基于Jones-Wilkins-Lee狀態(tài)方程的爆轟波相互作用參數(shù)理論分析

李瑞， 李偉兵， 靳洪忠， 王桂林， 洪曉文， 朱建軍， 李文彬， 王曉鳴

(1.南京理工大學(xué) 智能彈藥技術(shù)國防重點學(xué)科實驗室， 江蘇 南京 210094； 2.山東特種工業(yè)集團有限公司， 山東 淄博 255201； 2.重慶紅宇精密工業(yè)有限責(zé)任公司, 重慶 402760)

0 引言

提高戰(zhàn)斗部主裝藥的炸藥能量利用率是戰(zhàn)斗部設(shè)計者追求的一個重要目標。在實際中，一般通過采用隔板、多點起爆或復(fù)合裝藥等方式調(diào)整爆轟波波形，使爆轟波在對稱面處發(fā)生匯聚，形成超壓爆轟，這些方式在高速桿式射流、大長徑比爆炸成型彈丸以及定向戰(zhàn)斗部等方面應(yīng)用非常廣泛[1-4]。

在20世紀70年代，Al′tshuler等[5]通過試驗發(fā)現(xiàn)了B炸藥的超壓爆轟現(xiàn)象，測得了超壓爆轟的爆速是正常爆轟的2倍，爆壓超過120 GPa. Dunne[6]、繆玉松等[7]基于等γ律狀態(tài)方程對凝聚炸藥爆轟波碰撞過程進行了理論分析，并指出發(fā)生馬赫反射的臨界入射角取決于爆轟產(chǎn)物的多方指數(shù)γ，給出了馬赫反射壓力等參數(shù)的計算方法。Zhang等[8]基于質(zhì)量守恒定律給出了爆轟波傳播過程中馬赫桿高度的計算模型。潘建等[9]利用Whitham方法[10-11]分析了爆轟波相互作用過程，并計算了爆轟波的馬赫反射參數(shù)。Lambourn等[12]利用Whitham方法計算了凝聚炸藥爆轟波碰撞的馬赫反射問題，計算過程中對面積函數(shù)進行了修改，修改后的計算結(jié)果和試驗結(jié)果符合得很好，但修改后的面積函數(shù)中慢變函數(shù)需要根據(jù)試驗數(shù)據(jù)擬合確定，給馬赫反射參數(shù)的理論計算帶來不便。

本文基于Jones-Wilkins-Lee(JWL)狀態(tài)方程，利用三波理論[6]和Whitham方法[10-11]，對爆轟波相互作用后的正規(guī)斜反射和馬赫反射進行理論分析，確定Lambourn等[12]修改后的面積函數(shù)中慢變函數(shù)理論計算方法，并進行驗證，為進一步完善凝聚炸藥爆轟波相互作用后的正規(guī)斜反射和馬赫反射理論計算提供借鑒。

1 爆轟波碰撞計算模型

1.1 爆轟波相互作用

兩個等強度爆轟波在炸藥內(nèi)部傳播至對稱平面處時，隨著波陣面間夾角的增加將發(fā)生正碰撞、正規(guī)斜碰撞和馬赫碰撞等過程。兩個等強度爆轟波的正規(guī)斜碰撞和馬赫碰撞，可視為其中一側(cè)爆轟波對剛性壁面的正規(guī)斜反射和馬赫反射，當(dāng)入射角θ0較小時，將發(fā)生正規(guī)斜反射，如圖1(a)所示，此時流出波陣面TI和流出波陣面TR的流團偏轉(zhuǎn)角相等，即φ1=φ2. 隨著入射角θ0的不斷增大，達到馬赫反射的臨界入射角θ0c以后，碰撞點附近物質(zhì)發(fā)生堆積，迫使碰撞點T移動至T′點，便形成了如圖1(b)所示的馬赫反射。圖1中：0區(qū)為原始炸藥區(qū)，1區(qū)為入射爆轟波后區(qū)，2區(qū)為反射波后區(qū)，3區(qū)為馬赫桿后區(qū)；q0、q1、q2、q3分別為入射波TI、反射波TR及馬赫桿TT′前后的流團速度；DCJ和uCJ分別為入射波TI的波速和波后介質(zhì)的移動速度。

圖1 爆轟波正規(guī)斜反射和馬赫反射流場Fig.1 Flow setup to describe regular reflection and Mach reflection

炸藥JWL狀態(tài)方程及其等熵形式[13]為

(1)

(2)

對于爆轟波正規(guī)斜碰撞，首先考察圖1(a)中由0區(qū)到1區(qū)各參數(shù)間的變化關(guān)系。假設(shè)炸藥完全反應(yīng)，1區(qū)中爆轟產(chǎn)物滿足C-J條件，根據(jù)入射波TI切向速度連續(xù)、質(zhì)量守恒、動量守恒以及C-J條件得到1區(qū)流團速度為

(3)

按照入射波TI前后的幾何關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系式，得

(4)

對于1區(qū)到2區(qū)，根據(jù)壓力- 轉(zhuǎn)角關(guān)系式[14]，有

(5)

式中：p2為2區(qū)壓力；pCJ為C-J條件下爆轟產(chǎn)物的壓力。

對于爆轟波正規(guī)斜碰撞，首先根據(jù)入射角θ0及1區(qū)爆轟產(chǎn)物的C-J條件參數(shù)，由(3)式和(4)式計算出流團速度q1和入射波TI后流團偏轉(zhuǎn)角φ1. 然后結(jié)合Hugoniot關(guān)系及JWL狀態(tài)方程，由(5)式計算出反射波后流團偏轉(zhuǎn)角φ2. 將(p2,φ1+φ2)的點作在圖2上，得到反射波的極曲線R1，該曲線與p2軸交于a、b兩點，根據(jù)附體激波都為弱激波解[14]，顯然a點即為正規(guī)斜反射的穩(wěn)定解。當(dāng)θ0增大到θ0c

時，a、b兩點重合，與p2軸相切(曲線R2)。根據(jù)Von Neumann的脫體激波判據(jù)[14]，θ0c即為正規(guī)斜反射向馬赫反射轉(zhuǎn)變的臨界入射角。不同炸藥的馬赫反射臨界入射角的理論計算值和試驗結(jié)果如表1所示。從表1的計算結(jié)果中可以看出，基于JWL狀態(tài)方程計算出的馬赫反射臨界入射角θ0c較等γ律狀態(tài)方程的計算結(jié)果更接近于試驗值。從而驗證了基于JWL狀態(tài)方程的馬赫反射臨界入射角計算的正確性。

圖2 不同入射角下的反射波壓力- 轉(zhuǎn)角極曲線Fig.2 Pressure-deflection curves at different incident angles

表1 不同炸藥的馬赫反射臨界入射角計算值與試驗結(jié)果

1.2 三波點增長角的確定

基于Whitham方法[10-11]獲取三波點增長角，是基于把馬赫桿看作入射爆轟波在一收斂的變截面流管中傳播的結(jié)果，在二維情況下，爆轟波位置與其垂直的射線位置如圖3所示。

圖3 Whitham方法描述爆轟波運動示意圖Fig.3 Detonation wave movement described in Whitham’s geometrical shock dynamics

圖3中VPTW和RQT′S兩條線之間為一個變截面管道。PQ是t時刻入射爆轟波位置，TT′為t+dt時刻由入射爆轟波PQ變成的馬赫桿。∠QPT為爆轟波入射角θ0，∠T′PT為三波點增長角χ.P、T′為不同時刻的三波點。由圖3可得到：

cosχ/sin (θ0-χ)=DM/DCJ,

(6)

sinχ/cos (θ0-χ)=AM/ACJ,

(7)

式中：ACJ和AM分別為截面PQ和TT′處管道的面積；DM為馬赫桿速度。

聯(lián)立(6)式和(7)式，得

(8)

式中：馬赫桿速度DM和入射爆轟波速度DCJ的關(guān)系定義[12]為

(9)

ξ=p3/pCJ，p3為馬赫桿壓力。

Lambourn等[12]通過數(shù)值計算擬合出如下的面積函數(shù)A(ξ)關(guān)系：

(10)

式中：k(ξ)是一個慢變函數(shù)，一般取常數(shù)，通常由試驗數(shù)據(jù)擬合得到。

根據(jù)張俊秀等[16]的試驗結(jié)果，通過(6)式～(10)式，得到馬赫桿參數(shù)DM和χ的計算結(jié)果如表2所示。從表2中可以看出，通過Whitham方法計算獲得的馬赫桿速度DM和三波點增長角χ與試驗結(jié)果吻合較好，說明此方法計算馬赫桿參數(shù)是可行的。

表2 馬赫參數(shù)的計算值與試驗結(jié)果比較

1.3 馬赫桿高度計算

凝聚炸藥在端面發(fā)生環(huán)起爆以后，在炸藥內(nèi)部形成的軸對稱爆轟波向裝藥中心軸線匯聚形成超壓爆轟。隨著入射角θ0的不斷增大，達到馬赫反射臨界入射角θ0c以后，形成馬赫反射，如圖4所示。

圖4 爆轟波傳播示意圖Fig.4 Propagation of detonation wave

根據(jù)圖4中的幾何關(guān)系，馬赫反射起始點T坐標(xT,yT)滿足下面關(guān)系：

xT=rOO1tanθ0c,yT=0,

(11)

式中：rOO1為起爆半徑。

令xn+1=xn+Δx，Δx為迭代步長，根據(jù)圖4中的幾何關(guān)系有

(12)

式中：θn和(xn,yn)分別為Tn點處的爆轟波入射角及Tn點坐標。

對于Tn點處的三波點增長角χn，根據(jù)圖4中的幾何關(guān)系有

(13)

式中：(xn+1,yn+1)為Tn+1點的坐標。Tn點坐標可由(8)式～(13)式迭代求出，依次連接Tn點坐標即可求出三波點軌跡，即馬赫桿高度和傳播距離的關(guān)系。

1.4 慢變函數(shù)k(ξ)的確定

雖然馬赫反射參數(shù)可以用Lambourn等[12]修改的Whitham方法較精確地計算出，但對于不同炸藥，慢變函數(shù)k(ξ)是不同的，需要根據(jù)試驗數(shù)據(jù)擬合得到，這給馬赫反射爆轟參數(shù)的理論計算帶來不便，為此需對k(ξ)的理論計算進行推導(dǎo)。Whitham等[10-11]研究表明面積函數(shù)A(ξ)滿足以下關(guān)系：

(14)

式中：D為爆轟波速度；u和c分別為爆轟波波陣面后介質(zhì)的移動速度和當(dāng)?shù)芈曀?；ρ為爆轟產(chǎn)物的密度。分別對(10)式和(14)式兩邊取自然對數(shù)，聯(lián)立得

(15)

根據(jù)聲速的定義[17]，有

(16)

根據(jù)質(zhì)量守恒和動量守恒定律，可計算得到爆轟波陣面后區(qū)壓力p和介質(zhì)的移動速度u為

(17)

將(17)式兩邊取微分，可得

(18)

根據(jù)JWL狀態(tài)方程及Hugoniot關(guān)系，可計算爆轟波速度為

(19)

式中：E0為初始條件下炸藥單位體積內(nèi)能。

將(19)式兩邊取微分代入(18)式，對于給定ξ值(一般ξ取1～5)，聯(lián)立(15)式～(19)式即可計算出慢變函數(shù)k(ξ)，其值變化較小，計算取平均值。

2 計算結(jié)果驗證

2.1 壓力計算與驗證

為了驗證本文計算模型的正確性，采用具有試驗數(shù)據(jù)的PBX 9501炸藥[17]進行驗證。PBX 9501炸藥的JWL狀態(tài)方程參數(shù)見表1. 對正規(guī)斜碰撞的壓力可由(1)式～(5)式，結(jié)合反射波(p,φ1+φ2)極曲線求得。對于馬赫反射，首先根據(jù)(15)式～(19)式計算出慢變函數(shù)k(ξ)，然后聯(lián)立(8)式～(13)式計算出馬赫反射壓力，計算結(jié)果如圖5所示。從圖5中可以看出，計算出的正規(guī)斜碰撞和馬赫碰撞的壓力與試驗結(jié)果較吻合，驗證了基于JWL方程建立的正規(guī)斜反射和馬赫反射壓力以及慢變函數(shù)k(ξ)計算模型的正確性。

圖5 PBX 9501炸藥正規(guī)斜反射與馬赫反射壓力計算結(jié)果與試驗結(jié)果對比Fig.5 Calculated and experimental results of regular and Mach reflection pressures of PBX 9501 explosive

2.2 馬赫桿高度計算與驗證

采用JH-2炸藥[18]發(fā)生馬赫反射后的馬赫桿高度試驗數(shù)據(jù)對本文馬赫桿高度計算模型進行驗證。JH-2炸藥的JWL狀態(tài)方程參數(shù)及馬赫反射的臨界入射角θ0c計算結(jié)果見表1. 根據(jù)(15) 式～(19)式計算出慢變函數(shù)k(ξ)=0.468 3，然后由(8) 式～(13)式迭代求出馬赫桿高度，計算結(jié)果和試驗結(jié)果對比如圖6所示。從圖6中可以看出，馬赫桿高度計算結(jié)果與試驗結(jié)果吻合較好，驗證了馬赫桿高度和慢變函數(shù)k(ξ)計算模型的正確性。

圖6 馬赫桿高度隨傳播距離變化的計算結(jié)果試驗結(jié)果對比Fig.6 Calculated Mach stem heights and experimental data versus propagation distance

爆轟波正規(guī)斜反射和馬赫反射的壓力及馬赫桿高度計算結(jié)果與試驗結(jié)果吻合較好，說明基于JWL狀態(tài)方程建立的正規(guī)斜碰撞和馬赫碰撞的爆轟參數(shù)理論計算模型，能夠較準確地反映實際凝聚炸藥爆轟波正規(guī)斜反射和馬赫反射的傳播規(guī)律。

3 結(jié)論

1)本文基于JWL狀態(tài)方程，建立了爆轟波正規(guī)斜碰撞壓力計算模型和反射波的極曲線計算模型，計算得到了C-4炸藥、PBX 9501炸藥和PBX 9502炸藥的馬赫反射臨界入射角θ0c，理論計算結(jié)果與試驗結(jié)果的誤差分別為6.3%、4.0%和2.9%，相比等γ律狀態(tài)方程更接近于試驗值。結(jié)合Whitham方法推導(dǎo)出慢變函數(shù)k(ξ)的計算公式，用PBX 9501炸藥和JH-2炸藥的試驗結(jié)果驗證了其正確性，這樣可避免通過試驗數(shù)據(jù)擬合慢變函數(shù)k(ξ)，完善了馬赫反射參數(shù)(馬赫超壓和馬赫桿高度)的理論計算。

2)使用三波理論和Whitham方法，基于JWL狀態(tài)方程建立的爆轟波斜反射和馬赫反射壓力及馬赫桿高度計算模型，對于凝聚炸藥爆轟波相互作用后發(fā)生的正規(guī)斜反射和馬赫反射，能夠較準確地反映其傳播規(guī)律，為描述多點環(huán)起爆或帶隔板裝藥條件下形成超壓爆轟驅(qū)動藥型罩過程提供理論基礎(chǔ)。