平移算子的微分多項式的零點分布的再研究

別榮軍

(安徽建筑大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 合肥 230601)

1 引言及主要結(jié)果

本文所用到的值分布論中的標(biāo)準(zhǔn)符號和基本內(nèi)容同參考文獻[1-2]一致。S(r,f) 表示任意滿足S(r,f)=o(T(r,f))的量，可能除去r的一個線性測度為有限的集合。若亞純函數(shù)a(z)滿足T(r,a)=S(r,f)，則稱 a(z)為 f(z)的小函數(shù)。

最近三十年來，涉及微分或差分多項式的亞純函數(shù)的值分布以及惟一性問題的研究取得了很好的成果。2012年，劉凱[3]等人研究差分微分多項式的零點分布，得到了

定理1[3]設(shè)f(z)非周期函數(shù)，而是有窮級的超越整函數(shù)， α(z)為f(z)的小函數(shù)。若n≥k+3，則[f(z)nΔcf](k)-α(z)必有無窮多個零點。

2019年，Laine[4]研究了涉及平移算子的多項式的值分布，得到了

定理2[4]設(shè)f(z)是有窮級ρ的超越整函數(shù)， α(z),b1(z),b2(z),…,bl(z)為f(z)的非零小F=[f(z)nψs(f)]- α(z)必有無窮多個零點，且λ(F)= ρ。

本文討論涉及平移算子的微分多項式的值分布情況，得到如下結(jié)論：

定理3 設(shè)f(z)是有窮級ρ的超越整函數(shù)，α(z),b1(z),b2(z),…,bl(z)為f(z)的非零小函數(shù)，常數(shù)。若正整數(shù)n,s滿足 n≥2k+s+3,s≥1，則[f(z)nψs(f)](k)-α(z)必有無窮多個零點，且其級為ρ。

定理3的結(jié)論從另外一種形式改進了定理1，并且將定理2的結(jié)論推廣到微分多項式的情形。

2 引理

為了證明我們的結(jié)論，在此先介紹幾個引理。

引理1[5]假設(shè)f是一個具有有窮級ρ的亞純函數(shù)， c為非零常數(shù)，則對任意的ε＞0，有

引理2 假設(shè)f是一個具有有窮級ρ的整函數(shù)， ψ(f(z))如定理3給出。則

T(r,ψ(f(z)))≤ T(r,f(z))+O(rρ-1+ε)+S(r,f(z))。

證明：由第一基本定理與引理1，得到

≤ T(r,f(z))+O(rρ-1+ε)+S(r,f(z))

引理3 設(shè)f是一個具有有窮級ρ的超越整函數(shù)， ψ(f)如定理3給出，F(xiàn)(Z)=fn(z) ψS(f)且n,s,k為正整數(shù)，則

證明：注意到f是整函數(shù)，

即

另一方面，由引理1與第一基本定理得到

由式(1)與式(2)可知結(jié)論成立。

引理4[1]假設(shè)f是亞純函數(shù)， P(z)為一n(≥1)次多項式， 則有

T(r,P(f))=n T(r,f)+S(r,f)。

引理5[1]假設(shè)f(z)為定義在?上的亞純函數(shù)， 且 α1(z),α2(z),α3(z)是 f(z)的三個互不相同的小函數(shù)， 則有

引理 6[6，7]假設(shè) f(z)是非常數(shù)亞純函數(shù)，p,k為正整數(shù)。則

引理7[1]假設(shè)是一個非常數(shù)亞純函數(shù)，F(xiàn)(z)=fn(z)ψs(f)為正整數(shù)，則 F(z)=fn(z)ψs(f)與F(z)=fn(z)ψs(f)有相同級和下級。

3 定理的3證明

假設(shè)F(z)=fn(z)ψs(f)。由定理2的證明過程可知，ρ(F(z))=ρ。由引理7得到ρ(F(k)(z))=ρ(F(z))。注意到 ρ(F(k)(z)- α(z))= ρ(F(k)(z))，所以ρ(F(k)(z)-α(z))=ρ。

假設(shè)F(k)(z)-a(z)只有有限個零點。由引理2知，F(xiàn)(z)不是常數(shù)，且S(r,F(k)(z))=S(r,F(z))=S(r,f(z))。將引理 5 作用于 F(k)(z)，有

結(jié)合式(4)，由引理2，引理3與引理4得到

式(5)與條件n≥2k+s+3矛盾。完成定理3的證明。