單分位數(shù)方法對(duì)時(shí)間序列尾指數(shù)變點(diǎn)檢測(cè)及應(yīng)用

摘 要：多元時(shí)間序列中的尾指數(shù)變點(diǎn)檢測(cè)在理論和實(shí)際應(yīng)用中都有著廣泛應(yīng)用。本文利用單分位數(shù)方法（Single Quantile Method）構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量檢測(cè)和估計(jì)出多元時(shí)間序列數(shù)據(jù)尾指數(shù)變點(diǎn)，證明其極限分布。在模擬研究中，分別產(chǎn)生三個(gè)經(jīng)典的厚尾分布類型隨機(jī)數(shù)進(jìn)行模擬研究，結(jié)果表明，單分位數(shù)方法對(duì)多元時(shí)間序列尾指數(shù)的變點(diǎn)檢測(cè)是有效的，尤其對(duì)分布變化造成的尾指數(shù)變化的情形更加敏感與準(zhǔn)確。最后將該方法應(yīng)用于深圳市香蜜湖路市委黨校南行路段車流量數(shù)據(jù)，結(jié)果顯示該方法能準(zhǔn)確檢測(cè)出交通流變點(diǎn)，根據(jù)存在的變點(diǎn)分析出交通流的變化規(guī)律。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)畏治粩?shù)方法; 變點(diǎn); 多元時(shí)間序列; 厚尾分布; 尾指數(shù)

中圖分類號(hào)：O212

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

通常，我們將樣本用一個(gè)分布或者模型進(jìn)行刻畫，變點(diǎn)則是指其分布、模型或其參數(shù)突然發(fā)生改變之點(diǎn)稱為變點(diǎn)，通過變點(diǎn)檢測(cè)可以分析出造成該變點(diǎn)的原因，從而找到有效的解決辦法。自Page以來(lái)，大量的研究都致力于變點(diǎn)分析這一理論及其在各個(gè)領(lǐng)域中的應(yīng)用[1]。在現(xiàn)有的方法中，Cusum檢驗(yàn)因其在實(shí)際應(yīng)用中的易用性而長(zhǎng)期流行，與似然法相比，原序列真實(shí)分布未知情況可使用Cusum方法。例如文獻(xiàn)[2，3]。在金融和生物統(tǒng)計(jì)中，數(shù)據(jù)常具有尖峰厚尾的性質(zhì)，尾指數(shù)是描述此特征的一個(gè)重要指標(biāo)。實(shí)際應(yīng)用中，大多數(shù)文獻(xiàn)關(guān)注的是導(dǎo)致極端事件發(fā)生變化的均值或方差，但尾部的變化（即尾指數(shù)變化）會(huì)導(dǎo)致更多的極端事件。

極端現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)建模和分析是非常關(guān)鍵的，因?yàn)闉?zāi)害和恐慌事件（如洪水、大地震和股市崩盤）的潛在風(fēng)險(xiǎn)可以事先確定，從而使它們得到充分的管理或預(yù)防。在此基礎(chǔ)上，研究極值理論中的變點(diǎn)檢驗(yàn)問題，特別是由于尾指數(shù)代表分布的肥胖程度，并確定了樣本最大值等極值漸近分布的形狀，因此本文重點(diǎn)研究分布尾指數(shù)的變點(diǎn)檢測(cè)。尾指數(shù)估計(jì)問題是幾十年來(lái)統(tǒng)計(jì)、金融、水文[4]、可靠性和通信工程中的一個(gè)核心問題。Quintos et al.和Kim et al.發(fā)展了一種檢測(cè)分布尾指數(shù)參數(shù)變點(diǎn)的方法，這兩種方法都是基于Hill的尾指標(biāo)估計(jì)，都是針對(duì)厚尾分布而進(jìn)行的[5，6]。根據(jù)Lee et al.提出的檢驗(yàn)程序，考慮尾序過程，構(gòu)造Cusum檢驗(yàn)并證明尾序列過程在假設(shè)尾指數(shù)保持為常數(shù)的原假設(shè)下弱收斂于布朗運(yùn)動(dòng)[7]。

本文將根據(jù)Oka et al.提出的變點(diǎn)估計(jì)修正單分位數(shù)方法進(jìn)行樣本尾指數(shù)變點(diǎn)檢測(cè)，利用Cusum檢驗(yàn)思想，主要是針對(duì)多元時(shí)間序列尾指數(shù)變點(diǎn)檢測(cè)[8]。采用單分位數(shù)方法對(duì)多元時(shí)間序列進(jìn)行樣本尾指數(shù)變點(diǎn)檢測(cè)。文章主要從以下方面進(jìn)行：首先，進(jìn)行模型基本假設(shè)介紹、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造和統(tǒng)計(jì)量極限分布的證明;其次，變點(diǎn)存在性檢驗(yàn)及臨界值的模擬計(jì)算;然后，針對(duì)三個(gè)經(jīng)典厚尾分布類型模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬研究，最后，利用本文提出的方法對(duì)深圳市香蜜湖路市委黨校南行路段車流量數(shù)據(jù)進(jìn)行變點(diǎn)存在性研究分析。

1 模型理論介紹

1.1 模型基本假設(shè)

利用變點(diǎn)檢測(cè)模型檢測(cè)多元時(shí)間序列中樣本尾指數(shù)的變化，我們假設(shè)所有隨機(jī)變量都被定義在概率空間（Ω，P）中。假設(shè)樣本觀測(cè)值為{Zit，i=1，…，n，t=1，…，T}是一個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量序列，其i是指某個(gè)個(gè)體（如：年），t是指時(shí)間（如：天）。設(shè)m是將樣本劃分為m+1段的m個(gè)未知變點(diǎn)，及T1，…，Tm為對(duì)應(yīng)未知變點(diǎn)。對(duì)于每個(gè)i，假設(shè)Zit～fj，對(duì)于t∈[Tj-1，Tj），j=1，…，m+1，其中T0=1，Tm+1=T+1，fj是其分布函數(shù)，使得fj在實(shí)際應(yīng)用中不同于fj-1和fj+1。為了避免估計(jì)的序列樣本量過少，進(jìn)行變點(diǎn)檢測(cè)時(shí)默認(rèn)對(duì)原序列存在以下可能的劃分：Λε={（T1，…，Tm）：Tj-Tj-1≥εT，T1≥εT，Tm≤（1-ε）T}，其中εgt;0是個(gè)較小的常數(shù)。Kim et al.提出的基于累積和檢測(cè)時(shí)間序列尾指數(shù)變化的模型，將其應(yīng)用到多元時(shí)間序列尾指數(shù)變點(diǎn)檢測(cè)中。尾指數(shù)是衡量樣本尾部分布的肥胖程度的指標(biāo)[9]。對(duì)于該變點(diǎn)檢測(cè)問題，有如下假設(shè)：

2 變點(diǎn)存在性檢驗(yàn)

2.1 變點(diǎn)存在性檢驗(yàn)步驟

由尾指數(shù)計(jì)算公式得出的各樣本尾指數(shù)情況如表1所示，可以看出在樣本的參數(shù)變化時(shí)其尾指數(shù)也隨之變化。 但在實(shí)際情況下，我們是無(wú)法從散亂的數(shù)據(jù)中觀測(cè)到該變化。下面的模擬研究中我們將針對(duì)上述三個(gè)類型分布數(shù)據(jù)中檢測(cè)其尾指數(shù)的變化，即尾指數(shù)變點(diǎn)存在性檢驗(yàn)。

3.2 臨界值的確定

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的極限分布性質(zhì)檢測(cè)尾指數(shù)變點(diǎn)存在情況，由于臨界值通過其極限分布不容易計(jì)算，所以通過蒙特卡洛模擬（Monte Carlo simulation）方式獲得檢驗(yàn)法則中的臨界值，即在給定顯著性水平為α的條件下，分別產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)εi，且εi～N（0，1）樣本量為1000，模擬10000次，α分別取01，0.05，0.01，計(jì)算μn，1，得到10000次模擬最大值的（1-α）分位數(shù)即為對(duì)應(yīng)α水平下的臨界值，其結(jié)果展示如表2。

由上表可以看出單分位數(shù)方法對(duì)多元時(shí)間序列尾指數(shù)變點(diǎn)檢測(cè)在顯著性水平α=0.05下準(zhǔn)確度相對(duì)最高，且針對(duì)三個(gè)分布類型數(shù)據(jù)當(dāng)分布從正態(tài)分布變化到t分布時(shí)檢測(cè)正確率很高，說(shuō)明該方法針對(duì)分布變化導(dǎo)致尾指數(shù)變化情形的變點(diǎn)識(shí)別更加精確，且運(yùn)算速度較快，尤其對(duì)于t分布的檢測(cè)時(shí)間比其他兩種分布都少。

對(duì)于多變點(diǎn)檢測(cè)，本文采用二分法原理，結(jié)合二分法來(lái)對(duì)變點(diǎn)個(gè)數(shù)和位置的估計(jì)簡(jiǎn)單描述如下： 第一步，通過上文所述變點(diǎn)存在性檢驗(yàn)方法在全部數(shù)據(jù)集{Zit}上檢驗(yàn)變點(diǎn)是否存在，若沒有變點(diǎn)則終止程序，表明整個(gè)數(shù)據(jù)集不存在變點(diǎn); 否則，我們可以估計(jì)出第一個(gè)變點(diǎn)T^1。第二步，基于變點(diǎn)T^1將數(shù)據(jù)序列{Zit}分為兩個(gè)子集{Zit}T^1-1t=1與{Zit}Tt=T^1，則類似地用同樣的方法檢驗(yàn)子序列{Zit}T^1-1t=1和{Zit}Tt=T^1中是否存在變點(diǎn)，并且相應(yīng)地進(jìn)行位置估計(jì)。無(wú)論何時(shí)，若不能檢驗(yàn)出某個(gè)子序列存在變點(diǎn)，則說(shuō)明這個(gè)子序列中不存在變點(diǎn); 若檢驗(yàn)出了變點(diǎn)，則繼續(xù)利用二分法將該序列分開，再在每個(gè)子序列中檢驗(yàn)是否存在變點(diǎn)并進(jìn)行位置估計(jì)。一直持續(xù)上述過程，直至所有子序列中不再檢驗(yàn)出變點(diǎn)為止。運(yùn)用此方法，僅需要比較子序列沒有變點(diǎn)和僅有一個(gè)變點(diǎn)的模型，并且可同時(shí)確定變點(diǎn)的個(gè)數(shù)和它們的位置，因而該方法簡(jiǎn)單而有效。

4 實(shí)例分析

本實(shí)例分析數(shù)據(jù)源于深圳市局部區(qū)域道路的流量監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，主要選取深圳市香蜜湖路市委黨校南行路段2018年3月27號(hào)（星期二）、2018年3月30號(hào)（星期五）和2018年3月31號(hào)（星期六）三天的數(shù)據(jù)為例，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)為每?jī)煞昼娪涗浺淮卧撀范诬嚵髁靠倲?shù)（一天共720個(gè)數(shù)據(jù)），根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)得到過車量的時(shí)序圖1所示。

分別以深圳市香蜜湖路市委黨校南行路段2018年3月27號(hào)（星期二）、2018年3月30號(hào)（星期五）和2018年3月31號(hào)（星期六）三天的數(shù)據(jù)為例，利用本文的單分位數(shù)方法根據(jù)二分法原理將多變點(diǎn)轉(zhuǎn)化為單變點(diǎn)問題進(jìn)行變點(diǎn)檢測(cè)，得到結(jié)果如圖2、圖3所示。

由圖2（左）顯示深圳市香蜜湖路市委黨校南行路段2018年3月27號(hào)（星期二）車流量變點(diǎn)檢測(cè)情況，檢測(cè)結(jié)果顯示存在三個(gè)變點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的位置分別是205、274、555，相對(duì)應(yīng)的時(shí)間為 06∶46，09∶04、18∶26，2018年3月30號(hào)（星期五）車流量變點(diǎn)檢測(cè)情況如圖2（右）所示，檢測(cè)結(jié)果顯示存在四個(gè)變點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的位置分別是199、217、512、550且相對(duì)應(yīng)的時(shí)間為 06∶34，07∶10、17∶00、18∶16，從檢測(cè)結(jié)果容易看出工作日星期二和星期五有著類似的交通流變化規(guī)律，檢測(cè)出早高峰7∶00～9∶00和晚高峰17∶00～19∶00都存在交通流變點(diǎn)，對(duì)于星期五而言變化情況更為復(fù)雜，這是因?yàn)樾瞧谖迨且恢苤泄ぷ魅盏淖詈笠惶?，人們都有各自的周末安排，在結(jié)束一周的工作后將出行旅游或者和朋友聚餐等活動(dòng)，這就造成交通流變化規(guī)律有一定的變化，本文的檢測(cè)結(jié)果和人們平時(shí)的出行規(guī)律相符合，證明了此方法的有效性。

2018年3月31號(hào)（星期六）車流量變點(diǎn)檢測(cè)結(jié)果如圖3所示。

從圖3中2018年3月31號(hào)（星期六）車流量變點(diǎn)檢測(cè)結(jié)果得到，在周末變點(diǎn)存在的時(shí)間為8∶22，15∶50，17∶56和上述工作日車流量變點(diǎn)檢測(cè)結(jié)果相比，周末的早高峰要比工作日來(lái)得晚，而晚高峰變點(diǎn)存在情況和工作日相差不大，這是因?yàn)橹苣┦侨藗冊(cè)诮?jīng)過辛苦的一周工作后放松的時(shí)間，人們的生活習(xí)慣傾向于更加隨意和散漫，人們都更愿意睡個(gè)舒服的懶覺再整理出門，這就導(dǎo)致了路段交通流變點(diǎn)的延遲，說(shuō)明本文變點(diǎn)檢測(cè)方法能有效地檢測(cè)出交通流變點(diǎn)存在情況。

5 總結(jié)

本文通過單分位數(shù)方法對(duì)多元時(shí)間序列尾指數(shù)變化進(jìn)行變點(diǎn)檢測(cè)。通過模擬研究證明了該方法的有效性，通過對(duì)交通數(shù)據(jù)的實(shí)例分析，得到該方法能準(zhǔn)確檢測(cè)到交通流中存在的變點(diǎn)，進(jìn)而對(duì)于出行者而言了解該信息可以避免出行高峰期，提高出行效率，對(duì)于相關(guān)交管部門而言可根據(jù)該信息有效且快速地采取解決方案，一定程度上舒緩交通壓力。

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（責(zé)任編輯：曾 晶）