隨機(jī)效應(yīng)模型的復(fù)合分位數(shù)回歸估計(jì)

摘 要：在縱向數(shù)據(jù)處理中，隨機(jī)效應(yīng)模型是使用頻率非常高的模型之一。本文主要采用復(fù)合分位數(shù)回歸估計(jì)的方法，在對其參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的同時，證明了此估計(jì)漸近正態(tài)性。經(jīng)模擬研究，比對了中位數(shù)回歸估計(jì)、傳統(tǒng)最小二乘估計(jì)和復(fù)合分位數(shù)回歸估計(jì)三種估計(jì)的精度，模擬結(jié)果顯示，在樣本有限的情況下，本文所提出的方法對隨機(jī)效應(yīng)模型的參數(shù)估計(jì)是有效的，尤其當(dāng)模型誤差項(xiàng)不遵循高斯分布時，復(fù)合分位數(shù)回歸估計(jì)的實(shí)用性是明顯的。

關(guān)鍵詞：隨機(jī)效應(yīng)模型; 復(fù)合分位數(shù)回歸估計(jì); 最小二乘估計(jì); 分位數(shù)回歸估計(jì)

中圖分類號：U491

文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A

隨機(jī)效應(yīng)模型的一般形式為：

yit=xTitβ+αi+εit（1）

其中xit=（xit，1，xit，2，…，xit，p）T為p維協(xié)變量，β=（β1，β2，…，βp）為回歸系數(shù)向量，yit為響應(yīng)變量，αi稱為隨機(jī)效應(yīng)，是用來刻畫一些不可觀測的因素引起的個體間差異，εit是隨機(jī)誤差。在隨機(jī)效應(yīng)模型中，一般假設(shè)E（αi）=0，Var（αi）=σ2α相互獨(dú)立的同時，與εit相互獨(dú)立;E（εit）=0，Var（εit）=σ2ε，且相互獨(dú)立。

模型（1）的主要優(yōu)點(diǎn)在于，在一定條件下提供了對個體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的可能性。為了解決此模型估計(jì)的參數(shù)估計(jì)問題，大部分的文獻(xiàn)通過普通最小二乘和加權(quán)最小二乘等方式來解決此問題，舉例說，最小二乘估計(jì)計(jì)算簡單，其得到的結(jié)果擁有令人滿意的表達(dá)式，尤其是在誤差項(xiàng)遵循常態(tài)分布的前提下，最小二乘估計(jì)是有效的，而且是一致最小方差無偏估計(jì)。但是實(shí)際數(shù)據(jù)往往不滿足方差相等、獨(dú)立并服從正態(tài)分布等嚴(yán)苛條件。隨著互聯(lián)網(wǎng)的高速發(fā)展以及各種行業(yè)之間相互影響，我們所面臨的數(shù)據(jù)維度不僅大還結(jié)構(gòu)復(fù)雜，通過最小二乘估計(jì)無法滿足現(xiàn)階段所需理想的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。

于是，加拿大學(xué)者KOENKER提出了一種回歸估計(jì)，就是分位數(shù)回歸估計(jì)，目的是為了擺脫最小二乘估計(jì)的局限性，更廣泛的將中位數(shù)回歸應(yīng)用于所有的分位數(shù)中。使用條件分位數(shù)來進(jìn)行建模，使最小二乘估計(jì)最小化平方誤差的思想變?yōu)樽钚』訖?quán)的絕對誤差，該方法可以刻畫解釋變量隨響應(yīng)變量變動的大體特征，呈現(xiàn)響應(yīng)變量在不同分位點(diǎn)下的條件分布函數(shù)。分位數(shù)回歸有眾多優(yōu)勢，它既不需要誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布，也對異常值不敏感，甚至可以擬合響應(yīng)變量任何分位點(diǎn)的回歸方程，因此具有很好的穩(wěn)健性，在各個模型的估計(jì)中被廣泛運(yùn)用，例如，WU[1]在研究單指標(biāo)模型的估計(jì)問題時，使用了分位數(shù)回歸估計(jì);YANG[2]應(yīng)用分位數(shù)回歸研究了變系數(shù)單指標(biāo)模型的參數(shù)估計(jì)和變量選擇問題;KONEKER[3]更是史無前例的將分位數(shù)回歸方法應(yīng)用到縱向數(shù)據(jù)中，并指出對于固定效應(yīng)模型，在進(jìn)行分位數(shù)回歸時，將L1懲罰項(xiàng)加入到目標(biāo)函數(shù)中，并在估計(jì)未知參數(shù)時使用懲罰函數(shù)法;WANG[4]在探究面板數(shù)據(jù)中固定效應(yīng)模型的經(jīng)驗(yàn)似然估計(jì)值的過程中，分位數(shù)得分函數(shù)被平滑經(jīng)驗(yàn)似然估計(jì)過程所替代，從而得到經(jīng)驗(yàn)對數(shù)似然率和極大經(jīng)驗(yàn)似然函數(shù)。CANAY[5]在去除面板數(shù)據(jù)模型中的固定效應(yīng)時，采用了一種簡潔的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換，之后利用分位數(shù)回歸預(yù)估模型中的參數(shù)，同時還驗(yàn)證了該估計(jì)量的一致性和漸進(jìn)正態(tài)性;KATO[6]以與非線性面板數(shù)據(jù)的研究相似為前提，研究面板數(shù)據(jù)下固定效應(yīng)分位數(shù)回歸模型估計(jì)的一致性和漸進(jìn)正態(tài)性條件，得出一個結(jié)論，即參數(shù)估計(jì)量的一致性;何曉霞等[7]利用分位數(shù)回歸研究了縱向數(shù)據(jù)下回歸模型的參數(shù)估計(jì)和變量選擇問題。根據(jù)以上文獻(xiàn)得知，即便分位數(shù)回歸可以融合多條曲線，但在實(shí)際問題中卻存在部分分位點(diǎn)偏離過大的問題，因此，ZOU和YUAN[8]通過綜合考慮將多個分位點(diǎn)，第一次提出了復(fù)合分位數(shù)回歸估計(jì)，得到了回歸系數(shù)β一個精度更高的估計(jì)。王琪鋒[9]將復(fù)合分位數(shù)回歸應(yīng)用到線性時間序列數(shù)據(jù)中;王江峰[10]在左截?cái)鄶?shù)據(jù)下研究了非參數(shù)模型的復(fù)合分位數(shù)回歸估計(jì);呂亞召[11]利用復(fù)合分位數(shù)回歸研究了部分線性單指標(biāo)模型的變量選擇問題;JIANG[12]將復(fù)合分位數(shù)回歸應(yīng)用到DTARCH模型中;JIANG[13]將復(fù)合分位數(shù)回歸應(yīng)用到具有重尾自相關(guān)誤差的線性模型中;CHEN[14]利用復(fù)合分位數(shù)回歸估計(jì)半?yún)?shù)模型中的未知函數(shù)與參數(shù);JIANG[15]將加權(quán)復(fù)合分位數(shù)回歸估計(jì)引入到部分線性變系數(shù)模型中;徐潔和楊宜平[16]首次將復(fù)合分位回歸應(yīng)用到縱向數(shù)據(jù)中，研究了固定效應(yīng)模型的復(fù)合分位數(shù)回歸估計(jì)，在一定正則條件的前提下，證明了該估計(jì)的大樣本漸近正態(tài)性質(zhì)。

本文基于復(fù)合分位數(shù)回歸方法研究了縱向數(shù)據(jù)下隨機(jī)效應(yīng)模型的參數(shù)估計(jì)，首先，給出該估計(jì)的定義與在該模型下的目標(biāo)函數(shù);再次，證明了在隨機(jī)效應(yīng)模型下的復(fù)合分位數(shù)回歸估計(jì)的大樣本漸近正態(tài)性質(zhì);最后，通過模擬研究了該估計(jì)量的有限樣本性質(zhì)，同時，與最小二乘估計(jì)、中位數(shù)估計(jì)結(jié)果的精度做比較。

4 結(jié)論

本文通過引入了復(fù)合分位數(shù)回歸方法來估計(jì)隨機(jī)效應(yīng)模型的未知參數(shù)，得出的結(jié)論如下：

（1）在隨機(jī)效應(yīng)模型中，利用復(fù)合分位數(shù)回歸估計(jì)來估計(jì)未知參數(shù)，滿足大樣本性質(zhì)。

（2）在樣本量相同的情況下，復(fù)合分位數(shù)回歸比中位數(shù)回歸和均值回歸的精度高，效果優(yōu)。隨著樣本量的增加，所有估計(jì)的精度均增加，但是復(fù)合分位數(shù)回歸效果最好。隨著復(fù)合分位點(diǎn)的增加，復(fù)合分位數(shù)回歸的精度也隨著增加。

參考文獻(xiàn)：

[1]WU "T "Z， YU "K， YU "Y. Single-index quantile regression. Journal of Multivariate Analysis， 2010， 101（3）： 1607-1621.

[2]YANG J， YANG H. Quantile regression and variable selection for single-index varying-coefficient models[J]. Communications in Statistics-Theory and Methods， 2016， 3（8）： 1532-1543.

[3]KOENKER R. Quantile Regression for Longitudinal Data[J]. Journal of Multivariate Analysis.2004，91（2）：74-89.

[4]WANG H X， ZHU Z Y. Empirical likelihood for quantile regression models with longitudinal data[J]. Journal of Statistical Planning and Inference， 2011， 141（4）：1603-1615.

[5]CANAY A. A simple approach to quantile regression for panel data[J].The Econometrics Journal， 2011，14（3）：368-386.

[6]KATO K， GALVAO A F， MONTES-ROJAS G V. Asymptotics for panel quantile regression models with individual effects[J]. Journal of Econometrics， 2012，170（1）：76-91.

[7]何曉霞， 徐偉， 李緩， 等. 面板數(shù)據(jù)分位數(shù)回歸模型的參數(shù)估計(jì)與變量選擇[J]. 數(shù)學(xué)雜志， 2017，37（5）：1101-1110.

[8]ZOU H， YUAN M. Composite quantile regression and the oracle model selection theory[J]. The annals of statistics， 2008，36（3）：1108-1126.

[9]王琪鋒. 復(fù)合分位數(shù)回歸在線性時間序列下的應(yīng)用[D]. 大連：大連理工大學(xué)，2015.

[10]王江峰， 田曉敏， 張慧增， 等. 左截?cái)鄶?shù)據(jù)下非參數(shù)回歸模型的復(fù)合分位數(shù)回歸估計(jì)[J]. 高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報A輯， 2015， 30（1）：71-83.

[11]呂亞召， 張日權(quán)， 趙為華， 等. 部分線性單指標(biāo)模型的復(fù)合分位數(shù)回歸及變量選擇[J]. 中國科學(xué)：數(shù)學(xué)， 2014，28（12）：1299-1322.

[12]JIANG J， JIANG X， SONG X. Weighted composite quantile regression estimation of DTARCH models[J]. Econometrics Journal， 2014， 17（1）：1-23.

[13]JIANG Y， LI H . Penalized weighted composite quantile regression in the linear regression model with heavy-tailed autocorrelated errors[J]. Journal of the Korean Statistical Society， 2014， 43（4）：531-543.

[14]CHEN Y， TANG M L， TIAN M. Semiparametric hierarchical composite quantile regression[J]. Communications in Statistics， 2015， 44（5）：996-1012.

[15]JIANG R， QIAN W M， ZHOU Z R. Weighted composite quantile regression for partially linear varying coefficient models[J]. Communications in Statistics-Simulation and Computation， 2017， 3（5）： 1532-1543.

[16]徐潔， 楊宜平. 面板數(shù)據(jù)復(fù)合分位數(shù)回歸模型的估計(jì)[J]. 統(tǒng)計(jì)與決策， 2018，34（5）：19-21.

[17]Knight， Keith. Limiting distributions for L1 regression estimators under general conditions[J]. The Annals of Statistics， 1998， 26（2）：755-770.

（責(zé)任編輯：于慧梅）