一道萬(wàn)有引力好題

李志強(qiáng)

(華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué) 湖北 武漢 430223)

在萬(wàn)有引力這一章的所有知識(shí)基本學(xué)完后，筆者在一堂課上給學(xué)生解決練習(xí)題中的疑難點(diǎn)，遇到了下面這一道題.

【例題】?jī)深w人造衛(wèi)星繞地球逆時(shí)針運(yùn)動(dòng),衛(wèi)星1、衛(wèi)星2分別沿圓軌道、橢圓軌道運(yùn)動(dòng),圓的半徑與橢圓的半長(zhǎng)軸相等,兩軌道相交于A,B兩點(diǎn),某時(shí)刻兩衛(wèi)星與地球在同一直線上,如圖1所示,下列說(shuō)法中正確的是( )

A.兩衛(wèi)星在圖示位置的速度v2=v1

B.兩衛(wèi)星在A處的加速度大小相等

C.兩顆衛(wèi)星在A或B點(diǎn)處可能相遇

D.兩衛(wèi)星永遠(yuǎn)不可能相遇

圖1 例題題圖

此題中，選項(xiàng)B，C，D均比較容易判斷.由萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律可以知道，兩衛(wèi)星在A點(diǎn)的加速度大小相等.兩顆衛(wèi)星軌道半長(zhǎng)軸相等，中心天體相同，由開(kāi)普勒第三定律可知，它們周期相等，因此當(dāng)衛(wèi)星1位于軌跡下半周時(shí)，衛(wèi)星2位于軌跡上半周，所以它們永遠(yuǎn)不會(huì)相遇.

但對(duì)于選項(xiàng)A的解釋并不是非常容易，筆者在和學(xué)生互動(dòng)時(shí)，學(xué)生的思維活躍程度令人驚喜，他們給出了以下多種解釋方法.

解法1：

利用衛(wèi)星變軌的知識(shí).如圖2所示，想象一個(gè)與橢圓軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)相切的圓形軌道，記為軌道3.設(shè)衛(wèi)星在軌道3上運(yùn)行的速度為v3，根據(jù)萬(wàn)有引力定律和圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律，我們可以知道v3

圖2 解法1分析示意圖

解法2：

圖3 解法2分析示意圖

解法3：

圖4 解法2分析ρ1>ρ2解法3分析S1>S2

圖5 解法3分析v1>v2

一節(jié)普通的習(xí)題課，無(wú)意間仿佛變成了一節(jié)高效的復(fù)習(xí)課.此題的解法中涉及到開(kāi)普勒第二、第三定律，萬(wàn)有引力定律、牛頓第二定律、圓周運(yùn)動(dòng)、衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)規(guī)律等知識(shí)，在同學(xué)們的講解和分享過(guò)程中不知不覺(jué)對(duì)這些知識(shí)都進(jìn)行了復(fù)習(xí).尤其是解法2，對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度表達(dá)式的理解要求很高，要能區(qū)分曲線某一點(diǎn)的曲率半徑與該點(diǎn)到中心天體球心的距離，這正是很多同學(xué)易產(chǎn)生困惑的難點(diǎn).在這節(jié)課上，提出了解法的幾位同學(xué)很有成就感，其他同學(xué)聽(tīng)完這3種解法，都嘖嘖稱贊，顯得很興奮.這樣一道好題不但給了學(xué)生思考和展示的機(jī)會(huì)，同時(shí)也是對(duì)萬(wàn)有引力定律這一章知識(shí)認(rèn)真細(xì)致的復(fù)習(xí).因此，我們的單元復(fù)習(xí)課和高三的復(fù)習(xí)課，也可以精心挑選和設(shè)計(jì)一些好題，讓學(xué)生在開(kāi)放的課堂氛圍中思考、討論，從而達(dá)到綜合運(yùn)用知識(shí)和復(fù)習(xí)的目的，比教師“一言堂”或者讓學(xué)生做許多重復(fù)訓(xùn)練要好得多.