色卡爾曼濾波原理圖Fig.2 Principle diagram of grey model and Kalman filter

GM(1,1)僅用4個(gè)已知的數(shù)據(jù)就能夠建模，并且可以達(dá)到一定的預(yù)測精度[21]。綜合考慮灰色預(yù)測模型的預(yù)測精度和實(shí)時(shí)性，選擇用前4個(gè)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)來預(yù)測第5個(gè)時(shí)刻的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)，由(9)式得到融合濾波狀態(tài)預(yù)測方程為

x-(4)=(1-ea)

(10)

進(jìn)一步可由(9)式得到目標(biāo)在k時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)預(yù)測值為

(11)

比較(9)式和(11)式，可得到目標(biāo)運(yùn)動(dòng)在相鄰時(shí)刻的變化關(guān)系：

(0)(k+1)=e-a(0)(k).

(12)

由此可以得出，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的灰色狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣G為

(13)

融合濾波的協(xié)方差預(yù)測方程為

(14)

為進(jìn)一步提高目標(biāo)運(yùn)動(dòng)GM的預(yù)測精度，由融合濾波的估計(jì)值與GM的預(yù)測值形成殘差，建立殘差估計(jì)GM(1,1) 模型，對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)灰色預(yù)測模型進(jìn)行修正。設(shè)殘差序列為ε(0)={ε(0)(k)}，k=1,2,…,n，其中ε(0)(k)=(k)-x-(k)，則殘差灰預(yù)測模型為

(15)

式中：aε和bε分別為殘差發(fā)展系數(shù)和灰色作用量。

最終，融合濾波中基于殘差修正的GM預(yù)測方程為

x-(k+1)=(1-ea)

(16)

式中：±取值與殘差序列尾端數(shù)據(jù)符號(hào)保持一致。

由于基于灰色預(yù)測模型和卡爾曼理論的融合濾波需要4個(gè)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)已知數(shù)據(jù)建立灰色預(yù)測模型，因此光電跟蹤平臺(tái)共軸控制在前幾個(gè)時(shí)刻仍然用KF來估計(jì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)，從第5個(gè)時(shí)刻開始建立目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的灰色預(yù)測模型；同理從第9個(gè)時(shí)刻開始使用帶殘差修正的GM來預(yù)測目標(biāo)運(yùn)動(dòng)。

3 實(shí)驗(yàn)分析

3.1 仿真平臺(tái)建立

某型號(hào)光電跟蹤試驗(yàn)平臺(tái)具有高低和方向兩軸伺服控制系統(tǒng)，兩個(gè)軸相互獨(dú)立，且除了方向軸需要正割補(bǔ)償外控制策略完全一致。以該試驗(yàn)平臺(tái)的高低軸為例，機(jī)械平臺(tái)與直流力矩電機(jī)直接耦合，反饋元件采用旋轉(zhuǎn)變壓器，經(jīng)掃頻法和擬合辨識(shí)得到平臺(tái)的傳遞函數(shù)為

(17)

經(jīng)解析計(jì)算和仿真實(shí)驗(yàn)，位置回路的校正環(huán)節(jié)和速度回路的校正環(huán)節(jié)分別為

(18)

(19)

圖3 共軸跟蹤控制系統(tǒng)仿真圖Fig.3 Simulation model of on-axis tracking control system

共軸跟蹤控制系統(tǒng)仿真模型如圖3所示，其中共軸跟蹤采用所設(shè)計(jì)的融合濾波方法。

3.2 灰色模型預(yù)測分析

為了驗(yàn)證GM的預(yù)測效果，假設(shè)目標(biāo)在光電跟蹤平臺(tái)的高低向做勻速運(yùn)動(dòng)，初始時(shí)刻處于原點(diǎn)，速度為0.5°/s，采樣間隔為0.1 s，觀測噪聲方差為0.02. 為了體現(xiàn)殘差修正策略的效果，試驗(yàn)分為GM和基于殘差修正的GM(RGM)預(yù)測兩個(gè)部分。

GM從第5個(gè)采樣周期開始，利用前4個(gè)周期的目標(biāo)位置數(shù)據(jù)，建立位置灰色預(yù)測模型，代入(10)式計(jì)算出目標(biāo)的預(yù)測位置。RGM在GM的基礎(chǔ)上，從第9個(gè)采樣周期開始，利用前4個(gè)周期目標(biāo)實(shí)際位置與預(yù)測值所形成的殘差序列建立殘差估計(jì)GM，根據(jù)(15)式預(yù)測出當(dāng)前周期的殘差，并用來修正位置GM的預(yù)測值。GM和RGM均采用“新陳代謝”的更新方法，即每當(dāng)有新數(shù)據(jù)時(shí)都放棄最“陳舊”的數(shù)據(jù)，利用新建立的數(shù)據(jù)序列重新建立預(yù)測模型、更新模型參數(shù)，以適應(yīng)目標(biāo)的機(jī)動(dòng)性。

GM和RGM的目標(biāo)預(yù)測軌跡如圖4所示。設(shè)Xr為目標(biāo)實(shí)際位置，Xp為預(yù)測位置，定義絕對(duì)誤差(AE)為e=|Xr-Xp|，其誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果及運(yùn)算時(shí)間如表1所示。RGM對(duì)目標(biāo)位置的預(yù)測精度高于GM，提高了60%. GM運(yùn)算時(shí)間為2.3 ms，由于殘差模型的建立和計(jì)算，RGM運(yùn)算時(shí)間有所增加，但仍然能滿足實(shí)時(shí)性要求。

表1 GM預(yù)測統(tǒng)計(jì)結(jié)果

圖4 GM預(yù)測目標(biāo)軌跡Fig.4 Predicted target trajectories of GM and RGM

定義均方根誤差(RMSE)為

(20)

圖5和圖6分別給出了GM和RGM上述所定義的絕對(duì)誤差和相對(duì)均方根誤差。從圖5、圖6可以清楚地看出，GM和RGM預(yù)測誤差均控制在一定范圍內(nèi)，但RGM的誤差要明顯小于GM.

圖5 GM預(yù)測絕對(duì)誤差Fig.5 AE comparison of GM and RGM

圖6 GM預(yù)測均方根誤差Fig.6 RMSE comparison of GM and RGM

3.3 融合濾波仿真

光電跟蹤平臺(tái)通過電荷耦合器件(CCD)或紅外傳感器計(jì)算目標(biāo)脫靶量需要經(jīng)過采集及處理等環(huán)節(jié)，經(jīng)實(shí)際測量滯后時(shí)間約為0.01 s，而編碼器采樣周期為0.002 s，因此設(shè)置共軸控制系統(tǒng)運(yùn)算周期為0.01 s，同時(shí)將伺服軸反饋的位置信號(hào)延遲5個(gè)采樣周期。

本文以高低角θ=65°sin(1.265t)為等效的目標(biāo)正弦運(yùn)動(dòng)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。為了驗(yàn)證融合濾波方法的有效性，共軸跟蹤控制分別采用標(biāo)準(zhǔn)KF、自適應(yīng)KF[10](AKF)和所設(shè)計(jì)的融合濾波(RGMKF)方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，其中AKF為基于機(jī)動(dòng)目標(biāo)“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型和模型自適應(yīng)的KF，RGMKF為基于殘差修正的灰色預(yù)測模型，目標(biāo)位置濾波仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 目標(biāo)位置濾波仿真Fig.7 Simulated results of predicted target positions

圖8顯示了目標(biāo)位置濾波的誤差對(duì)比，可見：濾波誤差隨著目標(biāo)機(jī)動(dòng)性增強(qiáng)而有所增大，KF誤差絕對(duì)值最大為0.138°，平均為0.058°；AKF誤差絕對(duì)值最大為0.078°，平均為0.02°；而RGMKF誤差絕對(duì)值為0.012°，平均為0.002°. 圖9為由(20)式計(jì)算3種濾波方法的RMSE，從中可以發(fā)現(xiàn)RGMKF的濾波效果明顯優(yōu)于KF和AKF.

圖8 目標(biāo)位置濾波誤差Fig.8 Filtering errors of predicted target position

圖9 目標(biāo)位置濾波均方根誤差Fig.9 RMSE errors of predicted target position

4 結(jié)論

本文針對(duì)光電跟蹤平臺(tái)的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)濾波精度問題，基于灰色理論實(shí)時(shí)在線建立簡單有效的灰色預(yù)測模型，并在KF框架下，對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了有效估計(jì)。對(duì)灰色預(yù)測模型的殘差序列，進(jìn)一步建立殘差灰色預(yù)測模型，對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行修正，將GM預(yù)測精度提高了60%. 融合方法采用“新陳代謝”方法更新預(yù)測模型參數(shù)，很好地適應(yīng)了目標(biāo)機(jī)動(dòng)性，提高了光電跟蹤平臺(tái)的目標(biāo)跟蹤精度。

本文主要融合了灰色預(yù)測模型和KF. 在保證實(shí)時(shí)性和跟蹤精度等性能的基礎(chǔ)上，與KF其他擴(kuò)展形式的融合將是下一步工作的重點(diǎn)。