考慮沖擊和維修的多狀態(tài)系統(tǒng)效能評估

宋衛(wèi)星，曹文斌，武婧婧

（1.陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)裝備指揮與管理系，石家莊 050003；2.武警指揮學(xué)院勤務(wù)保障系，天津 300250；3.西部戰(zhàn)區(qū)陸軍保障部信息保障室，蘭州 730000）

0 引言

傳統(tǒng)的可靠性理論認(rèn)為系統(tǒng)及其組成部件僅僅存在完好和故障兩種狀態(tài)，即二態(tài)系統(tǒng)，隨著對系統(tǒng)失效機(jī)理和規(guī)律的深入研究，人們發(fā)現(xiàn)在工業(yè)和軍事應(yīng)用中，系統(tǒng)及其組成部件從完好到故障的退化過程中存在許多中間狀態(tài)，這種系統(tǒng)稱為多狀態(tài)系統(tǒng)。多狀態(tài)系統(tǒng)廣泛存在于工業(yè)和軍事領(lǐng)域，如發(fā)電系統(tǒng)［1-2］、水管系統(tǒng)［3］、雷達(dá)系統(tǒng)［4］等。由于傳統(tǒng)的二態(tài)理論并不適用于這類多狀態(tài)系統(tǒng)，近年來，研究人員對多狀態(tài)系統(tǒng)的可靠評估、維修優(yōu)化等問題開展了大量相關(guān)研究。

關(guān)于多狀態(tài)系統(tǒng)的現(xiàn)有相關(guān)文獻(xiàn)很多，涉及的內(nèi)容也很全面。Gu 等人［4］對多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性評估、優(yōu)化、維修等問題進(jìn)行了系統(tǒng)而全面綜述，并系統(tǒng)綜述了常用的多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性分析方法，如隨機(jī)過程法［5］、通用生成函數(shù)法［6］、蒙特卡洛仿真法［7］等。劉宇等人［6］研究了多狀態(tài)系統(tǒng)的系統(tǒng)級和部件級維修問題，并研究了考慮二態(tài)部件不完善維修的多狀態(tài)系統(tǒng)選擇性維修問題［7］。曹文斌等人研究了考慮隨機(jī)共因失效［8］、考慮系統(tǒng)模糊特性［9］和面向隨機(jī)任務(wù)［10］的多狀態(tài)裝備選擇性維修問題。潘剛等人［11］研究了考慮隨機(jī)沖擊和認(rèn)知不確定情況下的多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性評估問題。Mi 等人［12］研究了考慮共因失效和認(rèn)知不確定性的多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性評估問題。Jafary 等人［13］采用通用生成函數(shù)法，研究了存在相關(guān)性時(shí)，多狀態(tài)裝備系統(tǒng)可靠度、可用度、故障率、平均故障時(shí)間等參數(shù)的評估問題。

典型的軍用多狀態(tài)裝備，如火炮有不能射擊、能夠正常射擊、射擊距離降低等狀態(tài)；車輛有能夠正常行駛、不能行駛、行駛速度降低等狀態(tài)；雷達(dá)有能夠正常探測目標(biāo)、不能探測目標(biāo)、探測范圍和距離降低等狀態(tài)。這些裝備系統(tǒng)在任務(wù)過程中往往會遭受一些沖擊（如敵方火力打擊等），可能導(dǎo)致系統(tǒng)內(nèi)多個(gè)部件同時(shí)發(fā)生狀態(tài)轉(zhuǎn)移，甚至故障。若在任務(wù)過程中，這些裝備的輸出效能不能滿足任務(wù)需求，必須立刻對其進(jìn)行維修，從而確保任務(wù)圓滿完成。然而，雖然目前多狀態(tài)裝備系統(tǒng)是可靠性領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問題，取得的研究成果也很多，但是從現(xiàn)有的文獻(xiàn)看，多數(shù)研究人員都是聚焦于研究多狀態(tài)系統(tǒng)的可靠性、維修優(yōu)化問題，且沒有考慮多狀態(tài)系統(tǒng)任務(wù)過程中的維修問題，因此，現(xiàn)有的模型在某些情況下，并不能直接應(yīng)用于考慮任務(wù)過程中維修時(shí)的多狀態(tài)裝備系統(tǒng)效能評估。鑒于此，本文在現(xiàn)有研究成果的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)研究考慮隨機(jī)共因失效和維修這兩種情況下的多狀態(tài)部件效能評估問題，建立響應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，求得多狀態(tài)系統(tǒng)的平均工作時(shí)間和效能，為軍用多狀態(tài)裝備保障提供科學(xué)、技術(shù)支持。

1 問題描述

圖1 多狀態(tài)部件維修過程

為便于開展研究，這里作以下假設(shè):

1）部件的退化由自然退化和外部沖擊兩部分造成，二者相互獨(dú)立，且自然退化過程符合齊次馬爾科夫過程，外部沖擊的到達(dá)服從泊松過程；

2）任務(wù)過程中多狀態(tài)部件故障后，只能將其從故障狀態(tài)恢復(fù)到能工作的最低效能輸出狀態(tài)；

3）部件可以在多個(gè)狀態(tài)工作，每個(gè)狀態(tài)的輸出效能已知。

2 考慮共因失效條件和維修的多狀態(tài)系統(tǒng)效能評估

根據(jù)問題描述可知，多狀態(tài)部件任務(wù)中的狀態(tài)轉(zhuǎn)移是由自然退化和外部沖擊兩部分原因造成。外部沖擊的到達(dá)會以不同的概率導(dǎo)致多狀態(tài)部件在不同的狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移，這里將這種現(xiàn)象稱為隨機(jī)共因失效（Radom Common Cause Failure，RCCF）［7］。當(dāng)部件的初始工作狀態(tài)為完好狀態(tài)時(shí)，多狀態(tài)部件在一個(gè)檢修周期內(nèi)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程如下頁圖2 所示。

2.1 多狀態(tài)部件狀態(tài)分布

圖2 多狀態(tài)部件的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程

根據(jù)假設(shè)條件1），自然退化過程符合齊次馬爾科夫過程，外部沖擊的到達(dá)服從泊松過程，且二者相互獨(dú)立，則多狀態(tài)部件狀態(tài)分布評估可通過其次馬爾科夫過程求得。

當(dāng)只考慮自然退化過程時(shí)，多狀態(tài)部件n 從狀態(tài)j 轉(zhuǎn)移到狀態(tài)h 的轉(zhuǎn)移率表示為，則部件的狀態(tài)轉(zhuǎn)移率矩陣可表示為:

綜上所述，多狀態(tài)部件在時(shí)刻t+Δt 處于狀態(tài)h的概率為:

根據(jù)式（4）和上述推導(dǎo)過程可知，最復(fù)雜的一種情況是h=1 時(shí)，而h≠1 可看作是其一種特殊情況。當(dāng)h=1 時(shí)，式（4）可寫作:

2.2 多狀態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)概率分布

根據(jù)多狀態(tài)部件n 在各狀態(tài)的概率和各狀態(tài)的輸出性能，采用通用生成函數(shù)（Universal Generating Function，UGF）法，可寫出多狀態(tài)部件在時(shí)刻t的狀態(tài)概率分布為:

多狀態(tài)系統(tǒng)中各多狀態(tài)部件在任意時(shí)刻t 可能處于多個(gè)不同的狀態(tài)，通過各多狀態(tài)部件的不同效能的組合，多狀態(tài)系統(tǒng)也可能有多種狀態(tài)，每個(gè)狀態(tài)的效能及概率均不同。根據(jù)式（10）和UGF，可得到多狀態(tài)裝備系統(tǒng)在t 時(shí)刻的狀態(tài)概率分布為:

2.3 多狀態(tài)裝備系統(tǒng)平均效能評估

當(dāng)任務(wù)對多狀態(tài)裝備系統(tǒng)的效能輸出要求為w時(shí)，則在時(shí)刻t，多狀態(tài)裝備系統(tǒng)能夠滿足任務(wù)要求的概率可表示為:

其中，1（g）為指示函數(shù)，可表示為:

根據(jù)式（14）可求得系統(tǒng)在全面檢修期內(nèi)的平均失效時(shí)間為:

同理，可求得系統(tǒng)在某個(gè)狀態(tài)hs的平均時(shí)間為:

系統(tǒng)在全面檢修期內(nèi)的平均效能可計(jì)算為:

3 算例分析

某多狀態(tài)裝備系統(tǒng)由發(fā)彈機(jī)和供彈機(jī)兩種多狀態(tài)部件構(gòu)成，其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖3 所示。各多狀態(tài)部件的狀態(tài)及輸出效能如表1 所示。各部件的起始狀態(tài)均為完好狀態(tài)，即。當(dāng)僅考慮自然退化時(shí)，各部件的狀態(tài)轉(zhuǎn)移率如表2所示。任務(wù)對系統(tǒng)單位時(shí)間輸出效能要求為w=180單位/h。隨機(jī)共因失效事件的到達(dá)率為/月，隨機(jī)共因失效導(dǎo)致部件的狀態(tài)轉(zhuǎn)移率如表3 所示。部件1 和部件2 的修復(fù)率相同μ1=μ2=300/ 月，部件3 和部件4 的修復(fù)率相同μ3=μ4=600/月。根據(jù)上述推導(dǎo)過程，需求得多狀態(tài)裝備系統(tǒng)的平均工作時(shí)間長度和總輸出效能。

圖3 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

3.1 多狀態(tài)系統(tǒng)效能評估結(jié)果

根據(jù)上述推導(dǎo)過程，可求得各部件處于各狀態(tài)的概率，各部件在任意時(shí)刻處于3 個(gè)狀態(tài)的概率分別為:

表1 各部件狀態(tài)及效能（單位/h）

表2 自然退化導(dǎo)致各部件的狀態(tài)轉(zhuǎn)移率（/月）

表3 隨機(jī)共因失效導(dǎo)致各部件的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率

根據(jù)各部件的狀態(tài)數(shù)量可以看出，系統(tǒng)在任意時(shí)刻t 處的可能狀態(tài)有ks=3×3×3×3=81 個(gè)，其中，滿足輸出效能要求w=180 單位/h 的狀態(tài)組合有7 個(gè)，各狀態(tài)輸出效能及概率分布如表4 所示。

根據(jù)式（17）可求得系統(tǒng)處于各狀態(tài)的平均時(shí)間。處于狀態(tài)1 的平均時(shí)間為:

處于狀態(tài)2 的平均時(shí)間為:

表4 滿足任務(wù)要求的系統(tǒng)狀態(tài)、輸出效能及概率分布

3.2 模型驗(yàn)證

圖4 Monte Carlo 仿真結(jié)果

根據(jù)上述仿真流程，仿真得到了不同仿真次數(shù)與平均輸出效能的關(guān)系，如圖4 所示。圖4 中，藍(lán)色線表示不同仿真次數(shù)（lg（Ntot））下系統(tǒng)的平均輸出效能，紅色線表示利用文中解析模型得到的系統(tǒng)平均輸出效能理論值（82 656.293 8），從圖4 中可以看出，隨著仿真次數(shù)的增加，解析法與Monte Carlo 仿真法得到的結(jié)果幾乎一致，證明文中建立的模型是正確的。

4 結(jié)論

針對多狀態(tài)裝備系統(tǒng)在任務(wù)過程中遭受沖擊這一特定的應(yīng)用背景，考慮任務(wù)過程中對故障部件及時(shí)實(shí)施維修的情況，研究建立了多狀態(tài)裝備系統(tǒng)效能評估模型，得到多狀態(tài)裝備系統(tǒng)平均工作時(shí)間和效能。研究結(jié)果表明，文中建立的模型能夠有效評估隨機(jī)共因失效和考慮維修過程的多狀態(tài)系統(tǒng)效能評估問題，具有一定的理論和應(yīng)用價(jià)值。對于本文的研究內(nèi)容可以從兩個(gè)方面進(jìn)一步擴(kuò)展研究:一是考慮模糊多狀態(tài)系統(tǒng)效能評估問題；二是研究多狀態(tài)系統(tǒng)維修間隔期優(yōu)化問題。