翻折視角下的全國卷立體幾何試題

廣東省佛山市教育局教研室(528000) 彭海燕

全國卷高考立體幾何重視考查幾何元素間位置關(guān)系、度量關(guān)系,重視考查空間向量解決幾何問題這一重要工具.回顧和審視全國卷歷年試題的命制,我們發(fā)現(xiàn)有一條清晰的脈絡,那就是特別重視基本平面幾何圖形性質(zhì)的空間探索,也即特別重視四邊形翻折前后的幾何元素關(guān)系、度量關(guān)系的變與不變的考查.這樣命題有助于充分考查考生的空間想象能力,有助于從熟悉的四邊形要素的位置關(guān)系進入到空間幾何體的幾何要素關(guān)系的把握上.

1.箏形翻折

箏形是指有一條對角線所在直線為對稱軸的四邊形,與菱形定義相對應.菱形是特殊的箏形.箏形的一條對角線所在的直線垂直平分另一條對角線.

在箏形平面到空間變換的研究中,常常沿著其中一條對角線進行翻折.在翻折過程中,兩條對角線垂直關(guān)系保持不變,這就成為高考試題命制的基礎,常常利用兩個對應的等腰三角形來描述空間箏形.這樣的高考試題極為豐富.

例1-1 (2017年高考全國卷III 文科第19 題)如圖1,四面體ABCD中,是△ABC正三角形,AD=CD.

(1)證明：直線AC⊥BD;

(2)已知ACD是直角三角形,AB=BD,若E為棱BD上與D不重合的點,且AE⊥EC,求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比.

圖1

圖2

錐體視角本題學生一般都會將其視作是四面體,并且需要通過幾何元素位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系來描述四個面的三角形特征—等腰三角形(一個等腰直角三角形ADC、一個等邊三角形ABC、兩個全等的等腰三角形DBA,DBC),第一問的異面直線垂直的解決可以利用兩個等腰三角形三線合一進行處理,再通過簡單的解三角形運算得到點E為BD中點,進而得到兩個四面體體積比為1.

箏形翻折視角如果我們從箏形ABCD的視角來看,沿著對角線AC翻折,對角線BD始終垂直AC,△ADC翻折的第一個位置即是平面DAC⊥平面ACB(∠DOB=90°),此時有AB=BD=BC=第二個位置根據(jù)題設其實就是要保持△ADC不變形,也即△ADC ～=△AEC,這樣的點只可能是線段BD中點(Rt△BOD中∠DBO=30°),如圖2所示,此時∠DOE=60°,△AEC為等邊三角形.

從翻折的視角來看,整個問題的方向是非常清晰的,更能把握問題的本質(zhì).

其實,高考全國卷一直都重視箏(菱)形翻折問題的研究,并且有延續(xù)性,強調(diào)其穩(wěn)定.近期的考題還有：

例1-2 (2013年新課標卷I 文科)如圖3,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.證明：AB⊥A1C.

圖3

圖4

圖5

例1-3 (2014年新課標卷I 文科)如圖4,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,B1C的中點為O,且AO⊥平面BB1C1C.

(1)證明：B1C⊥AB;(2)略.

例1-4 (2014年新課標卷I 理科)如圖5,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,AB⊥B1C.

(1)證明：AC=AB1;(2)略.

上述三題學生在解決的時候,往往將其看作是不同的問題(三棱柱形態(tài)不一樣),但是從翻折的視角來看,本質(zhì)一樣,要研究的都是箏形的翻折(圖3是箏形CAA1B,圖4,圖5是箏形BB1AC,2014年理科試題要證明其為箏形,是文科試題的逆向探討),顯然例1-1 是上述試題的延續(xù).這告訴我們高考命題具有較強的穩(wěn)定性(哪怕外在形態(tài)多變,本質(zhì)要求不變).延續(xù)這一做法的還有2015年全國卷I 理科第18 題的箏形翻折和2016年全國卷II 卷的菱形翻折.

對于箏形的研究,回歸到教材(人教A2007年2月第三版)會讓我們對“教材是一個訓練系統(tǒng),是一個基本模型發(fā)源地”有著更為清晰的認識,事實上,教材在練習習題與復習參考中多處多角度對箏形模型進行了探討,上述考題不過是教材問題的延伸,圖形結(jié)構(gòu)一致,處理方法也一致,本質(zhì)不變.

例1-5 (必修二第67 頁練習第1 題)如圖6,三棱錐V-ABC中,V A=V C,BA=BC.求證：V B⊥AC.(類似地,習題2.3 中A 組題4,B 組題2 都是這一問題的探索).

圖6

圖7

圖8

例1-6 (必修二第79 題復習參考題第1 題)邊長為2 的正方形ABCD中,如圖7,點E是AB的中點,點F是BC的中點,將△AED.△DCF分別沿DE.DF折起,使A.C兩點重合于點A′,如圖8,連接EF,求證：A′D⊥EF.(類似地,P69 練習也是這一問題的探索).

對于教材中的這些練習、習題、復習參考題關(guān)鍵是要能系統(tǒng)地從圖形結(jié)構(gòu)出發(fā),引導學生觀察發(fā)現(xiàn)圖形的基本結(jié)構(gòu)特征,并能將其上升到箏形這一基本模型上來,把握箏形翻折前后的幾何元素的位置關(guān)系,度量關(guān)系,總結(jié)證明的基本套路,即分別從兩個公共底邊等腰三角形中尋找線線垂直進行得到線面垂直,再到異面直線垂直等等.在模型探究、思想方法總結(jié)提煉的基礎上落實直觀想象與邏輯推理核心素養(yǎng).

2.梯形的翻折

梯形是學生較為熟悉的平面四邊形,雖然初中階段對梯形的性質(zhì)研究依然弱化,但在高中階段,其仍然是重要的平面四邊形(當然也可以從圖形拼接的角度來看待梯形),梯形中,等腰梯形和直角梯形是重要的研究對象.

2.1 等腰梯形的翻折

等腰梯形的翻折主要強調(diào)對腰的翻折,也即保持底面的矩形特征,兩腰向中間翻折,而這里面就有兩底的端點是否合攏的問題.近兩年的高考試題分別研究了上述問題.

例2-1 (2016年全國卷I理科)如圖9,在以A,B,C,D,E,F為頂點的五面體中,面ABEF為正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60°.

圖9

(1)證明：平面ABEF⊥平面EFDC;

(2)求二面角E-BC-A的余弦值.

空間多面體視角本題學生會根據(jù)題設條件將圖形直接視作是多面體,并利用底面正方形和側(cè)面三角形為直角三角形的數(shù)量特征來解決第一問.但第二問對于大部分學生來說,由于缺乏對二面角作為條件時,本質(zhì)是聚焦二面角概念這一常見命題規(guī)律的把握,而采取空間向量法處理(當年的高考廣東卷閱卷時發(fā)現(xiàn)第二問失分極為嚴重,抽樣均分為5.29,基本上來自于第一問得分).

圖10

梯形翻折視角如果我們將空間幾何體兩面AFD,BEC放平的話,本題便可以視作是由一個等腰梯形翻折而成(高考試題分析對此探討了命制過程).如圖10,這是一個下底為上底兩倍,高與上底相等的等腰梯形.也即CD=2AB,AF=AB,且AF=2FD.分別沿著兩個高AF,BE將兩條腰進行等速翻折,在翻折過程中,AF⊥DF,AF⊥EF關(guān)系始終保持不變,這也就保證了平面ABEF⊥平面EFDC這一關(guān)系始終不變.在此過程中二面角D-AF-E與二面角C-BE-F始終相等且分別是等腰梯形CDFE的下底角.題目翻折的位置是這個底角為60°的時候.在翻折過程中研究二面角E-BC-A可以有多種方式,既可以構(gòu)建空間直角坐標系,也可以直接利用翻折過程中的對稱性,結(jié)合直角三角形(無論如何翻折E到BC的高或者F到AD的高始終不變,且是構(gòu)成二面角平面角的一個邊)等積法求得相關(guān)的邊長獲得空間角的正弦或者余弦值.一個自然想法是,在翻折過程中必然會有C,D重合的時候,此時便構(gòu)成了一個四棱錐,而這恰恰就是2017年立體幾何文理科試題的命題背景.

圖11

例2-2 (2017年全國卷I理科第18 題)如圖11,在四棱錐P-ABCD中,AB//CD,且∠BAP=∠CDP=90°.

(1)證明：平面PAB⊥平面PAD;

(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.

圖12

梯形翻折視角如上可知,命題組在命題時必然考慮過等腰梯形底頂點重合的問題,本題即是如此.如圖12,根據(jù)題設的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,我們將其視作是一個下底為上底為高為2 的等腰梯形.沿著高分別翻折,使得M,N重合,也即得到點P,此即為本題的命題背景.第一問的設計是自然而言的事情,也是2016年高考題的延續(xù),因為無論怎樣翻折兩個面的垂直是一定的.第二問也是2016年高考題的延續(xù).如果在復習中從翻折的視角來看待,2017年的高考題不過是2016年高考的翻版.

2.2 直角梯形的翻折

如圖所示,在直角梯形中有一類由兩個直角三角形,特別地,其中一個是等腰直角,拼接而成的直角梯形是翻折問題考查的熱點.

這類翻折問題,一般都沿著兩個三角形公共邊AC進行翻折,如圖13,翻折的位置往往強調(diào)兩個面互相垂直,這樣容易考察線面垂直和面面垂直中的性質(zhì)定理與判定定理.具體操作時要注意翻折前后的點與線、線與線位置關(guān)系變與不變.數(shù)量關(guān)系的變與不變.

圖13

圖14

圖15

例2-3 (2009年佛山二模)如圖14,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,AB//CD,AB=4,AD=CD=2.將△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到幾何體D-ABC,如圖15所示.

(I)求證：BC⊥平面ACD;

(II)求幾何體D-ABC的體積.

本題是直接從平面圖形進行切入進行翻折,筆者在命制的時候考慮到學生會如何考慮等腰直角三角形,一方面可以從等腰三角形ADC底邊AC三線合一角度來思考,一方面也可以直接從等腰三角形ACB的直角邊BC邊來思考,不同方向涉及到的定理前后順序不一致,解題長度不一致.目的是熟悉三角形的性質(zhì)和空間的垂直(判定、性質(zhì))定理.這樣的題目也較為常見,但基本上落腳點就是三角形的幾何性質(zhì).

3.矩形(正方形)的翻折

矩形是大家比較熟悉平面圖形,對于矩形的翻折問題,常常聚焦于具有一定長寬比的矩形翻折問題.如圖16.

圖16

圖17

在這些圖形中,矩形一條對角線垂直于另外一邊與所對頂角,并且都有相應的比例關(guān)系.類比于箏形,在圖形沿著對角線BD或者CF翻折過程中,垂直關(guān)系始終保持不變,而這個就是命題的落腳點.筆者近兩年對這類問題進行了探索,全國卷2018年考題也進行了正方形的翻折研究.

例3-1 (2018年全國卷I理科第18 題)如圖17,四邊形ABCD為正方形,E,F分別為AD,BC的中點,以DF為折痕把△DFC折起,使點C到達點P的位置,且PF⊥BF.

(1)證明：平面PEF⊥平面ABFD;

(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.

相比較于前幾年的全國卷命題中的隱性翻折,本題則直接從正方形ABCD沿一邊重點翻起一個直角△DFC來,翻起來的位置從對稱的角度來看,其實就是把直角△ABF翻起來,B,C重合的位置就是點P的位置.根據(jù)對稱性,此時點P在底面射影H肯定在等腰△AFD中線EF上,至于平面PEF⊥平面ABFD是自然而言的事.至于第二問,不難用等積法算得而DP與平面ABFD所成角平面角PDH的正弦值

我們回到前面2016年和2017年的考題來看,本題只不過把原來的等腰梯形換成了正方形,仍然是從對稱的兩個方向進行翻折,讓它們重合,成為一個三棱錐,如圖18,我們從視角差異的角度,換個方向來看,翻折而成的這個三棱錐又是一個箏形,難道這是巧合嗎? 回味上述全國卷這6年的考題,這次第18 題是否如《沙家浜》中阿慶嫂所說：“這茶,喝到這時,是不是才喝出點味兒來了! ”

作為高考卷命題的研究者和地區(qū)質(zhì)量檢測的命題者,結(jié)合高考題的這種命題特點,我們對矩形的翻折進行了多角度的探索,命制了多個考題.這里呈現(xiàn)出來,供讀者朋友參考,以期對高考試題命制提供不同的探索方向,為素養(yǎng)導向的命題提供一些思考.

圖18

圖19

例3-2 (2017年佛山二模文理科第19 題)如圖19,矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E在邊DC上,且DE=1,將△ADE沿AE折到△AD′E的位置,使得平面AD′E⊥平面ABCE.

(I)求證：AE⊥BD′; (II)(理科)求二面角D′-AB-E的余弦值.(文科)求三棱錐A-BCD′的體積.

例3-3 (2014年佛山一模文理科第18 題)如圖20,矩形ABCD中,AB=12,AD=6,E.F分別為CD.AB邊上的點,且DE=3,BF=4,將△BCE沿BE折起至△PBE位置(如圖21 所示),連結(jié)AP,PF,其中

(I)求證：PF⊥平面ABED;

(II)(理科)求直線AP與平面PEF所成角的正弦值.(文科)在線段PA上是否存在點Q使得FQ//平面PBE?若存在,求出點Q的位置;若不存在,請說明理由.

(III)(文)求點A到平面PBE的距離.

圖20

圖21

圖22

圖23

本題的設計思路與例3-1 有許多相同之處,研究視角也很有趣.

例3-4 (2013年佛山二模理科第19 題)如圖22,設正方形ABCD的邊長為3,點E,F分別在AB,CD上,并且滿足AE=2EB,CF=2FD.如圖23,將直角梯形AEFD沿EF折到A1EFD1的位置,使點A1在平面EBCF上的射影G恰好在BC上.

(I)證明：A1E//平面CD1F;

(II)求平面BEFC與平面A1EFD1所成二面角的余弦值.