從有理數(shù)到實(shí)數(shù)的歷史演進(jìn)

■山東省臨沂市臨沭縣第二初級(jí)中學(xué) 袁玉曉

處于當(dāng)今信息化、大數(shù)據(jù)時(shí)代，我們每天都會(huì)迎來(lái)鋪天蓋地的數(shù)據(jù)，數(shù)學(xué)更是無(wú)時(shí)無(wú)刻不在服務(wù)于人類(lèi)社會(huì)。作為數(shù)學(xué)最基本元素的數(shù)，其是從現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)過(guò)多年的實(shí)踐而來(lái)，我們看不見(jiàn)摸不著這些美麗的小精靈，但超越了虛擬世界和物質(zhì)世界的局限，擁有著無(wú)窮無(wú)盡的魅力。然而諸如數(shù)的本質(zhì)是什么？如何定義無(wú)理數(shù)？有理數(shù)一樣無(wú)理數(shù)多嗎？實(shí)數(shù)是什么等問(wèn)題，即使今天回答起來(lái)也并非易事。正如英國(guó)哲學(xué)家、數(shù)理邏輯學(xué)家羅素(B. Russell，1872-1970)曾說(shuō)：“人類(lèi)了解到兩只羊中的2 和兩天中的2 是同一個(gè)概念，竟花了幾千年時(shí)間。”同樣人類(lèi)從認(rèn)識(shí)自然數(shù)、有理數(shù)，再到實(shí)數(shù)也用了兩千多年的時(shí)間。

一、《九章算術(shù)》中的無(wú)理數(shù)

人有10 個(gè)手指，計(jì)數(shù)時(shí)自然會(huì)以手指輔助。正是由此開(kāi)始，人類(lèi)祖先堆石子，數(shù)貝殼，刻痕計(jì)數(shù)，結(jié)繩計(jì)數(shù)等，直至創(chuàng)造文字、數(shù)字及算盤(pán)、籌算、計(jì)算器等計(jì)數(shù)用具。這一切皆源于手指計(jì)數(shù)基本法則，無(wú)疑其自然孕育形成了10 進(jìn)制系統(tǒng)。此乃是人類(lèi)千百年來(lái)積累的寶貴智慧財(cái)富。

大約在3000 多年前，中國(guó)古人就已形成了自然數(shù)概念，隨后便掌握了自然數(shù)的運(yùn)算法則。而在《九章算術(shù)》中，已對(duì)分?jǐn)?shù)、正負(fù)數(shù)和無(wú)理數(shù)等概念均給出明確而完整的描述。在“少?gòu)V”篇的開(kāi)方術(shù)中寫(xiě)道，若開(kāi)之不盡者為不可開(kāi)，當(dāng)以面命之。故同負(fù)數(shù)一樣，中國(guó)古人對(duì)無(wú)理數(shù)的接納顯得非常從容和自然，且關(guān)于無(wú)理數(shù)的應(yīng)用又是那樣得心應(yīng)手。在中國(guó)古代數(shù)學(xué)中，“面”常指平面圖形的邊，而這里則應(yīng)是指正方形的一邊?！耙悦婷币庵笇㈤_(kāi)方不盡的數(shù)借助“面”來(lái)表示。

為了表示開(kāi)方不盡的根數(shù)(無(wú)理數(shù))，劉徽在《九章算術(shù)》注釋中建立了小數(shù)概念。“不以面命之，加定法如前，求其微數(shù)(指小數(shù)部分)。微數(shù)無(wú)名者以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母。退之彌下，其分彌細(xì)。”其大意就是用10 進(jìn)小數(shù)來(lái)無(wú)限逼近無(wú)理數(shù)。這是一條完善實(shí)數(shù)系的正確道路，但因劉徽的數(shù)學(xué)思想遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了其時(shí)代，可惜未能引起后人的足夠重視。

二、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)

“萬(wàn)物皆數(shù)”是古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的基本信條。不過(guò)他們所說(shuō)的“數(shù)”僅僅是指有理數(shù)。公元前500年左右，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派主要成員之一希帕蘇斯（Hippasus， 約公元前470）發(fā)現(xiàn)了一個(gè)驚人事實(shí)：邊長(zhǎng)為1 的正方形，其對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度不可公度(即不能用整數(shù)或整數(shù)之比來(lái)表示)。那這個(gè)數(shù)是什么，既不是整數(shù)，也非有理數(shù)。該發(fā)現(xiàn)很快引起了該學(xué)派的恐慌，認(rèn)為其動(dòng)搖了他們?cè)趯W(xué)術(shù)界的統(tǒng)治地位。因畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把抽象數(shù)作為萬(wàn)物本原，他們研究數(shù)之目的是試圖通過(guò)揭示數(shù)的奧秘來(lái)探索宇宙永恒真理?！叭f(wàn)物皆數(shù)”是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的一種信念，是其宗教、哲學(xué)和數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)。而無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)徹底擊碎了其基本信念，致使整個(gè)學(xué)派失去了賴(lài)以存在的基礎(chǔ)。對(duì)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派來(lái)說(shuō)，整數(shù)是一切的基礎(chǔ)，認(rèn)為任何事物皆可由整數(shù)表示出來(lái)。但無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)使整數(shù)的原子地位受到了質(zhì)疑，這就是該學(xué)派乃至整個(gè)希臘數(shù)學(xué)最為恐懼的科學(xué)事實(shí)。

希帕蘇斯第一次揭示了有理數(shù)系不能同連續(xù)直線(xiàn)同等看待，有理數(shù)并未布滿(mǎn)數(shù)軸上的點(diǎn)，在數(shù)軸上存在不能用有理數(shù)表示的“孔隙”。而這種“孔隙”經(jīng)后人證明簡(jiǎn)直多得“不可勝數(shù)”。故古希臘人把有理數(shù)視為連續(xù)銜接的算術(shù)連續(xù)統(tǒng)設(shè)想徹底破滅了。

不可公度的本質(zhì)是什么？?jī)蓚€(gè)不可通約的比值也一直被認(rèn)為是不可理喻之?dāng)?shù)。意大利畫(huà)家達(dá)芬·奇（Leonardo di ser Piero da Vinci，1452-1519）稱(chēng)之“無(wú)理之?dāng)?shù)”，德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒(J. Kepler， 1571-1630)稱(chēng)之“不可名狀之?dāng)?shù)”等。后逐步定名為“無(wú)理數(shù)”。故我們今天所說(shuō)的“無(wú)理數(shù)”并非“無(wú)理”，實(shí)為“不可通約”之意。

三、戴德金分割

直到文藝復(fù)興時(shí)期，如何定義無(wú)理數(shù)仍在探索之中。數(shù)學(xué)家斯蒂費(fèi)爾（Michael Stifel，1486-1567）曾使用各種無(wú)理數(shù)，甚至還用過(guò)這種在當(dāng)時(shí)來(lái)說(shuō)是新型的無(wú)理數(shù)。但他承認(rèn)：“當(dāng)我們想把它們數(shù)出來(lái)（用十進(jìn)制小數(shù)的形式）時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)它們無(wú)止境地往遠(yuǎn)處跑，因而沒(méi)有一個(gè)無(wú)理數(shù)實(shí)質(zhì)上能被我們準(zhǔn)確地掌握住。而本身缺乏準(zhǔn)確性的東西，就不能稱(chēng)其為真正的數(shù)。故正如無(wú)窮大不是數(shù)一樣，無(wú)理數(shù)也不是真正的數(shù)，而是隱藏在一種迷霧后面的東西?！?/p>

嚴(yán)密無(wú)理數(shù)定義直到1857 年才給出，第一個(gè)給出者是德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯(Karl Weierstrass，1815-1897)。他先從自然數(shù)出發(fā)定義有理數(shù)，然后通過(guò)無(wú)窮多個(gè)有理數(shù)集合來(lái)定義實(shí)數(shù)。其定義不需引入新的數(shù)學(xué)對(duì)象作為無(wú)理數(shù)，而是承認(rèn)10進(jìn)制有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而10進(jìn)制無(wú)限不循環(huán)小數(shù)則是無(wú)理數(shù)。在推理過(guò)程中，魏爾斯特拉斯最初只是將無(wú)理數(shù)看成一個(gè)純粹記號(hào)，一個(gè)尚不清楚其意義的數(shù)學(xué)對(duì)象。后在10 進(jìn)制小數(shù)全體集合內(nèi)引入加法和乘法運(yùn)算，并規(guī)定其中任何兩個(gè)數(shù)之間的序，驗(yàn)證了其滿(mǎn)足域公理、序公理、阿基米德公理和連續(xù)性公理。再經(jīng)過(guò)多步邏輯推導(dǎo)，最終給出了嚴(yán)密的實(shí)數(shù)定義。

1872 年，戴德金(J.W.R.Dedekind，1831-1916)、康托爾(G. Cantor，1845-1918)、梅雷(Melay)和海涅(Heine)等數(shù)學(xué)家?guī)缀跬瑫r(shí)發(fā)表了其各自的實(shí)數(shù)理論。其中戴德金從連續(xù)性要求出發(fā)，用有理數(shù)“分割”來(lái)定義無(wú)理數(shù)。

戴德金所應(yīng)用方法被稱(chēng)之戴德金分割。他把有理數(shù)集Q 劃分為兩個(gè)非空且不相交子集A1和A2，并使對(duì)?a1∈A1，?a2∈A2，總有a1＜a2。一個(gè)實(shí)數(shù)a被定義成上述有理數(shù)的一個(gè)分割，即a=(A1，A2)?？梢?jiàn)，有些分割是有理數(shù)產(chǎn)生，這時(shí)或A1有最大元素，或A2有最小元素。如：A1具有最大元素就稱(chēng)分割(A1，A2)定義了有理數(shù)但在這種情況下，同一個(gè)有理數(shù)會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)分割，即它可能是A1的最大元素，也可能是A2的最小元素，這時(shí)則認(rèn)為這兩個(gè)分割是相同的。而有些分割不是由有理數(shù)產(chǎn)生，這時(shí)A1和A2皆無(wú)最大或最小元素，此時(shí)則稱(chēng)分割(A1，A2)定義了一個(gè)無(wú)理數(shù)。例如，可知，在A1和A2中不存在最大和最小的元素，這樣分割(A1，A2)就定義了無(wú)理數(shù)戴德金對(duì)無(wú)理數(shù)的定義，在數(shù)軸上可以被粗略地解釋為，每個(gè)有理數(shù)根據(jù)其大小和正負(fù)都唯一地對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)，而無(wú)理數(shù)被定義在有理數(shù)所形成的“空隙”中。如此，戴德金就把實(shí)數(shù)集R定義為有理數(shù)集Q的一切分割。

康托爾則在不假定無(wú)理數(shù)存在的條件下，通過(guò)“基本級(jí)數(shù)”引入了無(wú)理數(shù)。他不僅給出了無(wú)理數(shù)理論較為詳細(xì)的論述，還引進(jìn)了實(shí)數(shù)理論，明確指出實(shí)數(shù)既包含有理數(shù)又包含無(wú)理數(shù)。同時(shí)康托爾還定義了實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算和兩個(gè)實(shí)數(shù)的不等關(guān)系，進(jìn)而得出了著名的戴德金-康托公理：直線(xiàn)上任意一點(diǎn)皆與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)。

任何科學(xué)發(fā)展皆非一帆風(fēng)順，而是在奮斗中一步步砥礪前行。從無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)至給出其嚴(yán)格定義歷經(jīng)了兩千余年篳路藍(lán)縷之程，其所引發(fā)的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了極為深遠(yuǎn)的科學(xué)影響，促使人們從依靠直覺(jué)、經(jīng)驗(yàn)而轉(zhuǎn)向邏輯證明，推動(dòng)了公理化體系的發(fā)展，孕育了微積分思想，進(jìn)而產(chǎn)生了現(xiàn)代數(shù)學(xué)。