最小原理與圓錐曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)*

廣東省惠州學(xué)院數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院(516007) 王海青

廣東省惠州一中高中部(516007) 劉宏英

解析幾何是近代數(shù)學(xué)最偉大的發(fā)明創(chuàng)造之一,它通過(guò)坐標(biāo)系將代數(shù)方程與幾何曲線(xiàn)曲面等聯(lián)系起來(lái),實(shí)現(xiàn)了“數(shù)與形”的靈活轉(zhuǎn)換,使幾何的計(jì)算與證明變得簡(jiǎn)單.因此,“圓錐曲線(xiàn)與方程”單元作為高中解析幾何的核心內(nèi)容,它對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)的重要性及其在高考中的地位都是毋庸置疑的.此外,圓錐曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)在現(xiàn)代建筑、鏡面工藝設(shè)計(jì)、定位系統(tǒng)原理、天文學(xué)等方面都有廣泛應(yīng)用,這也是數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家熱衷于研究和探討圓錐曲線(xiàn)性質(zhì)的重要原因.以人教版教材[1]為例,有關(guān)圓錐曲線(xiàn)光學(xué)性質(zhì)的相關(guān)應(yīng)用或背景材料貫穿教材編寫(xiě)的始終,并在單元小結(jié)前的“閱讀與思考”欄目(P75-76)對(duì)其進(jìn)行了專(zhuān)門(mén)的詳細(xì)介紹.但圓錐曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)只是要求學(xué)生了解的一個(gè)事實(shí)性結(jié)論,教材并未給出相應(yīng)的證明.

有文獻(xiàn)闡述了橢圓光學(xué)性質(zhì)的三種證明方法：經(jīng)典的阿波羅尼斯證法、直觀幾何證法與解析法[2].由于數(shù)學(xué)的代數(shù)符號(hào)系統(tǒng)在古希臘時(shí)期還非常不完善,阿波羅尼斯用了非常繁雜的歐幾里得幾何證法證明了圓錐曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì).通過(guò)阿波羅尼斯證法可以了解古希臘的幾何發(fā)展?fàn)顩r,但不宜在教學(xué)中呈現(xiàn)此類(lèi)證明方法.正如弗賴(lài)登塔爾所言,數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)依據(jù)歷史對(duì)教學(xué)內(nèi)容“再創(chuàng)造”,是“假定人們?cè)谶^(guò)去知道更多的我們現(xiàn)在所知道的東西,那情況會(huì)是怎么發(fā)生”[3].簡(jiǎn)言之,教學(xué)過(guò)程應(yīng)反映學(xué)生面對(duì)新的情境如何利用已有的知識(shí)分析和解決問(wèn)題并創(chuàng)造出新的數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程.

為什么由圓錐曲線(xiàn)旋轉(zhuǎn)形成的曲面具有這樣的光學(xué)、聲學(xué)或者力學(xué)性質(zhì)? 教師不妨在單元復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)通過(guò)一節(jié)探究課與學(xué)生探討圓錐曲線(xiàn)光學(xué)性質(zhì)的證明,既呈現(xiàn)解析幾何的研究方法、直觀的綜合幾何方法,也從物理學(xué)科的角度予以解釋.旨在使學(xué)生“知其然,亦知其所以然”,讓學(xué)有余力的學(xué)生體會(huì)到在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)部與自然科學(xué)之間的交互作用,并能用數(shù)學(xué)去解釋自然現(xiàn)象.下面從數(shù)學(xué)到物理的視角探究圓錐曲線(xiàn)光學(xué)性質(zhì)的證明,以供同行商榷.

一、提出問(wèn)題

通過(guò)“圓錐曲線(xiàn)與方程”一章的學(xué)習(xí),大家已經(jīng)知道圓錐曲線(xiàn)有著非常重要的光學(xué)性質(zhì),它的應(yīng)用非常廣泛.從幾何上看,圓錐曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)就是相應(yīng)曲線(xiàn)的切線(xiàn)性質(zhì),具體表述為(如圖1)：

1.橢圓上任一點(diǎn)與焦點(diǎn)的兩條連線(xiàn),與在該點(diǎn)處的切線(xiàn)所夾的角相等(即從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光,經(jīng)過(guò)橢圓反射后反射光線(xiàn)都匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上);

2.雙曲線(xiàn)上任一點(diǎn)的切線(xiàn),平分這個(gè)切點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)連線(xiàn)所成的角(即從雙曲線(xiàn)一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光,經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)反射后反射光線(xiàn)的反向延長(zhǎng)線(xiàn)都匯聚到雙曲線(xiàn)的另一個(gè)焦點(diǎn)上);

3.拋物線(xiàn)上任一點(diǎn)的切線(xiàn),平分切點(diǎn)與焦點(diǎn)及定直線(xiàn)垂足連線(xiàn)所成的角(即從拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)發(fā)出的光,經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)反射后反射光線(xiàn)都平行于拋物線(xiàn)的軸).

圖1

照相機(jī)成像原理、回音壁的形成、定位系統(tǒng)的工作原理、雙曲線(xiàn)性冷凝塔及探照燈的工作原理等等都與圓錐曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)密切相關(guān).為什么圓錐曲線(xiàn)具有如此奇特的性質(zhì)呢? 能證明嗎?

二、從數(shù)學(xué)的角度看

1.運(yùn)用“解析法”證明

類(lèi)比“圓錐曲線(xiàn)與方程”單元證明圓錐曲線(xiàn)其它性質(zhì)的方法,可以通過(guò)建立坐標(biāo)系利用數(shù)形結(jié)合來(lái)證明.以?huà)佄锞€(xiàn)為例,要證明其光學(xué)性質(zhì)就等價(jià)于證明：

如圖2,拋物線(xiàn)C的方程為y2=2px,直線(xiàn)l是過(guò)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線(xiàn),交x軸于D,∠DPF=γ,∠PDF=α,過(guò)點(diǎn)P作PQ平行于x軸,PQ與l所成角記為β.求證：β=γ.

圖2

分析設(shè)切線(xiàn)l為y=kx+b,與y2=2px聯(lián)立方程組(或求導(dǎo))可求出切線(xiàn)l∶y0y=p(x+x0).切線(xiàn)l與x軸交于D(-x0,0),由已知得焦點(diǎn)為又因?yàn)樗詜PF|=|DF|.即α=γ,有β=γ.

(注：學(xué)生在課后可以按照這個(gè)思路去證明橢圓和雙曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì).)

2.運(yùn)用直觀幾何方法證明

實(shí)際上,對(duì)課本習(xí)題作適當(dāng)?shù)耐卣古c延伸,也能得到圓錐曲線(xiàn)光學(xué)性質(zhì)簡(jiǎn)潔的幾何證明思路.

如課本習(xí)題2.2 第7 題(P49)：在半徑為r的圓O內(nèi)取定一點(diǎn)F(如圖3),在圓周上任取一點(diǎn)M,通過(guò)折疊使點(diǎn)M與點(diǎn)F重合,折痕為直線(xiàn)l.連接MO交l于點(diǎn)P,求點(diǎn)P的軌跡.

圖3

圖4

分析不難證明點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)如圖4的橢圓.如圖5,根據(jù)題意可知,折痕l是線(xiàn)段MF的垂直平分線(xiàn),MO交l于點(diǎn)P.所以|PM|=|PF|,|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|=r.即點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)F,O的距離之和為一定值(大于|FO|),所以點(diǎn)P的軌跡是橢圓.

若在直線(xiàn)l上任取不同于點(diǎn)P的一點(diǎn)P1,易知|P1F|+|P1O|=|P1M|+|P1O|＞r,所以折痕l也是橢圓軌跡上經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn).點(diǎn)P是直線(xiàn)l與半徑MO的交點(diǎn),所以有∠1=∠3,而由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)易知∠1=∠2,所以∠2=∠3.證畢.

圖5

將上題的條件“在半徑為r的圓O內(nèi)取定一點(diǎn)F”改為“在半徑為r的圓O外取定一點(diǎn)F”,其余條件不變,就是教材習(xí)題2.3 第5 題(P62).容易知道點(diǎn)P的軌跡為雙曲線(xiàn),同理可以用幾何法證明雙曲線(xiàn)的切線(xiàn)性質(zhì).“折紙法”同樣適用于拋物線(xiàn)光學(xué)性質(zhì)的證明,只是圓形紙張要改為矩形紙張.

三、結(jié)合物理背景予以解釋

以圖1的橢圓為例,過(guò)橢圓上一點(diǎn)D作切線(xiàn)AB,連接DF1,DF2.由光的反射原理可知,要證明橢圓的光學(xué)性質(zhì)就是要證明∠1=∠2 或∠3=∠4.考慮到物理學(xué)中的光學(xué)原理與圓錐曲線(xiàn)的密切關(guān)系,下面從物理科學(xué)的角度對(duì)圓錐曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)給予合理的解釋和證明.

1.光的反射定律與橢圓的切線(xiàn)性質(zhì)

光從一點(diǎn)直接傳播到另一點(diǎn)選擇最短路徑,即這兩點(diǎn)間的線(xiàn)段.若光從一點(diǎn)不是直接傳播到另一點(diǎn),而是經(jīng)由一面鏡子反射到另一點(diǎn),仍然選擇最短路徑.此時(shí),入射角等于反射角,由此得∠1=∠2(如圖6).當(dāng)反射鏡面是曲面(如圖7)時(shí),結(jié)論依然成立,此時(shí)∠1 與∠2 是過(guò)反射點(diǎn)的切線(xiàn)與光線(xiàn)路徑所成的角.

圖6

圖7

這是大家所熟知的物理現(xiàn)象,早在古希臘時(shí)期赫倫就發(fā)現(xiàn)了這個(gè)最小原理.我們可以用數(shù)學(xué)的方法證明,當(dāng)入射角等于反射角時(shí),光線(xiàn)的傳播路徑是最短的.或者說(shuō),它等價(jià)于這樣一個(gè)初中數(shù)學(xué)問(wèn)題：如圖8,平面上,點(diǎn)F1,F2在直線(xiàn)l的同側(cè).在直線(xiàn)l上找一點(diǎn)P,使得PF1+PF2的值最小.

圖8

利用幾何圖形的軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)容易找到滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P.作點(diǎn)F1關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)F′1,連接F′1F2交l與點(diǎn)P,P即為所求的點(diǎn)(如圖9).因?yàn)橹本€(xiàn)l是F1F′1的垂直平分線(xiàn),所以PF1=PF′1,則PF1+PF2=F′1F2.在直線(xiàn)l上任取不同于P的點(diǎn)R,由三角形三邊關(guān)系知,RF1+RF2=RF′1+RF2＞F′1F2.因此,PF1+PF2為最小值,且容易得到∠1=∠2.

圖9

圖10

令這個(gè)最小值PF1+PF2=2a,如果滿(mǎn)足這個(gè)等式的點(diǎn)P不限定在直線(xiàn)l上,可以在平面上自由移動(dòng),則點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)F1,F2為焦點(diǎn)的橢圓,如圖10.顯然,直線(xiàn)l是橢圓的一條切線(xiàn).如果l與橢圓相交,則落在橢圓內(nèi)部的直線(xiàn)l的點(diǎn)R滿(mǎn)足RF1+RF2＜2a,與前面的證明結(jié)論矛盾.從而得到橢圓的一個(gè)幾何性質(zhì)：橢圓上任一點(diǎn)與焦點(diǎn)的兩條連線(xiàn),與在該點(diǎn)處的切線(xiàn)所夾的角相等.聯(lián)系到光學(xué)定律,這個(gè)性質(zhì)對(duì)應(yīng)的光學(xué)解釋為：從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)經(jīng)橢圓反射后都匯聚到另一焦點(diǎn)上.

2.雙曲線(xiàn)的切線(xiàn)性質(zhì)

受上述橢圓的切線(xiàn)性質(zhì)及其光學(xué)解釋的啟發(fā),運(yùn)用同樣的方式可以證明雙曲線(xiàn)的切線(xiàn)性質(zhì).如圖11,平面上,若點(diǎn)F1,F2在直線(xiàn)l的兩側(cè).在直線(xiàn)l上找一點(diǎn)P,使得|PF1-PF2|的值最大.

圖11

同理,作點(diǎn)F1關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)F′1,延長(zhǎng)F2F′1交l與點(diǎn)P,P即為所求的點(diǎn)(如圖12).因?yàn)橹本€(xiàn)l是F1F′1的垂直平分線(xiàn),所以PF1=PF′1,則|PF1-PF2|=F′1F2.在直線(xiàn)l上任取不同于P的點(diǎn)R,由三角形三邊關(guān)系知,|RF1-RF2|＜F′1F2.因此,|PF1-PF2|為最大值.延長(zhǎng)F2P,有∠1=∠2.

令這個(gè)最大值|PF1-PF2|=2a,如果滿(mǎn)足這個(gè)等式的點(diǎn)P不限定在直線(xiàn)l上,可以在平面上自由移動(dòng),則點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)F1,F2為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn),如圖13.顯然,直線(xiàn)l是雙曲線(xiàn)的一條切線(xiàn).如果l與雙曲線(xiàn)相交,則落在雙曲線(xiàn)內(nèi)部的直線(xiàn)l的點(diǎn)R滿(mǎn)足|PF1-PF2|＞2a,與前面的證明結(jié)論矛盾.從而得到雙曲線(xiàn)的一個(gè)幾何性質(zhì)：雙曲線(xiàn)上任一點(diǎn)的切線(xiàn),平分這個(gè)切點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)連線(xiàn)所成的角.這個(gè)性質(zhì)對(duì)應(yīng)的光學(xué)解釋為：從雙曲線(xiàn)一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)反射后,反射光線(xiàn)的反向延長(zhǎng)線(xiàn)都匯聚到雙曲線(xiàn)的另一個(gè)焦點(diǎn)上.

圖12

圖13

3.拋物線(xiàn)的切線(xiàn)性質(zhì)

如圖14,在平面上,給定一條直線(xiàn)a和直線(xiàn)外一點(diǎn)F,點(diǎn)D在直線(xiàn)a上,直線(xiàn)l是線(xiàn)段DF的垂直平分線(xiàn).在直線(xiàn)l上找一點(diǎn)P,使得PD=PF,且PD⊥直線(xiàn)a.

圖14

顯然,過(guò)點(diǎn)D作直線(xiàn)a的垂線(xiàn)與直線(xiàn)l相交,焦點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P(如圖15).由垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可知,PD=PF,且∠1=∠2=∠3.在直線(xiàn)l上任取異于P一點(diǎn)P1,過(guò)點(diǎn)P1作P1R⊥直線(xiàn)a交于點(diǎn)R,則P11F,否則直線(xiàn)l將垂直于兩條相交直線(xiàn)DF,RF,矛盾.所以點(diǎn)P是直線(xiàn)l上唯有滿(mǎn)足條件的點(diǎn).

如果點(diǎn)D取遍直線(xiàn)a上的點(diǎn),即滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P不限定在直線(xiàn)l上,則點(diǎn)P的軌跡是一條以F為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)(如圖16).由前面的討論可知DF的垂直平分線(xiàn)l恰是拋物線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn),且∠1=∠2.從而得到拋物線(xiàn)的一個(gè)幾何性質(zhì)：拋物線(xiàn)上任一點(diǎn)的切線(xiàn),平分切點(diǎn)與焦點(diǎn)及定直線(xiàn)垂足連線(xiàn)所成的角.對(duì)應(yīng)的光學(xué)解釋為：從拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)發(fā)出的光,經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)反射后,反射光線(xiàn)都平行于拋物線(xiàn)的軸.

圖15

圖16

四、總結(jié)與進(jìn)一步的探究

從前面的探究中發(fā)現(xiàn),數(shù)學(xué)可以解決現(xiàn)實(shí)生活和自然界中的許多問(wèn)題.

反過(guò)來(lái),物理科學(xué)也能給予數(shù)學(xué)教學(xué)啟示,幫助尋找解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法[4].當(dāng)然,此類(lèi)教學(xué)探究需要教師對(duì)數(shù)學(xué)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)及其與物理學(xué)科之間關(guān)系進(jìn)行深入的剖析,形成對(duì)數(shù)學(xué)教材整體知識(shí)結(jié)構(gòu)的把握,才能看透本質(zhì)成就別樣的教學(xué).

僅借助于平面幾何中軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)和光的反射定律,就能直觀形象地證明圓錐曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì).而證明過(guò)程又恰好能解釋物理和自然界中的一些光學(xué)現(xiàn)象.事實(shí)上,對(duì)于圓錐曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)還可以給予物理的力學(xué)解釋.當(dāng)多個(gè)力作用于一個(gè)物體最終達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí),各個(gè)相反方向的力大小相等,這是大家所熟悉的力學(xué)原理.從這個(gè)角度也可以證明圓錐曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)并解釋力學(xué)現(xiàn)象.有興趣的同學(xué)可以在課后沿著這一思路繼續(xù)探討.