平面鏡夾角成像探究

崔善欣 崔善良

摘 要 平面鏡成像遵循的基本規(guī)律是光的反射定律，成正立、等大的虛像。學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)有一類特殊的成像——平面鏡夾角成像問(wèn)題。初步探究發(fā)現(xiàn)，將兩個(gè)平面鏡成一定夾角放置時(shí)，在兩平面鏡前放置一個(gè)物體，在兩個(gè)平面鏡中可以觀察到物體所成的像的個(gè)數(shù)不是固定的，成像個(gè)數(shù)與兩平面鏡的夾角之間存在非常有趣的規(guī)律性。下面，我僅對(duì)就平面鏡夾角成像的規(guī)律做簡(jiǎn)要分析。

關(guān)鍵詞 平面鏡成像 規(guī)律探究

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

ABCD為一平面鏡，在其中心的正上方h處有一物點(diǎn)A，則據(jù)平面鏡成像原理可得，S通過(guò)平面鏡ABCD所成的像S對(duì)稱地分布在平面鏡下方距平面鏡h處。

現(xiàn)在，把平面鏡ABCD沿中線OO切開(kāi)，裝上一可自由折疊的絞鏈，平面鏡AOOD和平面鏡OBCO為固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，且規(guī)定SO始終在兩平面鏡所夾二面角的角分線上，AO、BO向上對(duì)稱的折疊而物點(diǎn)S不動(dòng)，在這種變化下，在S點(diǎn)觀察S所成的像，會(huì)發(fā)生怎樣的變化呢？有沒(méi)有規(guī)律可循呢？

我們先來(lái)的研究AO和BO向下折的情形，此時(shí)∠AOB大于 ，S點(diǎn)發(fā)出的光線通過(guò)平面鏡反射后全被平面鏡AO和BO反射出去，不會(huì)返回到S點(diǎn)，即在S處觀察不到S的像，亦即∠AOB大于 時(shí)，在S點(diǎn)觀察到像的個(gè)數(shù)為零。

當(dāng)∠AOB= 時(shí)，能觀察到一個(gè)S的像。

當(dāng)AO和BO向上偏折，∠AOB小于 時(shí)，情況又會(huì)如何呢？

S發(fā)出的光線垂直面鏡OA的光線被返回，S可觀察平面鏡OA所成的像SA，同理，還可觀察到平面鏡OB所成的像SB，因此，在此狀態(tài)下，在S點(diǎn)可通過(guò)平面鏡看到S的兩個(gè)像SA和SB。這兩個(gè)像可以看作是原來(lái)的一個(gè)像S隨平面鏡OA和OB的夾角∠AOB的減小而分離得到的。

下面，我們看一下當(dāng)面鏡繼續(xù)折疊，∠AOB等于2 /3時(shí)成像的情形。

當(dāng)∠SAS SB= /3時(shí)，△SAS SB為正三角形，也就是當(dāng)∠AOB等于2 /3時(shí)，物像分布在正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，隨鏡的夾角的減小，SA和SB間距離進(jìn)一步拉開(kāi)，那么，當(dāng)∠AOB減小于 /2時(shí)，情況又如何呢？

當(dāng)∠AOB= /2，此時(shí)，S通過(guò)面鏡OA、OB所成的像分別為SA、SB，除此之外，SA通過(guò)面鏡OB又可以成像S，同理，SB通過(guò)平面鏡OA也可以成像，根據(jù)平面鏡成像作圖發(fā)現(xiàn)，此時(shí)這兩個(gè)像呈在同一位置。在S點(diǎn)，此時(shí)只能觀察到SA、SB和S三個(gè)像，且物像分布在同一正方開(kāi)的四個(gè)頂點(diǎn)上，非常規(guī)則。隨兩平面鏡OA和OB的繼續(xù)折疊，S分裂為兩個(gè)像且逐漸離開(kāi)，當(dāng)∠AOB達(dá)到2 /5時(shí)，則物像又呈現(xiàn)規(guī)則圖形。

此時(shí)，通過(guò)平面鏡OA可以看到SA和SB在OA中成的像SB，通過(guò)平面鏡OB可以看到SB和SA在OB中成的像SA。因此，此時(shí)可以看到四個(gè)S的像，且這四個(gè)像和S均勻分布在正五邊開(kāi)的五個(gè)頂點(diǎn)上。當(dāng)∠AOB繼續(xù)減小時(shí)，像SA和SB繼續(xù)分開(kāi)，當(dāng)∠AOB等于 /3時(shí)，此時(shí)通過(guò)平面鏡OA可以看到SA、SB在OA中成的像SB和SA在OA中成的像SA，通過(guò)平面鏡OB可以看到SB、SA在OB中成的像SA和SB在OB中成的像SB，此時(shí)據(jù)平面鏡作圖發(fā)現(xiàn)，SA和SB是重合的，因而此時(shí)可以看到五個(gè)像，此時(shí)物像均勻分布在正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)上。

當(dāng)∠AOB繼續(xù)減小時(shí)，像SA和SB分離。

由以上列舉的幾種情形可以看出，隨平面鏡OA和OB間夾角的變化，像的個(gè)數(shù)分布呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，下面作簡(jiǎn)細(xì)分析：

當(dāng)兩面鏡的夾角為 時(shí)，像為1個(gè)，當(dāng)夾角小于 時(shí)，則像由1個(gè)變?yōu)閮蓚€(gè)，隨著兩面鏡夾角的減小，兩個(gè)像逐漸遠(yuǎn)離，當(dāng)∠AOB= /2時(shí)，出現(xiàn)第三個(gè)像，當(dāng)∠AOB< /2時(shí)，第三個(gè)像分開(kāi)成為兩個(gè)，隨∠AOB的減小，第三四個(gè)像又逐漸遠(yuǎn)離，∠AOB=2 /5時(shí)，出現(xiàn)第五個(gè)像，下面列表總結(jié)一下成像與夾角的關(guān)系。

成像個(gè)數(shù)、物像形狀與兩平面鏡夾角的關(guān)系。（注 即∠AOB）

由上表可以看出，成像個(gè)數(shù)與兩平面鏡夾角間存在規(guī)律性變化，下面用簡(jiǎn)單的數(shù)字把這種規(guī)律性呈現(xiàn)出來(lái)，即：

夾角 ： 2 /3 2 /4 2 /5 2 /6 2 /7……

像的個(gè)數(shù)：1 2 3 4 5 6

列出以下對(duì)應(yīng)關(guān)系的通項(xiàng)為：

（n+1）=2

n+1=2 /

n=2 / -1

注意到這里n是像的個(gè)數(shù)，只能是整數(shù)，而本式是由特殊情況（ 能被2 整除）得出的，對(duì)于 不能被2 整除時(shí)，該式顯然不成立，因?yàn)榇藭r(shí)所得n的數(shù)值為小數(shù)，不符合成像規(guī)律。經(jīng)過(guò)研究成像規(guī)律及列表看到，當(dāng)物S通過(guò)兩平面鏡成像個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，僅在 為某一特殊值時(shí)成立，而在過(guò)渡階段所成像的個(gè)數(shù)都為偶數(shù)，故而，我們只需對(duì)上式中當(dāng)n取小數(shù)時(shí)加以規(guī)范即可：

即：n=2 / -1 當(dāng)n為小數(shù)時(shí)，取最接近它的偶數(shù)。

利用本式，只要知道了兩平面鏡間的夾角，即可求出S成像的個(gè)數(shù)。當(dāng) 能被2 整除時(shí)還可判斷出物像組成的規(guī)則形狀。