與三角函數(shù)交匯的導(dǎo)數(shù)壓軸題的解法探究

廣東省興寧市第一中學(xué)(514500) 藍(lán)云波

導(dǎo)數(shù)問題是壓軸題的常客,也是整套試題中的重頭戲,是最具區(qū)分度的亮麗風(fēng)景所在.因此,如何破解導(dǎo)數(shù)壓軸題是教師和學(xué)生面臨的一大難題.筆者發(fā)現(xiàn),隨著高考命題的深入開展,導(dǎo)數(shù)壓軸題的命制并沒有走入桎梏,反而涌現(xiàn)出越來越多的經(jīng)典題型,極大地豐富了數(shù)學(xué)教學(xué)的素材,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力也起到不可估量的作用.

如近幾年就興起了一類與三角函數(shù)交匯的導(dǎo)數(shù)壓軸題,這類試題可謂多姿多彩,?？汲Ｐ?由于表達(dá)式中含有三角函數(shù)的函數(shù)的無論怎么求導(dǎo)函數(shù),都會(huì)出現(xiàn)含三角函數(shù)的較為復(fù)雜的函數(shù)表達(dá)式,因此對(duì)問題的后續(xù)處理較為困難.據(jù)此,筆者通過對(duì)近年來的幾類與三角函數(shù)交匯的導(dǎo)數(shù)壓軸題的分析,探究出此類問題的解題策略,以期拋磚引玉,現(xiàn)分析如下,供大家參考并斧正.

一、利用洛必達(dá)法則或?qū)?shù)的定義

含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題的一大常見方法是分離參數(shù),然后轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題的求解.對(duì)有些與三角函數(shù)進(jìn)行交匯的導(dǎo)數(shù)問題,也是一大處理策略.但有些試題,在分離參數(shù)后,得出函數(shù)的單調(diào)性后,最值不存在,上界或下界卻存在,但卻難于直接求解處理,此時(shí),洛必達(dá)法則可派上用場.

例1 (2014年高考北京卷理科)已知函數(shù)f(x)=

(1)求證：f(x)≤0;

解析(1)因?yàn)閒′(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx≤ 0,所 以f(x)在上單調(diào)遞減,所以f(x)≤f(0)=0×cos 0-sin 0=0,即f(x)≤0 得證.

點(diǎn)評(píng)本題的參考答案用的是較為復(fù)雜的分類討論的方法進(jìn)行求解的,能順利完成解答的學(xué)生不多.本解法運(yùn)用了學(xué)生較為喜歡的分離參數(shù)方法,難點(diǎn)在于得出函數(shù)在單調(diào)遞減后,函數(shù)g(x)在x=0 時(shí)的極限值的求解,本文使用了洛必達(dá)法則或?qū)?shù)的定義,成功地解決了極限值的求解,且整個(gè)解答過程極為簡潔,無疑是一種值得推廣的好方法!

二、利用函數(shù)的有界性

有界性是很多函數(shù)的一大特性,在導(dǎo)數(shù)問題中,含參數(shù)的不等式恒成立問題是一大熱點(diǎn),除了分離參數(shù)外,分類討論思想是這類問題的一大利器,但如何進(jìn)行分類討論是問題的難點(diǎn).在與三角函數(shù)進(jìn)行交匯的這類導(dǎo)數(shù)問題中,若能有效地利用三角函數(shù)的有界性,則能實(shí)現(xiàn)快速找到分論討論的依據(jù),從而實(shí)現(xiàn)問題的求解.

例2 (云南省彌勒市2015 屆模擬測試?yán)砜?已知函數(shù)f(x)=exsinx.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

解析(1)因?yàn)閒′(x)=exsinx+excosx=ex(sinx+令f′(x)＞0 得,令f′(x)＜0 得,故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為

(2)令g(x)=f(x)-kx=exsinx-kx,即g(x)≥0 恒成立,而g′(x)=exsinx+excosx-k=ex(sinx+cosx)-k.設(shè)h(x)=ex(sinx+cosx),所以h′(x)=ex(sinx+cosx)+ex(cosx-sinx)=2excosx.因?yàn)樗詇′(x)≥0,所以h(x)在上單調(diào)遞增,所以1 ≤h(x)≤

①當(dāng)k≤1 時(shí),g′(x)≥0,g(x)在上單調(diào)遞增,所以g(x)≥g(0)=0,符合題意;

②當(dāng)k≥時(shí),g′(x)≤0,g(x)在上單調(diào)遞減,所以g(x)≤g(0)=0,不合題意;

③當(dāng)1＜k＜時(shí),因?yàn)間′(x)為一個(gè)單調(diào)遞增函數(shù),而g′(0)=1-k＜0,由零點(diǎn)存在定理知,必存在唯一一個(gè)零點(diǎn)x0,使得g(x0)=0.所以x ∈[0,x0)時(shí),g′(x)＜0,從而g(x)在[0,x0)上單調(diào)遞減,從而g(x)≤g(0)=0,不合題意.

綜上所述,k的取值范圍為(-∞,1].

點(diǎn)評(píng)本題第二問通過多次求導(dǎo),從而可確定h(x)的取值范圍.在進(jìn)行分類討論時(shí),借助h(x)的有界性得以確立分類討論的依據(jù),從而獲得問題的成功求解.在不等式恒成立問題的討論過程中,對(duì)不合題意的參數(shù)可用矛盾推翻之.有界性是分類討論的重要依據(jù),要引起足夠的重視.

三、利用隔離直線

對(duì)于較為復(fù)雜的函數(shù),如果直接構(gòu)造一個(gè)函數(shù)可能很難甚或無法解決.此時(shí),如能通過等價(jià)轉(zhuǎn)化,并進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)來處理,問題可能大大簡化.我們經(jīng)常會(huì)遇到這種情形：兩個(gè)函數(shù)的圖像分別被某條直線隔離,這種現(xiàn)象實(shí)際上與不等式恒成立問題有著非常密切的聯(lián)系.如果我們能夠找到這條直線,然后再構(gòu)造兩個(gè)差函數(shù),問題往往能迎刃而解.

例3 (2016年東北三省四市教研聯(lián)合體試題理科)已知函數(shù)f(x)=e1-xcosx.

(1)判斷函數(shù)f(x)在上的單調(diào)性;

解析(1)略;

(2)因?yàn)閒(-x-1)=ex+2cos(-x-1)=ex+2cos(x+1).而2f′(x)·cos(x+1)=-2e1-x(sinx+cosx)·cos(x+1),對(duì)于?x ∈cos(x+1)＞0.故要證明原不等式,只要證ex+2-2e1-x(sinx+cosx)＞0.

故當(dāng)x ∈時(shí),g′(x)≤0,當(dāng)時(shí),g′(x)＞0.故g(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.所以g(x)≥g即e2x+1-2x-2 ≥0,故e2x+1≥2x+2 得證.

由①、②,結(jié)合不等式取等條件不一致知,對(duì)于?x ∈不等式ex+2-2e1-x(sinx+cosx)＞0 恒成立.所以對(duì)于?x ∈總有f(-x-1)+2f′(x)·cos(x+1)＞0.

點(diǎn)評(píng)本題在證明過程中,成功地使用了兩個(gè)函數(shù)的隔離直線,這條隔離直線y=2x+2 的尋找是解題的關(guān)鍵.在找尋過程中使用了課本中的一個(gè)重要題根ex≥x+1 的變式e2x+1≥2x+2.這體現(xiàn)出命題者源于課本而高于課本的原則.通過隔離直線,所需構(gòu)造的兩個(gè)差函數(shù)便呼之欲出,整個(gè)解題過程極為流暢,是一種重要的解題策略.

四、利用設(shè)而不求

在高中數(shù)學(xué)中,“設(shè)而不求”是非常重要的一種數(shù)學(xué)思想,這種思想方法是在解題過程中,由于要使用到某個(gè)方程的根,但由于這個(gè)根無法求出,或雖可求出但卻不直接求出,而是通過設(shè)出未知數(shù),并借助一定的手段進(jìn)行消元或代換的一種思想方法.這個(gè)設(shè)出的未知數(shù)起到非常重要的橋梁作用.筆者在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn),這種思想方法主要應(yīng)用在導(dǎo)數(shù)與解析幾何中.

例4 (2015年高考湖南卷理科)已知a＞0,函數(shù)f(x)=eaxsinx(x ∈[0,+∞)).記xn為f(x)的從小到大的第n(n ∈N?)個(gè)極值點(diǎn).證明：

(1)數(shù)列{f(xn)}為等比數(shù)列;

解析(1)因?yàn)?/p>

f(xn)=ea(nπ-φ)sin(nπ-φ)=(-1)n+1ea(nπ-φ)sinφ,易知f(xn)0,所以故數(shù)列{f(xn)}為等比數(shù)列.

(2)由(1)知,sinφ=于是對(duì)一切n ∈N?,xn＜|f(xn)|恒成立等價(jià)于

恒成立,因?yàn)閍＞0,故等價(jià)于

恒成立.設(shè)g(t)=則令g′(t)=0,得t=1.當(dāng)t ∈(0,1)時(shí),g′(t)＜0,g(t)單調(diào)遞減; 當(dāng)t ∈(1,+∞)時(shí),g′(t)＞0,g(t)單調(diào)遞增.從而g(t)≥g(1)=e,故只需證

而當(dāng)a=時(shí),由且知,于是且當(dāng)n≥2 時(shí),nπ-φ≥2π-φ＞因此對(duì)于一切n ∈N?,axn=所以g(axn)＞g(1)=e=即不等式成立.綜上所述,若則對(duì)一切n ∈N?,xn＜|f(xn)|恒成立.

點(diǎn)評(píng)導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)不可求問題是近幾年高考的熱點(diǎn)問題,對(duì)這個(gè)零點(diǎn)的處理,常見的做法是設(shè)而不求.本題與三角函數(shù)交匯,問題處理起來更加棘手.本題的關(guān)鍵是在使用輔助角公式時(shí)對(duì)φ設(shè)而不求化為f′(x)=從而用φ表示出數(shù)列{f(xn)},并最終證明出其是等比數(shù)列,第二問更是把設(shè)而不求的思想發(fā)揮得淋漓盡致,并通過把nπ-φ實(shí)施換元處理,然后構(gòu)造函數(shù)結(jié)合放縮法使問題得到徹底的解決,整個(gè)過程構(gòu)思靈巧,對(duì)數(shù)學(xué)的綜合能力要求較高.

五、利用不等式的性質(zhì)

導(dǎo)數(shù)問題與不等式相結(jié)合是近幾年高考的常態(tài),與三角函數(shù)交匯的導(dǎo)數(shù)不等式問題的有一定的挑戰(zhàn)性.因此,如何利用不等式的性質(zhì)是關(guān)鍵.對(duì)涉及絕對(duì)值的不等式問題,三角不等式是解題的利器.我們現(xiàn)在來看下列這道2016年全國卷的一道典型考題.

例5 (2016年高考全國卷III 理科)設(shè)函數(shù)f(x)=acos 2x+(a-1)(cosx+1),其中a＞0,記|f(x)|的最大值為A.

(1)求f′(x); (2)求A; (3)證明|f′(x)|≤2A.

解析(1)f′(x)=-asin 2x-(a-1)sinx;

(2)當(dāng)a≥1 時(shí),|f(x)|=|acos 2x+(a-1)(cosx+1)|≤a+2(a-1)=3a-2=f(0),因 此A=3a-2; 當(dāng)0＜a＜1 時(shí),f(x)=acos 2x+(a-1)(cosx+1)=2acos2x+(a-1)cosx-1,令g(t)=2at2+(a-1)t-1,則A為|g(t)|在[-1,1]上的最大值.又g(-1)=a,g(1)=3a-2,令結(jié)合0＜a＜1,得

① 當(dāng)0＜a≤時(shí),g(t)在[-1,1]上無極值點(diǎn),且|g(-1)|=a,|g(1)|=|3a-2|=2-3a,此時(shí)有|g(-1)|＜|g(1)|,所以A=2-3a.

(3)由(1)知|f′(x)|=|-asin 2x-(a-1)sinx|≤2a+|a-1|.

① 當(dāng)0＜a≤時(shí),|f′(x)|≤1+a≤2-4a＜2(2-3a)=2A;

③當(dāng)a≥1 時(shí),|f′(x)|≤3a-1 ≤6a-4=2A.

綜上所述,|f′(x)|≤2A得證.

點(diǎn)評(píng)本題第二問和第三問均使用了三角不等式,使得問題的處理難度大幅降低,對(duì)含有絕對(duì)值的不等式問題,不妨考慮利用不等式的這個(gè)性質(zhì),由于本題涉及到三角函數(shù),三角函數(shù)的有界性也在解題中有重要的應(yīng)用.本題還使用了基本不等式,使得這道題更具有立體感,體現(xiàn)出高考在知識(shí)的交匯處命題的思路.

通過以上的分析,我們發(fā)現(xiàn),與三角函數(shù)交匯的導(dǎo)數(shù)問題綜合度較高,方法多姿多彩,并具有一定的難度.但只要我們找到合適的切入點(diǎn),合理使用一些相應(yīng)的數(shù)學(xué)技巧,問題就能得到較好的解決.教師在平時(shí)的教學(xué)中,也應(yīng)多做一些研究,并對(duì)一些熱點(diǎn)問題進(jìn)行總結(jié),以提高數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的高效性,同時(shí)也使教師的技能得到提高.